王麗麗，程永玲

（山西大學商務學院 理學系，山西 太原030031）

Lotka-Volterra系統(tǒng)在生物數(shù)學中起著重要作用.近幾年，很多學者對該系統(tǒng)的概周期解，持久性和全局穩(wěn)定性進行了廣泛的研究［1-16］.在文獻［1］中，Zhou Z，和Zou X研究了離散周期邏輯方程（1）的持久性和周期穩(wěn)定解的存在性.

文獻［2］利用泛函理論研究了具有時滯的概周期Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)正概周期解的唯一性.文獻［3］研究了具有時滯的多種群捕食和競爭系統(tǒng)的持久性.最近，具有反饋控制的Lotka-Volterra系統(tǒng)得到了極大關注［4-6］.文獻［4］提出了具有反饋控制的單種群離散模型（2），研究了模型的持久性.

文獻［5］研究了具有時滯和反饋控制的非自治單種群離散系統(tǒng)的持久性，在所得到的結論中，發(fā)現(xiàn)反饋控制對持久性是無害的.

本文考慮系統(tǒng)

系統(tǒng)（3）具有初始條件

令

為方便，先介紹與本文相關的記號和定義.對任意的有界函數(shù)x（n），記

定義1 若存在正常數(shù)Mi，mi（i=1，2，3，4）使得對系統(tǒng)（3）的任意正解

都有

則稱系統(tǒng)（3）是持久的.

考慮差分方程

式中：A，B為正常數(shù).

引理1［4］假定|A|＜1，且對任意的初始值y（0），存在方程（4）的唯一解y（k），表示為

引理2［7］假定x（n）滿足x（n）＞0，且當n∈［n1，∞）時，

其中，a為使得a K＞1的常數(shù).

定理1 假定H1～H3成立，則對系統(tǒng)（3）的任意正解，存在正常數(shù)Mi，Pi，Wj，Qj使得

其中

證明 根據(jù)系統(tǒng)（3）的第1個方程，有

進而

即

因此

用類似的方法，可以證明

于是

由引理2，有l(wèi)ni→m∞yj（n）≤Wj.由系統(tǒng)（3）的第3個方程，有

由引理1以及差分方程比較定理，可得

定理2 假定H1～H3成立，且

則對系統(tǒng)（3）的任意正解，存在正常數(shù)mi，pi，wj，qj，使得

其中

證明 由定理1，對任意的ε＞0，存在常數(shù)n1∈N，使得當n＞n1時，有

ui（n）≤Pi+ε，vj（n）≤Qj+ε，因此，對系統(tǒng)（3）的第1個方程，有

于是當n≥τii時，有

所以

進一步，可以得到

用類似的方法，可以得到

于是，由引理3，有l(wèi)ni→m∞inf yj（n）≥wj.

對充分小的ε＞0，由系統(tǒng)（3）的第3個方程，有

由引理1以及差分方程的比較原理，可得

在式（6）中令ε→0，可得

同理，對系統(tǒng)（3）的第4個方程，可得

證畢.

根據(jù)定理1和定理2的結論，可知系統(tǒng)（3）是持久的.

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