李濤

（連云港開(kāi)放大學(xué)，江蘇 連云港 222006）

一類(lèi)非線性差分方程平衡解的穩(wěn)定性與吸引性注記

李濤

（連云港開(kāi)放大學(xué)，江蘇 連云港 222006）

文中研究了如下形式的非線性二階差分方程，通過(guò)對(duì)參數(shù)β的討論,得到了該方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性的結(jié)論.

差分方程；平衡解；穩(wěn)定性

差分方程主要研究離散系統(tǒng)的規(guī)律和行為，它的理論廣泛應(yīng)用于科學(xué)和經(jīng)濟(jì)研究中.k+1階差分方程的一般形式如下xn+1=F(xn,xn-1,…,xn-k)，如果該方程右邊的多元函數(shù)為有理函數(shù)時(shí)，方程為有理型差分方程，在文獻(xiàn)[1]中研究了幾類(lèi)高階的非線性差分方程，在文獻(xiàn)[2]中研究了一類(lèi)二階差分方程，在文獻(xiàn)[3]中研究了下述形式的差分方程：

1 預(yù)備知識(shí)及引理

令I(lǐng)為一實(shí)區(qū)間，考慮差分方程

其中，k為自然數(shù)且k≥1，函數(shù)F∈C(Ik+1,I)，關(guān)于每一個(gè)變量都有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).

定義 1.2[1][4]設(shè)是方程（2）的一個(gè)解，點(diǎn)為差分方程（2）的一個(gè)平衡點(diǎn)：

(a)方程（2）的平衡點(diǎn)是局部穩(wěn)定的，如果?ε＞0，?δ＞0，當(dāng)時(shí)，對(duì)于所有的n≥-k，就有

(c)方程（2）的平衡點(diǎn)是一個(gè)全局吸引子，如果對(duì)于方程（2）的任意解

則方程

定理1.4[1][4]設(shè)F是一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)，是 方程（2）的一個(gè)平衡點(diǎn)，則下列各條件成立：

(a)如果方程（2）的所有根位于單位圓|z|＜1內(nèi)，則方程（2）的平衡點(diǎn)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.

(b)如果方程（2）的根中至少有一個(gè)根的模大于1，則方程（2）的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的.

(c)如果方程（2）的所有根的絕對(duì)值都大于1，則方程（2）的平衡點(diǎn)是 一個(gè)源點(diǎn).

定理1.5[1][4]設(shè)p0,p1,…,pk是實(shí)數(shù)，且|p0|+|p1|+…|pk|＜1，則方程(3)的所有根位于單位圓單位圓|z|＜1內(nèi).

2 主要結(jié)論

二階差分方程（1）的平衡點(diǎn)是下面方程的非負(fù)解

〔1〕王小梅.幾類(lèi)非線性差分方程的定性[D].山西大學(xué),2008.

〔2〕余廷忠.一類(lèi)二階有理差分方程的穩(wěn)定性及計(jì)算機(jī)模擬[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)[J].2013,43(17):255-262.

〔3〕黨紅剛,何萬(wàn)生.一類(lèi)非線性差分方程平衡解的穩(wěn)定性與吸引性[J].天水師范學(xué)院學(xué)報(bào),2011,31(2):26-28.

〔4〕E.A.Grove,,G.Ladas.Periodicitiesin Nonlnear Difference Eauations[M],Volume 4.Discrete Mathematics and A pplications,2005.

O415.5

A

1673-260X（2015）12-0001-02