張永文
(廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,廣西 南寧530004)
由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解的求解難度大,主要求解方法有解析法和數(shù)值法[1]。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解解析法理論發(fā)展尚不成熟,數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜,而且通用性不高,因此一般采用數(shù)值算法求解。目前并聯(lián)機(jī)構(gòu)數(shù)值求解算法主要有兩類:一類是使用Newton-Raphson法[2-5]。例如Lee、Warldron、Pfreundschum等的研究中,基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程,用牛頓迭代法對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行求解。這種數(shù)值算法需要計(jì)算機(jī)構(gòu)雅克比矩陣及其逆陣,計(jì)算量大,計(jì)算時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)[6],且算法收斂性對(duì)迭代初始值比較敏感,不利于實(shí)時(shí)控制;另一類算法是基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆解,但不用計(jì)算雅克比矩陣來(lái)求機(jī)構(gòu)正解[7-9]。例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、遺傳算法等等。這類算法避免了復(fù)雜的公式推導(dǎo)和編程工作,但是求解精度難以滿足并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)時(shí)控制要求。對(duì)此,本文以五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象,提出一種新的并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解數(shù)值算法。
研究的五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示,該機(jī)構(gòu)由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和五個(gè)支鏈組成。五個(gè)支鏈中有四個(gè)支鏈結(jié)構(gòu)相同,由轉(zhuǎn)動(dòng)副、萬(wàn)向節(jié)和球副組成,其與動(dòng)、靜平臺(tái)鉸接點(diǎn)位于以動(dòng)、靜平臺(tái)中心點(diǎn)為中心對(duì)稱點(diǎn)的長(zhǎng)方形的四個(gè)角點(diǎn);另一個(gè)支鏈由一個(gè)連桿和一個(gè)四連桿串聯(lián)構(gòu)成。機(jī)構(gòu)所有轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線相互平行,且支鏈中萬(wàn)向節(jié)的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線也始終與轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線平行,P點(diǎn)和O點(diǎn)分別是動(dòng)、靜平臺(tái)的中心。以動(dòng)平臺(tái)中心P點(diǎn)為原點(diǎn)建立右手坐標(biāo)系P-XPYPZP,其中XPPYP平面與動(dòng)平臺(tái)重合,XP、YP軸方向?yàn)榇怪庇趧?dòng)平臺(tái)相鄰鉸節(jié)點(diǎn)連線方向。以靜平臺(tái)中心點(diǎn)O為原點(diǎn)建立右手坐標(biāo)系O-XOYOZO,XOOYO平面與靜平臺(tái)重合,XO軸方向與機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向平行。機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸 Li(i=1,2,3…12)如圖 1 中所示。
圖1 五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)示意圖
設(shè)動(dòng)平臺(tái)位姿由(PxPyPzαβγ)六個(gè)參數(shù)來(lái)表示,其中 Px、Py、Pz表示動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的坐標(biāo),α、β、γ表示動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于靜坐標(biāo)系的XYZ歐拉角。
Newton-Raphson迭代法基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程組,用牛頓迭代法對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行求解。動(dòng)平臺(tái)上一點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中坐標(biāo)可由坐標(biāo)變換求得:
式中:Pp為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo);
由式(1)可求得bi(i=1,2,3,4)在靜坐標(biāo)系boi(i=1,2,3,4)中的坐標(biāo),由 biDi桿和 FP 桿長(zhǎng)可列方程組:
將式(2)用動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù)表示為:
式(3)就是五自由度可控并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解方程組,該方程組具有強(qiáng)非線性,很難求得解析解,利用Newton-Raphson數(shù)值迭代法可求得方程組的解,即五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解。
新算法是基于圖形相似理論[10]提出來(lái)的,其基本思路如下:
(1)初取迭代初始值。在五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間內(nèi)任取一點(diǎn)作為迭代的初始值:
(3)修正P、bi(i=1,2,3,4).由迭代初始值求出的動(dòng)平臺(tái)鉸接點(diǎn)不一定是動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)真實(shí)位置,機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)PF=L10與boiDoi=L6不一定成立,為此作如下修改:
式中:P(2)為新動(dòng)平臺(tái)上的P點(diǎn),M點(diǎn)和N點(diǎn)為新引入的兩個(gè)點(diǎn),分別為b1與b2點(diǎn)的連線中點(diǎn)、M點(diǎn)與 N 點(diǎn)的連線中點(diǎn),由點(diǎn)唯一的確定了一個(gè)新動(dòng)平臺(tái)平面。
(5)提取新動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)參數(shù)。
根據(jù)N點(diǎn)和P(2)點(diǎn)坐標(biāo)可求解新動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)參數(shù) α(2)、γ(2)和 β(2):
為了進(jìn)一步求解 γ(2)和 β(2),先將法線向量ny,nz)繞基坐標(biāo)Zo軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)-α(2)角得一個(gè)中間法線向量,如下:
根據(jù)中間法向量n軋1(n1x,n1y,n1z)可直接求得γ(2)和 β(2):
如果式(10)不成立,則以求得的新動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù)為新的迭代初始量進(jìn)入下一輪迭代,直至式(10)成立,即求得了并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解,其求解流程圖如下圖2所示。
圖2 新算法流程圖
并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解數(shù)值求解過(guò)程中使用Newton-Raphson迭代法是目前比較常用的算法。本文將新算法與Newton-Raphson迭代法的性能進(jìn)行對(duì)比,以總結(jié)新算法的特點(diǎn)和評(píng)價(jià)新算法的優(yōu)劣。
五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)如下表1所示。利用同一臺(tái)電腦上的matlab軟件平臺(tái)用上述兩種數(shù)值解法對(duì)五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解數(shù)值求解進(jìn)行編程,先后輸入機(jī)構(gòu)兩個(gè)位置的驅(qū)動(dòng)副輸入量,初取同一迭代初始值,進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn),并與在ProE軟件分析模塊中測(cè)得的結(jié)果作對(duì)比,試驗(yàn)結(jié)果如表2至表5所示。
表1 五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)
表2 牛頓拉斐遜迭代法位置一計(jì)算結(jié)果
表3 新算法位置一計(jì)算結(jié)果
表4 牛頓拉斐遜迭代法位置二計(jì)算結(jié)果
表5 新算法位置二計(jì)算結(jié)果
根據(jù)數(shù)值實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析:
(1)對(duì)比表2與表3,可知Newton-Raphson迭代法在迭代初始值適當(dāng)時(shí),單步迭代收斂速度快,但單步平均迭代時(shí)間相比新算法長(zhǎng)。而新算法相反,每次迭代收斂速度慢,幾乎每迭代80次僅相當(dāng)于牛頓拉菲訊法迭代一次,但是新算法每次迭代所需時(shí)間極短,且總的來(lái)說(shuō)兩種迭代法計(jì)算收斂到預(yù)定精度所需總時(shí)間對(duì)比,新算法更少;
(2)對(duì)比表1與表3可知牛頓-拉菲訊法對(duì)迭代初始值的選取比較敏感,迭代初始值沒(méi)選好很可能會(huì)導(dǎo)致迭代收斂速度減緩甚至迭代不收斂;而對(duì)比表2與表4可知新算法對(duì)初始值的選取并不敏感,具有良好的適應(yīng)性;
本章以五自由度可控并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象,提出一種新的五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解求解數(shù)值方法,新算法基于圖形相似理論[10],求解思路簡(jiǎn)單,求解過(guò)程中不需要求機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣及其逆陣。通過(guò)進(jìn)行編程和數(shù)值實(shí)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析,將數(shù)值實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)與在Pro/E機(jī)構(gòu)分析中測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析,驗(yàn)證了所采用的這兩種數(shù)值分析方法的正確性,總結(jié)出這新算法初值敏感度低、單步迭代時(shí)間短,達(dá)到預(yù)定求解精度所需的迭代求解總時(shí)間短、編程工作量少等基本特點(diǎn),有利于適時(shí)控制,且本算法可以推廣到其它相似結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)構(gòu),具有較大的應(yīng)用前景。
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