張永文

（廣西大學機械工程學院，廣西 南寧530004）

由于并聯(lián)機構結構的復雜性，并聯(lián)機構的位置正解的求解難度大，主要求解方法有解析法和數(shù)值法[1]。由于并聯(lián)機構正解解析法理論發(fā)展尚不成熟，數(shù)學推導過程復雜，而且通用性不高，因此一般采用數(shù)值算法求解。目前并聯(lián)機構數(shù)值求解算法主要有兩類：一類是使用Newton-Raphson法[2-5]。例如Lee、Warldron、Pfreundschum等的研究中，基于并聯(lián)機構運動學正解方程，用牛頓迭代法對并聯(lián)機構正運動學進行求解。這種數(shù)值算法需要計算機構雅克比矩陣及其逆陣，計算量大，計算時間相對較長[6]，且算法收斂性對迭代初始值比較敏感，不利于實時控制；另一類算法是基于并聯(lián)機構的逆解，但不用計算雅克比矩陣來求機構正解[7-9]。例如神經網絡算法、遺傳算法等等。這類算法避免了復雜的公式推導和編程工作，但是求解精度難以滿足并聯(lián)機構實時控制要求。對此，本文以五自由度并聯(lián)機構為研究對象，提出一種新的并聯(lián)機構正解數(shù)值算法。

1 問題描述和現(xiàn)有正解數(shù)值算法

1.1 問題的描述

研究的五自由度并聯(lián)機構如圖1所示，該機構由靜平臺、動平臺和五個支鏈組成。五個支鏈中有四個支鏈結構相同，由轉動副、萬向節(jié)和球副組成，其與動、靜平臺鉸接點位于以動、靜平臺中心點為中心對稱點的長方形的四個角點；另一個支鏈由一個連桿和一個四連桿串聯(lián)構成。機構所有轉動副軸線相互平行，且支鏈中萬向節(jié)的一個轉動軸線也始終與轉動副軸線平行，P點和O點分別是動、靜平臺的中心。以動平臺中心P點為原點建立右手坐標系P-XPYPZP，其中XPPYP平面與動平臺重合，XP、YP軸方向為垂直于動平臺相鄰鉸節(jié)點連線方向。以靜平臺中心點O為原點建立右手坐標系O-XOYOZO，XOOYO平面與靜平臺重合，XO軸方向與機構轉動副軸線方向平行。機構結構尺寸 Li（i=1，2，3…12）如圖 1 中所示。

圖1 五自由度并聯(lián)機構結構示意圖

設動平臺位姿由（PxPyPzαβγ）六個參數(shù)來表示，其中 Px、Py、Pz表示動平臺中心點的坐標，α、β、γ表示動坐標系相對于靜坐標系的XYZ歐拉角。

1.2 現(xiàn)有正解數(shù)值解法——New ton-Raphson迭代法

Newton-Raphson迭代法基于并聯(lián)機構運動學正解方程組，用牛頓迭代法對并聯(lián)機構正運動學進行求解。動平臺上一點在靜坐標系中坐標可由坐標變換求得：

式中:Pp為動平臺中心點在靜坐標系中的坐標；

由式（1）可求得bi（i=1，2，3，4）在靜坐標系boi（i=1，2，3，4）中的坐標，由 biDi桿和 FP 桿長可列方程組：

將式（2）用動平臺位姿參數(shù)表示為：

式（3）就是五自由度可控并聯(lián)機構的正解方程組，該方程組具有強非線性，很難求得解析解，利用Newton-Raphson數(shù)值迭代法可求得方程組的解，即五自由度并聯(lián)機構的正解。

2 新算法

2.1 新算法的基本思路

新算法是基于圖形相似理論[10]提出來的，其基本思路如下：

（1）初取迭代初始值。在五自由度并聯(lián)機構工作空間內任取一點作為迭代的初始值：

（3）修正P、bi（i=1，2，3，4）.由迭代初始值求出的動平臺鉸接點不一定是動平臺鉸鏈點真實位置，機構結構參數(shù)PF=L10與boiDoi=L6不一定成立，為此作如下修改：

式中：P（2）為新動平臺上的P點，M點和N點為新引入的兩個點，分別為b1與b2點的連線中點、M點與 N 點的連線中點，由點唯一的確定了一個新動平臺平面。

（5）提取新動平臺姿態(tài)參數(shù)。

根據(jù)N點和P（2）點坐標可求解新動平臺姿態(tài)參數(shù) α（2）、γ（2）和 β（2）：

為了進一步求解 γ（2）和 β（2），先將法線向量ny，nz）繞基坐標Zo軸逆時針旋轉-α（2）角得一個中間法線向量，如下：

根據(jù)中間法向量n軋1（n1x，n1y，n1z）可直接求得γ（2）和 β（2）：

如果式（10）不成立，則以求得的新動平臺位姿參數(shù)為新的迭代初始量進入下一輪迭代，直至式（10）成立，即求得了并聯(lián)機構位置正解，其求解流程圖如下圖2所示。

圖2 新算法流程圖

2.2 數(shù)值試驗和算法性能對比

并聯(lián)機構正解數(shù)值求解過程中使用Newton-Raphson迭代法是目前比較常用的算法。本文將新算法與Newton-Raphson迭代法的性能進行對比，以總結新算法的特點和評價新算法的優(yōu)劣。

五自由度并聯(lián)機構結構參數(shù)如下表1所示。利用同一臺電腦上的matlab軟件平臺用上述兩種數(shù)值解法對五自由度并聯(lián)機構正解數(shù)值求解進行編程，先后輸入機構兩個位置的驅動副輸入量，初取同一迭代初始值，進行數(shù)值試驗，并與在ProE軟件分析模塊中測得的結果作對比，試驗結果如表2至表5所示。

表1 五自由度并聯(lián)機構結構參數(shù)

表2 牛頓拉斐遜迭代法位置一計算結果

表3 新算法位置一計算結果

表4 牛頓拉斐遜迭代法位置二計算結果

表5 新算法位置二計算結果

根據(jù)數(shù)值實驗數(shù)據(jù)分析：

（1）對比表2與表3，可知Newton-Raphson迭代法在迭代初始值適當時，單步迭代收斂速度快，但單步平均迭代時間相比新算法長。而新算法相反，每次迭代收斂速度慢，幾乎每迭代80次僅相當于牛頓拉菲訊法迭代一次，但是新算法每次迭代所需時間極短，且總的來說兩種迭代法計算收斂到預定精度所需總時間對比，新算法更少；

（2）對比表1與表3可知牛頓-拉菲訊法對迭代初始值的選取比較敏感，迭代初始值沒選好很可能會導致迭代收斂速度減緩甚至迭代不收斂；而對比表2與表4可知新算法對初始值的選取并不敏感，具有良好的適應性；

3 結束語

本章以五自由度可控并聯(lián)機構為研究對象，提出一種新的五自由度并聯(lián)機構正解求解數(shù)值方法，新算法基于圖形相似理論[10]，求解思路簡單，求解過程中不需要求機構的雅克比矩陣及其逆陣。通過進行編程和數(shù)值實驗和實驗數(shù)據(jù)分析，將數(shù)值實驗所得數(shù)據(jù)與在Pro/E機構分析中測得的數(shù)據(jù)進行對比分析，驗證了所采用的這兩種數(shù)值分析方法的正確性，總結出這新算法初值敏感度低、單步迭代時間短，達到預定求解精度所需的迭代求解總時間短、編程工作量少等基本特點，有利于適時控制，且本算法可以推廣到其它相似結構的并聯(lián)機構，具有較大的應用前景。

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