張永文
(廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,廣西 南寧530004)
由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解的求解難度大,主要求解方法有解析法和數(shù)值法[1]。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解解析法理論發(fā)展尚不成熟,數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程復(fù)雜,而且通用性不高,因此一般采用數(shù)值算法求解。目前并聯(lián)機(jī)構(gòu)數(shù)值求解算法主要有兩類:一類是使用Newton-Raphson法[2-5]。例如Lee、Warldron、Pfreundschum等的研究中,基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)正解方程,用牛頓迭代法對并聯(lián)機(jī)構(gòu)正運(yùn)動學(xué)進(jìn)行求解。這種數(shù)值算法需要計算機(jī)構(gòu)雅克比矩陣及其逆陣,計算量大,計算時間相對較長[6],且算法收斂性對迭代初始值比較敏感,不利于實時控制;另一類算法是基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆解,但不用計算雅克比矩陣來求機(jī)構(gòu)正解[7-9]。例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、遺傳算法等等。這類算法避免了復(fù)雜的公式推導(dǎo)和編程工作,但是求解精度難以滿足并聯(lián)機(jī)構(gòu)實時控制要求。對此,本文以五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象,提出一種新的并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解數(shù)值算法。
研究的五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示,該機(jī)構(gòu)由靜平臺、動平臺和五個支鏈組成。五個支鏈中有四個支鏈結(jié)構(gòu)相同,由轉(zhuǎn)動副、萬向節(jié)和球副組成,其與動、靜平臺鉸接點(diǎn)位于以動、靜平臺中心點(diǎn)為中心對稱點(diǎn)的長方形的四個角點(diǎn);另一個支鏈由一個連桿和一個四連桿串聯(lián)構(gòu)成。機(jī)構(gòu)所有轉(zhuǎn)動副軸線相互平行,且支鏈中萬向節(jié)的一個轉(zhuǎn)動軸線也始終與轉(zhuǎn)動副軸線平行,P點(diǎn)和O點(diǎn)分別是動、靜平臺的中心。以動平臺中心P點(diǎn)為原點(diǎn)建立右手坐標(biāo)系P-XPYPZP,其中XPPYP平面與動平臺重合,XP、YP軸方向為垂直于動平臺相鄰鉸節(jié)點(diǎn)連線方向。以靜平臺中心點(diǎn)O為原點(diǎn)建立右手坐標(biāo)系O-XOYOZO,XOOYO平面與靜平臺重合,XO軸方向與機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動副軸線方向平行。機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸 Li(i=1,2,3…12)如圖 1 中所示。
圖1 五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)示意圖
設(shè)動平臺位姿由(PxPyPzαβγ)六個參數(shù)來表示,其中 Px、Py、Pz表示動平臺中心點(diǎn)的坐標(biāo),α、β、γ表示動坐標(biāo)系相對于靜坐標(biāo)系的XYZ歐拉角。
Newton-Raphson迭代法基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)正解方程組,用牛頓迭代法對并聯(lián)機(jī)構(gòu)正運(yùn)動學(xué)進(jìn)行求解。動平臺上一點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中坐標(biāo)可由坐標(biāo)變換求得:
式中:Pp為動平臺中心點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo);
由式(1)可求得bi(i=1,2,3,4)在靜坐標(biāo)系boi(i=1,2,3,4)中的坐標(biāo),由 biDi桿和 FP 桿長可列方程組:
將式(2)用動平臺位姿參數(shù)表示為:
式(3)就是五自由度可控并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解方程組,該方程組具有強(qiáng)非線性,很難求得解析解,利用Newton-Raphson數(shù)值迭代法可求得方程組的解,即五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解。
新算法是基于圖形相似理論[10]提出來的,其基本思路如下:
(1)初取迭代初始值。在五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間內(nèi)任取一點(diǎn)作為迭代的初始值:
(3)修正P、bi(i=1,2,3,4).由迭代初始值求出的動平臺鉸接點(diǎn)不一定是動平臺鉸鏈點(diǎn)真實位置,機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)PF=L10與boiDoi=L6不一定成立,為此作如下修改:
式中:P(2)為新動平臺上的P點(diǎn),M點(diǎn)和N點(diǎn)為新引入的兩個點(diǎn),分別為b1與b2點(diǎn)的連線中點(diǎn)、M點(diǎn)與 N 點(diǎn)的連線中點(diǎn),由點(diǎn)唯一的確定了一個新動平臺平面。
(5)提取新動平臺姿態(tài)參數(shù)。
根據(jù)N點(diǎn)和P(2)點(diǎn)坐標(biāo)可求解新動平臺姿態(tài)參數(shù) α(2)、γ(2)和 β(2):
為了進(jìn)一步求解 γ(2)和 β(2),先將法線向量ny,nz)繞基坐標(biāo)Zo軸逆時針旋轉(zhuǎn)-α(2)角得一個中間法線向量,如下:
根據(jù)中間法向量n軋1(n1x,n1y,n1z)可直接求得γ(2)和 β(2):
如果式(10)不成立,則以求得的新動平臺位姿參數(shù)為新的迭代初始量進(jìn)入下一輪迭代,直至式(10)成立,即求得了并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解,其求解流程圖如下圖2所示。
圖2 新算法流程圖
并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解數(shù)值求解過程中使用Newton-Raphson迭代法是目前比較常用的算法。本文將新算法與Newton-Raphson迭代法的性能進(jìn)行對比,以總結(jié)新算法的特點(diǎn)和評價新算法的優(yōu)劣。
五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)如下表1所示。利用同一臺電腦上的matlab軟件平臺用上述兩種數(shù)值解法對五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解數(shù)值求解進(jìn)行編程,先后輸入機(jī)構(gòu)兩個位置的驅(qū)動副輸入量,初取同一迭代初始值,進(jìn)行數(shù)值試驗,并與在ProE軟件分析模塊中測得的結(jié)果作對比,試驗結(jié)果如表2至表5所示。
表1 五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)
表2 牛頓拉斐遜迭代法位置一計算結(jié)果
表3 新算法位置一計算結(jié)果
表4 牛頓拉斐遜迭代法位置二計算結(jié)果
表5 新算法位置二計算結(jié)果
根據(jù)數(shù)值實驗數(shù)據(jù)分析:
(1)對比表2與表3,可知Newton-Raphson迭代法在迭代初始值適當(dāng)時,單步迭代收斂速度快,但單步平均迭代時間相比新算法長。而新算法相反,每次迭代收斂速度慢,幾乎每迭代80次僅相當(dāng)于牛頓拉菲訊法迭代一次,但是新算法每次迭代所需時間極短,且總的來說兩種迭代法計算收斂到預(yù)定精度所需總時間對比,新算法更少;
(2)對比表1與表3可知牛頓-拉菲訊法對迭代初始值的選取比較敏感,迭代初始值沒選好很可能會導(dǎo)致迭代收斂速度減緩甚至迭代不收斂;而對比表2與表4可知新算法對初始值的選取并不敏感,具有良好的適應(yīng)性;
本章以五自由度可控并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象,提出一種新的五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解求解數(shù)值方法,新算法基于圖形相似理論[10],求解思路簡單,求解過程中不需要求機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣及其逆陣。通過進(jìn)行編程和數(shù)值實驗和實驗數(shù)據(jù)分析,將數(shù)值實驗所得數(shù)據(jù)與在Pro/E機(jī)構(gòu)分析中測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析,驗證了所采用的這兩種數(shù)值分析方法的正確性,總結(jié)出這新算法初值敏感度低、單步迭代時間短,達(dá)到預(yù)定求解精度所需的迭代求解總時間短、編程工作量少等基本特點(diǎn),有利于適時控制,且本算法可以推廣到其它相似結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)構(gòu),具有較大的應(yīng)用前景。
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