張永文

（廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，廣西 南寧530004）

由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解的求解難度大，主要求解方法有解析法和數(shù)值法[1]。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解解析法理論發(fā)展尚不成熟，數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜，而且通用性不高，因此一般采用數(shù)值算法求解。目前并聯(lián)機(jī)構(gòu)數(shù)值求解算法主要有兩類：一類是使用Newton-Raphson法[2-5]。例如Lee、Warldron、Pfreundschum等的研究中，基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程，用牛頓迭代法對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行求解。這種數(shù)值算法需要計(jì)算機(jī)構(gòu)雅克比矩陣及其逆陣，計(jì)算量大，計(jì)算時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)[6]，且算法收斂性對(duì)迭代初始值比較敏感，不利于實(shí)時(shí)控制；另一類算法是基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆解，但不用計(jì)算雅克比矩陣來(lái)求機(jī)構(gòu)正解[7-9]。例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、遺傳算法等等。這類算法避免了復(fù)雜的公式推導(dǎo)和編程工作，但是求解精度難以滿足并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)時(shí)控制要求。對(duì)此，本文以五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，提出一種新的并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解數(shù)值算法。

1 問(wèn)題描述和現(xiàn)有正解數(shù)值算法

1.1 問(wèn)題的描述

研究的五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示，該機(jī)構(gòu)由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和五個(gè)支鏈組成。五個(gè)支鏈中有四個(gè)支鏈結(jié)構(gòu)相同，由轉(zhuǎn)動(dòng)副、萬(wàn)向節(jié)和球副組成，其與動(dòng)、靜平臺(tái)鉸接點(diǎn)位于以動(dòng)、靜平臺(tái)中心點(diǎn)為中心對(duì)稱點(diǎn)的長(zhǎng)方形的四個(gè)角點(diǎn)；另一個(gè)支鏈由一個(gè)連桿和一個(gè)四連桿串聯(lián)構(gòu)成。機(jī)構(gòu)所有轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線相互平行，且支鏈中萬(wàn)向節(jié)的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線也始終與轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線平行，P點(diǎn)和O點(diǎn)分別是動(dòng)、靜平臺(tái)的中心。以動(dòng)平臺(tái)中心P點(diǎn)為原點(diǎn)建立右手坐標(biāo)系P-XPYPZP，其中XPPYP平面與動(dòng)平臺(tái)重合，XP、YP軸方向?yàn)榇怪庇趧?dòng)平臺(tái)相鄰鉸節(jié)點(diǎn)連線方向。以靜平臺(tái)中心點(diǎn)O為原點(diǎn)建立右手坐標(biāo)系O-XOYOZO，XOOYO平面與靜平臺(tái)重合，XO軸方向與機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向平行。機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸 Li（i=1，2，3…12）如圖 1 中所示。

圖1 五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)示意圖

設(shè)動(dòng)平臺(tái)位姿由（PxPyPzαβγ）六個(gè)參數(shù)來(lái)表示，其中 Px、Py、Pz表示動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的坐標(biāo)，α、β、γ表示動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于靜坐標(biāo)系的XYZ歐拉角。

1.2 現(xiàn)有正解數(shù)值解法——New ton-Raphson迭代法

Newton-Raphson迭代法基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程組，用牛頓迭代法對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行求解。動(dòng)平臺(tái)上一點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中坐標(biāo)可由坐標(biāo)變換求得：

式中:Pp為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；

由式（1）可求得bi（i=1，2，3，4）在靜坐標(biāo)系boi（i=1，2，3，4）中的坐標(biāo)，由 biDi桿和 FP 桿長(zhǎng)可列方程組：

將式（2）用動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù)表示為：

式（3）就是五自由度可控并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解方程組，該方程組具有強(qiáng)非線性，很難求得解析解，利用Newton-Raphson數(shù)值迭代法可求得方程組的解，即五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解。

2 新算法

2.1 新算法的基本思路

新算法是基于圖形相似理論[10]提出來(lái)的，其基本思路如下：

（1）初取迭代初始值。在五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間內(nèi)任取一點(diǎn)作為迭代的初始值：

（3）修正P、bi（i=1，2，3，4）.由迭代初始值求出的動(dòng)平臺(tái)鉸接點(diǎn)不一定是動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)真實(shí)位置，機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)PF=L10與boiDoi=L6不一定成立，為此作如下修改：

式中：P（2）為新動(dòng)平臺(tái)上的P點(diǎn)，M點(diǎn)和N點(diǎn)為新引入的兩個(gè)點(diǎn)，分別為b1與b2點(diǎn)的連線中點(diǎn)、M點(diǎn)與 N 點(diǎn)的連線中點(diǎn)，由點(diǎn)唯一的確定了一個(gè)新動(dòng)平臺(tái)平面。

（5）提取新動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)參數(shù)。

根據(jù)N點(diǎn)和P（2）點(diǎn)坐標(biāo)可求解新動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)參數(shù) α（2）、γ（2）和 β（2）：

為了進(jìn)一步求解 γ（2）和 β（2），先將法線向量ny，nz）繞基坐標(biāo)Zo軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)-α（2）角得一個(gè)中間法線向量，如下：

根據(jù)中間法向量n軋1（n1x，n1y，n1z）可直接求得γ（2）和 β（2）：

如果式（10）不成立，則以求得的新動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù)為新的迭代初始量進(jìn)入下一輪迭代，直至式（10）成立，即求得了并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解，其求解流程圖如下圖2所示。

圖2 新算法流程圖

2.2 數(shù)值試驗(yàn)和算法性能對(duì)比

并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解數(shù)值求解過(guò)程中使用Newton-Raphson迭代法是目前比較常用的算法。本文將新算法與Newton-Raphson迭代法的性能進(jìn)行對(duì)比，以總結(jié)新算法的特點(diǎn)和評(píng)價(jià)新算法的優(yōu)劣。

五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)如下表1所示。利用同一臺(tái)電腦上的matlab軟件平臺(tái)用上述兩種數(shù)值解法對(duì)五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解數(shù)值求解進(jìn)行編程，先后輸入機(jī)構(gòu)兩個(gè)位置的驅(qū)動(dòng)副輸入量，初取同一迭代初始值，進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)，并與在ProE軟件分析模塊中測(cè)得的結(jié)果作對(duì)比，試驗(yàn)結(jié)果如表2至表5所示。

表1 五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 牛頓拉斐遜迭代法位置一計(jì)算結(jié)果

表3 新算法位置一計(jì)算結(jié)果

表4 牛頓拉斐遜迭代法位置二計(jì)算結(jié)果

表5 新算法位置二計(jì)算結(jié)果

根據(jù)數(shù)值實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析：

（1）對(duì)比表2與表3，可知Newton-Raphson迭代法在迭代初始值適當(dāng)時(shí)，單步迭代收斂速度快，但單步平均迭代時(shí)間相比新算法長(zhǎng)。而新算法相反，每次迭代收斂速度慢，幾乎每迭代80次僅相當(dāng)于牛頓拉菲訊法迭代一次，但是新算法每次迭代所需時(shí)間極短，且總的來(lái)說(shuō)兩種迭代法計(jì)算收斂到預(yù)定精度所需總時(shí)間對(duì)比，新算法更少；

（2）對(duì)比表1與表3可知牛頓-拉菲訊法對(duì)迭代初始值的選取比較敏感，迭代初始值沒(méi)選好很可能會(huì)導(dǎo)致迭代收斂速度減緩甚至迭代不收斂；而對(duì)比表2與表4可知新算法對(duì)初始值的選取并不敏感，具有良好的適應(yīng)性；

3 結(jié)束語(yǔ)

本章以五自由度可控并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，提出一種新的五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解求解數(shù)值方法，新算法基于圖形相似理論[10]，求解思路簡(jiǎn)單，求解過(guò)程中不需要求機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣及其逆陣。通過(guò)進(jìn)行編程和數(shù)值實(shí)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，將數(shù)值實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)與在Pro/E機(jī)構(gòu)分析中測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了所采用的這兩種數(shù)值分析方法的正確性，總結(jié)出這新算法初值敏感度低、單步迭代時(shí)間短，達(dá)到預(yù)定求解精度所需的迭代求解總時(shí)間短、編程工作量少等基本特點(diǎn)，有利于適時(shí)控制，且本算法可以推廣到其它相似結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，具有較大的應(yīng)用前景。

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