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        五自由度并聯(lián)機構正解新數(shù)值算法

        2015-11-30 08:19:54張永文
        裝備制造技術 2015年11期
        關鍵詞:迭代法運動學并聯(lián)

        張永文

        (廣西大學機械工程學院,廣西 南寧530004)

        由于并聯(lián)機構結構的復雜性,并聯(lián)機構的位置正解的求解難度大,主要求解方法有解析法和數(shù)值法[1]。由于并聯(lián)機構正解解析法理論發(fā)展尚不成熟,數(shù)學推導過程復雜,而且通用性不高,因此一般采用數(shù)值算法求解。目前并聯(lián)機構數(shù)值求解算法主要有兩類:一類是使用Newton-Raphson法[2-5]。例如Lee、Warldron、Pfreundschum等的研究中,基于并聯(lián)機構運動學正解方程,用牛頓迭代法對并聯(lián)機構正運動學進行求解。這種數(shù)值算法需要計算機構雅克比矩陣及其逆陣,計算量大,計算時間相對較長[6],且算法收斂性對迭代初始值比較敏感,不利于實時控制;另一類算法是基于并聯(lián)機構的逆解,但不用計算雅克比矩陣來求機構正解[7-9]。例如神經網絡算法、遺傳算法等等。這類算法避免了復雜的公式推導和編程工作,但是求解精度難以滿足并聯(lián)機構實時控制要求。對此,本文以五自由度并聯(lián)機構為研究對象,提出一種新的并聯(lián)機構正解數(shù)值算法。

        1 問題描述和現(xiàn)有正解數(shù)值算法

        1.1 問題的描述

        研究的五自由度并聯(lián)機構如圖1所示,該機構由靜平臺、動平臺和五個支鏈組成。五個支鏈中有四個支鏈結構相同,由轉動副、萬向節(jié)和球副組成,其與動、靜平臺鉸接點位于以動、靜平臺中心點為中心對稱點的長方形的四個角點;另一個支鏈由一個連桿和一個四連桿串聯(lián)構成。機構所有轉動副軸線相互平行,且支鏈中萬向節(jié)的一個轉動軸線也始終與轉動副軸線平行,P點和O點分別是動、靜平臺的中心。以動平臺中心P點為原點建立右手坐標系P-XPYPZP,其中XPPYP平面與動平臺重合,XP、YP軸方向為垂直于動平臺相鄰鉸節(jié)點連線方向。以靜平臺中心點O為原點建立右手坐標系O-XOYOZO,XOOYO平面與靜平臺重合,XO軸方向與機構轉動副軸線方向平行。機構結構尺寸 Li(i=1,2,3…12)如圖 1 中所示。

        圖1 五自由度并聯(lián)機構結構示意圖

        設動平臺位姿由(PxPyPzαβγ)六個參數(shù)來表示,其中 Px、Py、Pz表示動平臺中心點的坐標,α、β、γ表示動坐標系相對于靜坐標系的XYZ歐拉角。

        1.2 現(xiàn)有正解數(shù)值解法——New ton-Raphson迭代法

        Newton-Raphson迭代法基于并聯(lián)機構運動學正解方程組,用牛頓迭代法對并聯(lián)機構正運動學進行求解。動平臺上一點在靜坐標系中坐標可由坐標變換求得:

        式中:Pp為動平臺中心點在靜坐標系中的坐標;

        由式(1)可求得bi(i=1,2,3,4)在靜坐標系boi(i=1,2,3,4)中的坐標,由 biDi桿和 FP 桿長可列方程組:

        將式(2)用動平臺位姿參數(shù)表示為:

        式(3)就是五自由度可控并聯(lián)機構的正解方程組,該方程組具有強非線性,很難求得解析解,利用Newton-Raphson數(shù)值迭代法可求得方程組的解,即五自由度并聯(lián)機構的正解。

        2 新算法

        2.1 新算法的基本思路

        新算法是基于圖形相似理論[10]提出來的,其基本思路如下:

        (1)初取迭代初始值。在五自由度并聯(lián)機構工作空間內任取一點作為迭代的初始值:

        (3)修正P、bi(i=1,2,3,4).由迭代初始值求出的動平臺鉸接點不一定是動平臺鉸鏈點真實位置,機構結構參數(shù)PF=L10與boiDoi=L6不一定成立,為此作如下修改:

        式中:P(2)為新動平臺上的P點,M點和N點為新引入的兩個點,分別為b1與b2點的連線中點、M點與 N 點的連線中點,由點唯一的確定了一個新動平臺平面。

        (5)提取新動平臺姿態(tài)參數(shù)。

        根據(jù)N點和P(2)點坐標可求解新動平臺姿態(tài)參數(shù) α(2)、γ(2)和 β(2):

        為了進一步求解 γ(2)和 β(2),先將法線向量ny,nz)繞基坐標Zo軸逆時針旋轉-α(2)角得一個中間法線向量,如下:

        根據(jù)中間法向量n軋1(n1x,n1y,n1z)可直接求得γ(2)和 β(2):

        如果式(10)不成立,則以求得的新動平臺位姿參數(shù)為新的迭代初始量進入下一輪迭代,直至式(10)成立,即求得了并聯(lián)機構位置正解,其求解流程圖如下圖2所示。

        圖2 新算法流程圖

        2.2 數(shù)值試驗和算法性能對比

        并聯(lián)機構正解數(shù)值求解過程中使用Newton-Raphson迭代法是目前比較常用的算法。本文將新算法與Newton-Raphson迭代法的性能進行對比,以總結新算法的特點和評價新算法的優(yōu)劣。

        五自由度并聯(lián)機構結構參數(shù)如下表1所示。利用同一臺電腦上的matlab軟件平臺用上述兩種數(shù)值解法對五自由度并聯(lián)機構正解數(shù)值求解進行編程,先后輸入機構兩個位置的驅動副輸入量,初取同一迭代初始值,進行數(shù)值試驗,并與在ProE軟件分析模塊中測得的結果作對比,試驗結果如表2至表5所示。

        表1 五自由度并聯(lián)機構結構參數(shù)

        表2 牛頓拉斐遜迭代法位置一計算結果

        表3 新算法位置一計算結果

        表4 牛頓拉斐遜迭代法位置二計算結果

        表5 新算法位置二計算結果

        根據(jù)數(shù)值實驗數(shù)據(jù)分析:

        (1)對比表2與表3,可知Newton-Raphson迭代法在迭代初始值適當時,單步迭代收斂速度快,但單步平均迭代時間相比新算法長。而新算法相反,每次迭代收斂速度慢,幾乎每迭代80次僅相當于牛頓拉菲訊法迭代一次,但是新算法每次迭代所需時間極短,且總的來說兩種迭代法計算收斂到預定精度所需總時間對比,新算法更少;

        (2)對比表1與表3可知牛頓-拉菲訊法對迭代初始值的選取比較敏感,迭代初始值沒選好很可能會導致迭代收斂速度減緩甚至迭代不收斂;而對比表2與表4可知新算法對初始值的選取并不敏感,具有良好的適應性;

        3 結束語

        本章以五自由度可控并聯(lián)機構為研究對象,提出一種新的五自由度并聯(lián)機構正解求解數(shù)值方法,新算法基于圖形相似理論[10],求解思路簡單,求解過程中不需要求機構的雅克比矩陣及其逆陣。通過進行編程和數(shù)值實驗和實驗數(shù)據(jù)分析,將數(shù)值實驗所得數(shù)據(jù)與在Pro/E機構分析中測得的數(shù)據(jù)進行對比分析,驗證了所采用的這兩種數(shù)值分析方法的正確性,總結出這新算法初值敏感度低、單步迭代時間短,達到預定求解精度所需的迭代求解總時間短、編程工作量少等基本特點,有利于適時控制,且本算法可以推廣到其它相似結構的并聯(lián)機構,具有較大的應用前景。

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