一類特殊四面體的探究
2015-11-29 00:00:00林龍英
新課程·下旬 2015年11期
我們知道直角三角形在三角形當(dāng)中是一類特殊的三角形，具有很大的研究價(jià)值，得到了很多有用的結(jié)論。那么在推廣到三維空間，在所有的四面體中也有一類比較特殊的四面體叫做直四面體，經(jīng)常在各類高考模擬考試中出現(xiàn)，本文對(duì)其進(jìn)行探討，得到一些重要的結(jié)論.
直四面體的定義：如圖1所示，在四面體P-ABC中，側(cè)棱PA，PB，PC兩兩相互垂直，我們稱這樣的四面體為直四面體，以下是基于直四面體的研究得到的結(jié)論.
圖1
一、海倫公式的變形
引理：在△ABC中∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊長分別為a，b，c，s=，S表示△ABC的面積，則有S=；我們稱為海倫公式，對(duì)其進(jìn)行等價(jià)變形后會(huì)得到一些等價(jià)的形式。
S=
=
=
=
=
=
二、結(jié)論
為了研究方便，如圖2假設(shè)直四面體P-ABC的側(cè)棱PA，PB，PC的長度分別為m，n，t，容易證明PA⊥面PBC，PB⊥面PAC，PC⊥面PAB；三角形PBC，PAC，PAB都是直角三角形.
圖2
結(jié)論1：S2PAB+S2PBC+S2PAC=S2ABC
證明：∵側(cè)棱PA，PB，PC的長度分別為m，n，t，且三角形PBC，PAB，PAB都是直角三角形.
∴SPAB=mn；SPBC=nt；SPAC=mt；
且AB=，BC=，AC=；根據(jù)海倫公式的變形可得：
S=可得：
S△ABC=
=
=
=
∴S2PAB+S2PBC+S2PAC=S2ABC
結(jié)論2：假如在棱AB，BC，AC邊上分別取中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，如圖3則有：S2PDC+S2PAE+S2PBF=2S2ABC
圖3
證明：∵D是AB的中點(diǎn)，且△PAB是直角三角形；
∴PD=AB=
又∵PC⊥面PAB；∴PC⊥PD；∴△PDC是直角三角形；
∴SPDC=PD·PC=·t；
同理可得：SPAE=·m；SPBF=·n
由前面可知：SABC=
即S2PDC+S2PAE+S2PBF==2S2ABC
結(jié)論3：假如在結(jié)論2中的棱AB，BC，AC邊上的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別改為棱AB，BC，AC的垂足，則有：++=
證明：∵△PAB是直角三角形，對(duì)△PAB的面積算兩次即，
mn=AB·PD=·PD，得PD=；又∵PC⊥面PAB；∴PC⊥PD；∴△PDC是直角三角形；∴SPDC=PD·PC=；
同理可得：SPAE=；SPBF=；
∴++=
結(jié)論4：假設(shè)如圖4側(cè)面PAB，PBC，PAC與底面ABC的二面角分別為α，β，γ，則有sin2α+sin2β+sin2γ=2；cos2α+cos2β+cos2γ=1.
圖4
證明：如圖4所示，作PO⊥面ABC于點(diǎn)O；對(duì)四面體的體積算兩次，即VP-ABC=S△ABC·PO=S△PAB·PC，由前面可知SABC=
∴×·PO=×mnt
∴PO=
又∵PD=；
∴sinα==，
即，sin2α=，
同理可得：sin2β=，sin2γ=
∴sin2α+sin2β+sin2γ==2
cos2α+cos2β+cos2γ=3-（sin2α+sin2β+sin2γ）=3-2=1
結(jié)論5：如果四面體的三條棱PA，PB，PC分別與底面ABC所稱的角分別記為α，β，γ（如圖5），則sin2α+sin2β+sin2γ=1；cos2α+cos2β+cos2γ=2
圖5
證明：由前面計(jì)算可知∴PO=
又∵sinα==；
∴sin2α=
同理可得：sin2β=，sin2γ=
∴sin2α+sin2β+sin2γ==1；
cos2α+cos2β+cos2γ=3-（sin2α+sin2β+sin2γ）=3-1=2
結(jié)論6：直四面體的外接球半徑R=；內(nèi)接球半徑
r=
證明：將四面體P-ABC補(bǔ)全為長方體（如圖6所示）；則四面體的外接球與長方體的外接球相同，而長方體的外接球半徑R=（證明略），所以直四面體的外接球半徑R=，
圖6
假設(shè)內(nèi)接球的半徑為r，對(duì)四面體的體積算兩次，
即VP-ABC=×mnt=；
VP-ABC=（SPAB+SPBC+SPAC+SABC）r=（mn+nt+mt+r
∴r=
參考文獻(xiàn)：
徐晨，陸智明，羅華，等.對(duì)一個(gè)特殊四面體性質(zhì)的研究[J].中學(xué)理科，2000（09）.
·編輯 段麗君
