摘 要：高等數(shù)學(xué)知識點擴展性教學(xué)法對提高教學(xué)質(zhì)量很有幫助，提出了實施該方法的幾項原則和若干嘗試，實踐表明，效果較佳。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；知識點；擴展性；綜合素質(zhì)

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)生必修的基礎(chǔ)課。認(rèn)真的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，可以使學(xué)生樹立明確的數(shù)量觀念，可以提高學(xué)生的邏輯思維能力，使學(xué)生思路清晰，條理分明，可以培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真細(xì)致的作風(fēng)，可以提高學(xué)生使用數(shù)學(xué)知識處理現(xiàn)實世界中各種復(fù)雜問題的意識和能力，可以調(diào)動學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造能力。

目前，學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的情況并不理想，部分學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)缺少興趣，應(yīng)付學(xué)習(xí)，結(jié)果是成績差，甚至有的學(xué)生因數(shù)學(xué)成績差而拿不到畢業(yè)證。調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，這部分學(xué)生大都認(rèn)為“數(shù)學(xué)難學(xué)”。其產(chǎn)生的原因是多方面的，主要原因：

一是課程本身概念抽象、理論難懂，加上教師上課大都采用傳統(tǒng)的教學(xué)活動模式，將有定論的概念、定理和法則等知識直接呈現(xiàn)給學(xué)生，然后再加以解釋、推理、論證，學(xué)生往往處于被動接受知識的狀態(tài)，學(xué)習(xí)動機難以激發(fā)，結(jié)果是教得費勁，學(xué)得吃力，從而使學(xué)生失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。二是課本介紹的應(yīng)用有限，與專業(yè)知識脫節(jié)，加上授課教師因?qū)I(yè)知識的局限而介紹其應(yīng)用甚少，從而感覺“數(shù)學(xué)無用”。

我認(rèn)為：在高等數(shù)學(xué)知識點的講授中，應(yīng)加強對學(xué)生數(shù)學(xué)“興趣”“有用”的教學(xué)，這就是高等數(shù)學(xué)知識點擴展性教學(xué)法。

一、擴展性教學(xué)的作用與原則

1.何為擴展性教學(xué)

擴展性教學(xué)，簡單說來就是對教學(xué)內(nèi)容的擴充和展開。針對教材中的不足，教師及時做出必要的補充、取舍或知識性、應(yīng)用性的展開。對不同的問題，堅持以創(chuàng)造性為目標(biāo)的定向?qū)W習(xí)，實施激疑頓悟的啟發(fā)教育，通過采取類比、聯(lián)想等不同方法解決問題的過程，使學(xué)生在掌握基本的解題方法和技巧的同時，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。

擴展性教學(xué)就是將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，開發(fā)潛在創(chuàng)造力。要把數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，不僅要深入理解數(shù)學(xué)，還要借助人文精神的融合。教師既要重視教學(xué)理論研究，也要不斷地將本學(xué)科知識與實踐相聯(lián)系、本學(xué)科與學(xué)生所在專業(yè)和學(xué)科相聯(lián)系，積極主動地向?qū)W生展示現(xiàn)實生活中數(shù)學(xué)信息和數(shù)學(xué)在其他專業(yè)中的應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教授學(xué)生探索知識的途徑，為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)和工作創(chuàng)造有利的條件。

2.擴展性教學(xué)的作用

高等數(shù)學(xué)知識點擴展性教學(xué)法的實施有利于教師因材施教，有利于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的“興趣”，有利于學(xué)生把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法與周圍現(xiàn)實世界聯(lián)系起來，使學(xué)與用有機結(jié)合起來，建立數(shù)學(xué)與專業(yè)聯(lián)系的橋梁，從而培養(yǎng)具有系統(tǒng)理論知識，善于分析問題和解決問題的應(yīng)用型人才。

3.擴展性教學(xué)實施的原則

高等數(shù)學(xué)知識點擴展性教學(xué)實施中要注意遵循合理性原則、針對性原則、通俗性原則、適應(yīng)性原則、保障性原則。

合理性原則是指知識點擴展要合情合理，不能理論與實際脫節(jié)或生拉硬套。針對性原則是指知識點擴展要注意針對不同的授課對象的專業(yè)及知識面；通俗性原則是指知識點擴展要通俗易懂，不要增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)，通過知識點擴展，盡量讓學(xué)生享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，以此增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；適應(yīng)性原則是指知識點擴展要適應(yīng)學(xué)生綜合素質(zhì)及學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題能力的培養(yǎng)；保障性原則是指知識點擴展要以保障授課學(xué)時、教學(xué)內(nèi)容的完成為前提。

二、擴展性教學(xué)的若干嘗試

高等數(shù)學(xué)知識點擴展性教學(xué)的關(guān)鍵問題是把它有效地融合在課堂教學(xué)之中，這就給授課教師提出了更高的要求：首先，要求教師吃透教材中的各個知識點；其次，要求教師要盡可能多地了解該知識點的應(yīng)用范圍；最后，要求教師在知識點擴展性教學(xué)中要充分把握好深度、廣度，圍繞“興趣”“有用”多做文章，達(dá)到提高學(xué)生綜合素質(zhì)之目的。

在高等數(shù)學(xué)知識點擴展性教學(xué)法的實踐中，幾年來我們做了以下嘗試：

1.加強緒論教學(xué)，注重數(shù)學(xué)興趣性及應(yīng)用性的擴展性教學(xué)

講好高等數(shù)學(xué)緒論，對新生來說十分重要。好的緒論課會影響學(xué)生以后對數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)態(tài)度、興趣、熱情及效果。如何講好緒論？對不少的青年教師來說是個難題，通過多年的教學(xué)實踐，我們認(rèn)為緒論課要解決以下幾個方面的問題：

（1）通過緒論課讓學(xué)生大致了解本課程的研究對象、目的、手段及方法，使學(xué)生初步知道學(xué)習(xí)該課程的重要性、必要性；（2）通過緒論課可使學(xué)生了解本學(xué)科的發(fā)展歷史及前沿動態(tài)，由此堅定學(xué)生熱愛科學(xué)、探討科學(xué)的信念；（3）通過緒論課結(jié)合學(xué)生的專業(yè)特點了解數(shù)學(xué)在其所學(xué)專業(yè)方面的應(yīng)用及學(xué)好本課程的重要性，使學(xué)生形成“數(shù)學(xué)有用要去學(xué)，數(shù)學(xué)有用必須學(xué)”的積極想法。

2.借助分層教學(xué)平臺，注重知識層次上的擴展性教學(xué)

根據(jù)大一新生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的差異，為了較好地解決教學(xué)中學(xué)困生“吃不了”和優(yōu)生“吃不飽”的難題，便于教師實施“因材施教”，我們在全校范圍內(nèi)對高等數(shù)學(xué)實行了分層次教學(xué)。在分層次教學(xué)中，面對不同層次的學(xué)生，擴展性教學(xué)法的實施也不盡相同，這就需要教師認(rèn)真把握。對此，我們?nèi)w參加分層次教學(xué)的老師通過集體論證、集體備課，統(tǒng)一認(rèn)識，對不同層次學(xué)生的擴展性教學(xué)達(dá)成了共識。

對基礎(chǔ)差的學(xué)生B，講課從提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣入手，重點放在打好基礎(chǔ)，理解概念，會用定理、結(jié)論上，舉例盡量簡單，掌握解題方法，培養(yǎng)學(xué)生解決簡單實際問題的能力；對于基礎(chǔ)好的學(xué)生，教學(xué)重點應(yīng)放在知識的鞏固、綜合素質(zhì)的提高及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題能力的培養(yǎng)上。

在新概念的講授中，注重不同層次的擴展性教學(xué)，可以講一些新知識點的來歷、應(yīng)用范圍、在本專業(yè)方面的應(yīng)用及它在數(shù)學(xué)中的重要作用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)該新知識點的興趣和熱情。以高等數(shù)學(xué)中定積分概念的講授為例：

對于基礎(chǔ)稍差的學(xué)生，可由求曲邊梯形面積、變速直線運動的路程等問題入手，引入定積分的概念。在了解定積分概念的基礎(chǔ)上，通過知識點的簡單擴展，讓學(xué)生了解定積分與積分區(qū)間的分法、取法、積分變量用何字母表示無關(guān)，而與積分區(qū)間及被積函數(shù)有關(guān)，并簡要介紹一點定積分在其他方面的應(yīng)用，其目的是讓基礎(chǔ)差的學(xué)生既能夠?qū)Χǚe分的概念加深理解，又能知道定積分應(yīng)用于哪些實際問題之中。

對于基礎(chǔ)好的學(xué)生，在B層次學(xué)生講授的基礎(chǔ)上，做以下擴展：（1）通過定積分概念中的三個無關(guān)，介紹利用積分區(qū)間的等分及取小區(qū)間端點的方法，引入應(yīng)用定積分定義式解題的兩種題型：一是如何應(yīng)用無窮多項和式的極限去計算定積分；二是如何利用定積分去計算無窮多項和式的極限，這也順便介紹了一種求極限的方法。（2）通過定積分定義引入的思路，讓學(xué)生自己給出已知非均勻桿的密度函數(shù)求質(zhì)量、已知電流求電量等定積分表達(dá)式。（3）借助定積分的幾何意義，可進(jìn)一步擴展到利用規(guī)則幾何圖形面積及對稱性計算定積分的思路與方法。

通過對定積分概念在不同層次上的擴展性教學(xué)，使基礎(chǔ)有差異的學(xué)生都能受益，都能形成不同程度的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到了分層教學(xué)之目的。

3.在講授新概念時，實施通俗化擴展性教學(xué)

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，常會引入一些新概念，也會遇到一些學(xué)生對新概念似懂非懂，影響相關(guān)知識的學(xué)習(xí)。高等數(shù)學(xué)中的新概念大都是從實際問題中抽象出來的，因此比較“抽象”，學(xué)生要有一個適應(yīng)過程，這就需要老師去做恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，使其能盡快地理解、掌握。

為了讓學(xué)生加深對新概念的理解，可從以下幾個方面實施擴展性教學(xué)：（1）結(jié)合實際背景引入概念。如導(dǎo)數(shù)概念引入前，可先介紹“變速直線運動的速度問題”；定積分的概念引入前，可先介紹“曲邊梯形的面積問題”等；（2）結(jié)合中外有代表性的故事或?qū)嵗敫拍?。如引入極限概念時，可先介紹我國春秋戰(zhàn)國時期莊周的“取木問題”，形成學(xué)生對極限思想的初步認(rèn)識和理解；（3）結(jié)合生活實例引入或解釋新概念。如借助“樹木的生長”解釋函數(shù)的連續(xù)等；（4）恰當(dāng)?shù)谋扔饔袝r也會收到好的效果。如在講授可去間斷點時可比喻為“兩根鐵絲對接時，用焊錫將其連接”，其焊點即為可去間斷點。

4.在章節(jié)小結(jié)時，注重知識點的系統(tǒng)性、擴展性教學(xué)

對于高等數(shù)學(xué)教學(xué)，章節(jié)小結(jié)或習(xí)題課是整個教學(xué)中不可缺少的環(huán)節(jié)，通過章節(jié)小結(jié)或習(xí)題課可使學(xué)生了解該章節(jié)的知識要點、題型及解法，明確哪些是重點、難點，在不同領(lǐng)域中的應(yīng)用情況，最后使學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識。

在章節(jié)小結(jié)或習(xí)題課的講授中，注重知識點的系統(tǒng)性、擴展性教學(xué)，要從學(xué)生了解知識的系統(tǒng)性、掌握解題的方法性、突出實際中的應(yīng)用性。如在微分方程一章的小結(jié)或習(xí)題課的講授中，為了讓學(xué)生了解知識的系統(tǒng)性，我們對該章知識點做了下述處理：（1）知識點的框架結(jié)構(gòu)：為了讓學(xué)生掌握知識的系統(tǒng)性，在總結(jié)完該章基本內(nèi)容和基本知識點后，可給學(xué)生提供如下知識框架結(jié)構(gòu)。（2）為了讓學(xué)生熟記解題的思路、方法，我們總結(jié)出如下言簡意賅的記憶方法：看階定型找方法。即在進(jìn)行微分方程求解時，先看其階數(shù)，再看是什么類型，最后確定用何解法。（3）典型例題分析。（4）微分方程應(yīng)用及實例。

幾年來通過高等數(shù)學(xué)知識點擴展性教學(xué)法的實踐，使教學(xué)收到了好的效果，開創(chuàng)了高等數(shù)學(xué)新的教學(xué)模式，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加強了學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)，讓學(xué)生了解了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，拓展了學(xué)生的知識面，也增加了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力。實踐證明，擴展性教學(xué)法已得到學(xué)生的認(rèn)可，并在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮積極的作用，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性有了明顯提高，因此，在基本要求不降低的條件下，近兩年數(shù)學(xué)課程的及格率有了顯著提高。

當(dāng)然，提高高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量和效果是一個復(fù)雜的系統(tǒng)工程，需要教師、學(xué)生及各方面的共同努力和配合，高等數(shù)學(xué)知識點擴展性教學(xué)法也需要進(jìn)一步完善。

參考文獻(xiàn)：

[1]李大潛.數(shù)學(xué)科學(xué)與數(shù)學(xué)教育芻議[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2004.

[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]史本廣.數(shù)學(xué)教學(xué)與能力培養(yǎng)[J].中國素質(zhì)教育理論與實踐，2004.

基金項目：河南省基礎(chǔ)與前沿科學(xué)技術(shù)研究項目（142300410003）。

·編輯 李建軍