李立娟

（河北省唐山市曹妃甸區(qū)第一中學(xué)，河北 唐山 063299）

試論一題多解巧解圓錐曲線的離心率

李立娟

（河北省唐山市曹妃甸區(qū)第一中學(xué)，河北 唐山 063299）

圓錐曲線是高考必考部分，并且一直是一個熱點和難點。通過2015年唐山市一模試卷的一道選擇題，從不同的角度一題多解，代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化，兩者有效結(jié)合，能提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

雙曲線；離心率；漸近線；向量

圓錐曲線是高考必考部分，大約試卷上有兩道小題一道大題，基本上22分左右。離心率是圓錐曲線的重要性質(zhì)之一，也是高考的熱點問題。本文通過一道小題對圓錐曲線離心率的求法進(jìn)行總結(jié)歸納，論述一題多解的優(yōu)勢。

2=3b2或b2=3a2，所以由，得e=2或者畫圖像（如圖1）可得e=2時，AB兩點在直線 的異側(cè)，不符合條件2A→F→=F→→B，故舍掉。綜上，

圖1

點評：本解法主要考查雙曲線的結(jié)論——焦點到漸近線的距離b，通過解方程得到點B的坐標(biāo)，再找到b2與a2的關(guān)系，雖然易懂但計算量太大，較量費時間。

點評：方法同解法一，但得到點B的縱坐標(biāo)后再利用長度的關(guān)系求解，計算量上大大減少，較上一種方法更簡單易行。

點評：幾何問題代數(shù)化，求交點，聯(lián)立方程得到找到b2與a2的關(guān)系，與前兩種解法相近，但要求計算能力較強。

點評：此解法也是先找出B的坐標(biāo)，除了以上可以應(yīng)用縱坐標(biāo)找關(guān)系外，還可以利用橫坐標(biāo)建立等量關(guān)系，尋找答案。

點評：此法著眼于對圖形的分析，抓住對稱，還有|AF|=b，結(jié)合二倍角公式得到找到b2與a2的關(guān)系。此法較上兩種方法更簡單易行。

解法6：如圖2，根據(jù)雙曲線的對稱性，過點F向雙曲線的另一條漸近線作垂線垂足為C，易知|CF|=b，|BF|=2b，在Rt△ABC中，得∠FBC=30°，所以∠AOB=60°。在Rt△AOF中，得∠AOF=30°，所以

圖2

點評：這種方法較以上幾種方法有一種眼前一亮的感覺，數(shù)形結(jié)合解題簡單易行，省時省力有效。

點評：此法是上一種方法的補充，充分利用教的關(guān)系以及漸近線的定義求解，很是巧妙。

小結(jié)：多角度思考問題，會開拓我們的思路，數(shù)形結(jié)合，將代數(shù)問題幾何化、代數(shù)問題轉(zhuǎn)幾何，兩者有效結(jié)合，我們會讓抽象的題目變得有了生命。只有這樣，才會使學(xué)生在考場上得心應(yīng)手，取得優(yōu)異的成績。

[1]葉志祥，葉志根.巧解圓錐曲線離心率問題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2015(09).

[2]王榮鑫.妙用幾何性質(zhì),巧解離心率范圍[J].數(shù)理化學(xué)習(xí),2013(12).

G633.6

A

1008-3561（2015）21-0065-01

李立娟（1976－），女，河北唐山人，中學(xué)一級教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。