譚永營(yíng)，王 睿

(1.裝甲兵工程學(xué)院機(jī)械工程系，北京 100072;2.中國(guó)人民解放軍92510 部隊(duì)，524300)

足式移動(dòng)方式依靠與地面之間離散的接觸點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了在復(fù)雜地形中的良好運(yùn)動(dòng)性能和動(dòng)力性能。與輪式或者履帶式移動(dòng)方式相比，足式運(yùn)動(dòng)適應(yīng)復(fù)雜地形的能力更強(qiáng)，這也是大型動(dòng)物多為四足哺乳動(dòng)物的原因。模仿四足哺乳動(dòng)物而研制的四足步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)在復(fù)雜環(huán)境中具有巨大的應(yīng)用潛力，其已成為各國(guó)學(xué)者研究的熱點(diǎn)。四足步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)腿部的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是機(jī)動(dòng)平臺(tái)設(shè)計(jì)過(guò)程中的核心工作之一，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)機(jī)動(dòng)平臺(tái)單腿結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)進(jìn)行了充分的關(guān)注。

較早的步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)腿部結(jié)構(gòu)多為仿照爬行動(dòng)物的腿部結(jié)構(gòu)，如日本的TITAN 系列四足步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)［1］。但這些步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)速度慢，能實(shí)現(xiàn)的步態(tài)少，單腿機(jī)械結(jié)構(gòu)是其受到限制的根本原因。自從Bigdog 四足步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)公布以來(lái)，腿部結(jié)構(gòu)仿哺乳動(dòng)物的步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)不斷引起人們的重視［2］。作為高性能四足步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)的典型代表，Bigdog 四足步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)單腿分為四個(gè)部分，配置四個(gè)主動(dòng)自由度，足端裝有減小腿與地面沖擊的被動(dòng)自由度。Bigdog之后的重型運(yùn)載平臺(tái)—LS3 四足步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)單腿有三個(gè)主動(dòng)自由度，關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)非常靈活，整體采用主動(dòng)柔順控制，取消了足端彈簧。Bigdog 系列的最新產(chǎn)品Spot 四足步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)單腿也有三個(gè)主動(dòng)自由度，各部分協(xié)調(diào)運(yùn)作的能力更強(qiáng)，關(guān)節(jié)的活動(dòng)更加自如，非常適合在人類的生活環(huán)境中使用。

從Bigdog 系列四足步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)的發(fā)展可以看出，單腿的結(jié)構(gòu)對(duì)機(jī)動(dòng)平臺(tái)的各項(xiàng)性能有重要影響，進(jìn)而決定了機(jī)動(dòng)平臺(tái)的應(yīng)用領(lǐng)域。單腿的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)主要包括了單腿的自由度設(shè)置、各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的活動(dòng)范圍設(shè)定、各腿段的長(zhǎng)度比例以及足端軌跡曲線等。

1 單腿的自由度設(shè)置和各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角范圍

通過(guò)對(duì)四足哺乳動(dòng)物腿部骨骼結(jié)構(gòu)的研究發(fā)現(xiàn)，動(dòng)物腿部一般由5 個(gè)主要的部分組成，各部分之間由關(guān)節(jié)連接，單腿有5 個(gè)主動(dòng)自由度。動(dòng)物腿部的特殊結(jié)構(gòu)和冗余自由度使其運(yùn)動(dòng)靈活，適應(yīng)復(fù)雜地形的能力非常強(qiáng)。步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)是模仿四足動(dòng)物設(shè)計(jì)的，但是由于技術(shù)水平的限制，單腿還無(wú)法達(dá)到主動(dòng)自由度大于4。因此為了減小控制的難度，降低機(jī)械結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度，設(shè)計(jì)的機(jī)動(dòng)平臺(tái)單腿有3 個(gè)主動(dòng)自由度，分別是:髖側(cè)擺段關(guān)節(jié)、髖縱擺關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)，如圖1所示。

圖1 單腿主動(dòng)關(guān)節(jié)

步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)的機(jī)體在腿部的推動(dòng)下不斷前進(jìn)，腿部驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍的大小代表了機(jī)動(dòng)平臺(tái)足端點(diǎn)能達(dá)到的范圍。關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍越大，機(jī)動(dòng)平臺(tái)單腿活動(dòng)范圍越大，機(jī)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)和抗側(cè)向干擾的能力也就越強(qiáng)。但關(guān)節(jié)活動(dòng)范圍越大也增加了各關(guān)節(jié)段干涉的風(fēng)險(xiǎn)。通過(guò)對(duì)四足動(dòng)物關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍的測(cè)量來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。Jaegger 等較準(zhǔn)確地測(cè)量了德國(guó)牧羊犬各關(guān)節(jié)(除了髖側(cè)擺關(guān)節(jié))轉(zhuǎn)角的變化［3］，如圖2 所示。

圖2 德國(guó)牧羊犬關(guān)節(jié)的活動(dòng)范圍

由上圖可以得德國(guó)牧羊犬各關(guān)節(jié)角的活動(dòng)范圍，如表1中所示。

表1 牧羊犬各關(guān)節(jié)角的活動(dòng)范圍

由表1 中數(shù)據(jù)可以得到牧羊犬關(guān)節(jié)的活動(dòng)范圍基本上在110°左右。在步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)設(shè)計(jì)過(guò)程中，考慮到機(jī)械系統(tǒng)的性能還無(wú)法達(dá)到動(dòng)物骨骼肌肉系統(tǒng)的性能，并且當(dāng)各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)采用相同型號(hào)的液壓缸時(shí)，機(jī)動(dòng)平臺(tái)整體的復(fù)雜程度大大減小，因此對(duì)表中各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的變化范圍進(jìn)行了修正，使用修正后的關(guān)節(jié)活動(dòng)范圍作為機(jī)動(dòng)平臺(tái)關(guān)節(jié)的活動(dòng)范圍。

2 單腿運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)單腿的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是機(jī)動(dòng)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)求解和足端曲線合理規(guī)劃等后續(xù)工作的基礎(chǔ)。本文用D-H 坐標(biāo)法對(duì)機(jī)動(dòng)平臺(tái)的單腿進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析(以右前腿為例)。首先建立各腿段的D-H 坐標(biāo)系，如圖3 中所示。B1-x0y0z0為右前腿坐標(biāo)系，H1-x1y1z1為髖關(guān)節(jié)縱擺關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，K1-x2y2z2為髖縱擺關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，A1-x3y3z3為膝關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，F(xiàn)1-x4y4z4為足端坐標(biāo)系。

圖3 步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)右前腿坐標(biāo)系

由D-H 坐標(biāo)系的定義和各桿件的尺寸參數(shù)，可以得到D-H 法各變量的值，如表2 中所示。ai為沿xi軸方向從zi－1軸和xi軸的交點(diǎn)到第i 坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離;αi為按右手法則，繞xi軸由zi－1軸轉(zhuǎn)向zi軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度;di為沿zi－1軸方向從第i－1 坐標(biāo)系的原點(diǎn)到zi－1軸和xi軸的交點(diǎn)的距離;θi為按右手法則，繞zi－1軸由xi－1軸轉(zhuǎn)向xi軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。

表2 D-H 方法各變量的值

所以，從右前腿坐標(biāo)系到足端坐標(biāo)系的各旋轉(zhuǎn)變換矩陣為:

所以，設(shè)總的齊次變換矩陣為T4，并且設(shè)

代入各旋轉(zhuǎn)變換矩陣進(jìn)行運(yùn)算得到T4中各元素為:

由正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，得到了足端點(diǎn)在單腿坐標(biāo)系中的坐標(biāo)和姿態(tài)。下面運(yùn)用正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的結(jié)果，對(duì)各關(guān)節(jié)段的比例關(guān)系進(jìn)行研究。

3 各腿段的長(zhǎng)度比例研究

3.1 機(jī)器人足端工作空間分析

步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)的足端點(diǎn)工作空間是其擺動(dòng)腿末端參考點(diǎn)所能達(dá)到的空間點(diǎn)的范圍。這個(gè)范圍代表了機(jī)動(dòng)平臺(tái)擺動(dòng)腿所能到達(dá)的位置，是機(jī)動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)需要考慮的重要方面。足端工作空間的求解方法有解析法、圖解法或數(shù)值法等多種。利用正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的結(jié)果，在Matlab 中求解得到各主動(dòng)關(guān)節(jié)角度變化時(shí)足端點(diǎn)的工作空間云圖，然后運(yùn)用圖像處理方法進(jìn)行足端工作空間面積的求解。求解的步驟為:

1)在各關(guān)節(jié)的變化范圍內(nèi)，使關(guān)節(jié)依次產(chǎn)生一定的轉(zhuǎn)角，得到了關(guān)節(jié)角變量的組合。

2)將關(guān)節(jié)角變量帶入正運(yùn)動(dòng)學(xué)解中，得到一組足端點(diǎn)的坐標(biāo)值，并作出其曲線圖，眾多的曲線圖組合形成云圖。

3)按照Matlab 中圖像處理的辦法，得到足端空間的面積。

3.2 各腿段的長(zhǎng)度比例研究

由于步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)主要是在前后方向運(yùn)動(dòng)，側(cè)向運(yùn)動(dòng)往往用于保證機(jī)動(dòng)平臺(tái)自身的穩(wěn)定性，使機(jī)動(dòng)平臺(tái)適應(yīng)復(fù)雜地形的能力更強(qiáng)，而兩個(gè)縱擺關(guān)節(jié)段是機(jī)體前后方向運(yùn)動(dòng)依靠的桿件，因此僅對(duì)兩個(gè)縱擺關(guān)節(jié)段的長(zhǎng)度比例進(jìn)行研究。為使研究簡(jiǎn)便同時(shí)也有代表性，假設(shè)髖關(guān)節(jié)縱擺段和小腿段的總長(zhǎng)為1 m，兩腿段的長(zhǎng)度依次取遍0.1～0.9 m，步長(zhǎng)為0.1 m，且L1為髖關(guān)節(jié)縱擺段長(zhǎng)度標(biāo)識(shí)，L2為小腿段的長(zhǎng)度標(biāo)識(shí)。當(dāng)L1與L2取不同的比例時(shí)，利用Matlab 作出其工作空間的云圖并計(jì)算面積大小，如表2 中所示。

表2 桿長(zhǎng)比例不同時(shí)的工作空間

由表2 可以得到，隨著L1與L2比值的增大，步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)足端工作空間大小變化顯著，足端點(diǎn)可達(dá)范圍先增大后減小，所以存在使足端工作空間最大的最優(yōu)比例。為方便比較，作出足端工作空間面積大小與髖縱擺段長(zhǎng)度L1的曲線圖。由圖4 可更直觀的得到當(dāng)L1與L2相等時(shí)，足端工作空間面積最大。

圖4 足端工作空間面積的變化

4 足端軌跡規(guī)劃

步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)足端軌跡規(guī)劃是機(jī)動(dòng)平臺(tái)單腿設(shè)計(jì)很重要的一個(gè)方面。足端軌跡規(guī)劃一般是設(shè)計(jì)步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)足端點(diǎn)相對(duì)地面坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。由于髖側(cè)擺關(guān)節(jié)在機(jī)動(dòng)平臺(tái)正常行走過(guò)程中一般不發(fā)揮作用，所以在機(jī)動(dòng)平臺(tái)單腿平面內(nèi)進(jìn)行足端軌跡規(guī)劃。步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)通過(guò)邁腿實(shí)現(xiàn)其越障和前進(jìn)功能，腿部足端軌跡規(guī)劃主要是擺動(dòng)腿足端的軌跡規(guī)劃。擺動(dòng)腿足端軌跡規(guī)劃的好壞直接決定了機(jī)動(dòng)平臺(tái)的越障能力和運(yùn)動(dòng)能力。常用的足端軌跡有拋物線、直線段、擺線等［4］。本文采用三次B 樣條曲線進(jìn)行機(jī)動(dòng)平臺(tái)的足端軌跡規(guī)劃。

4.1 三次B 樣條曲線的概念

對(duì)于給定的m+n+1 空間頂點(diǎn)pi(i=0，1，…，m +n)，第k(K=0，1，2…n)段n 次B 樣條曲線定義為［4］:

式(3)中t 為曲線的構(gòu)形參數(shù)。基函數(shù)Gi，n(t)定義如下:

當(dāng)n=3 時(shí)，由上式我們可以得到三次B 樣條曲線的基函數(shù)為:

對(duì)于給定的空間頂點(diǎn)p0、p1、p2和p3，三次B 樣條曲線的一段為:

所以對(duì)于空間中給定的n 個(gè)點(diǎn)，三次B 樣條曲線全體為:

三次均勻B 樣條曲線作為一種自由曲線，它自身有許多良好的特點(diǎn)，使它適合作為步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)越障時(shí)足端軌跡曲線［5］。首先，三次均勻B 樣條曲線與空間頂點(diǎn)的絕對(duì)位置沒(méi)有關(guān)系，只與它們的相對(duì)位置有關(guān)。其次，三次均勻B 樣條曲線有凸包性和保凸性。通過(guò)選取適當(dāng)?shù)目臻g頂點(diǎn)，可以使構(gòu)造的足端軌跡曲線不會(huì)產(chǎn)生奇異點(diǎn)。然后，三次均勻B樣條曲線具有局部修改性。改變個(gè)別的空間頂點(diǎn)，只會(huì)影響與這個(gè)頂點(diǎn)有關(guān)的構(gòu)造曲線，不會(huì)對(duì)整體產(chǎn)生影響。

4.2 足端軌跡的規(guī)劃

在平坦地面上四足步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)的足端軌跡曲線一般有兩個(gè)參數(shù)來(lái)描述，一個(gè)是步長(zhǎng)s，一個(gè)是步高h(yuǎn)。步長(zhǎng)s 和步高h(yuǎn) 可以較好地反映足端軌跡曲線的運(yùn)動(dòng)特性。一般步高h(yuǎn) 與步長(zhǎng)s 的比值越大，說(shuō)明四足步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)的跨越障礙的能力越強(qiáng)，但運(yùn)動(dòng)速度較慢。步高h(yuǎn) 與步長(zhǎng)s 的比值越小，說(shuō)明四足步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)前進(jìn)特性較好，但跨越障礙的能力較差。而對(duì)于三次B 樣條曲線，在步長(zhǎng)一定的情況下，步高由起步角和落步角決定，因此引入起步角α、落步角β 和步長(zhǎng)S 來(lái)描述三次B 樣條曲線。如圖5 所示，圖中α 為起步角，β 為落步角，p1點(diǎn)為起步點(diǎn)，p2為落步點(diǎn)，M 點(diǎn)為起腳方向與落腳方向的交點(diǎn)。

圖5 起步角與落步角示意圖

在此步長(zhǎng)S 設(shè)置為400 mm，起步角和落步角均為62.5度，最大步高為220 mm。所以，可得到擺動(dòng)腿的足端曲線如圖6 所示。

圖6 擺動(dòng)腿足端軌跡曲線

5 結(jié)論

1)對(duì)四足步行機(jī)動(dòng)平臺(tái)單腿的自由度數(shù)進(jìn)行了設(shè)定，在仿生學(xué)分析的基礎(chǔ)上將各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角范圍設(shè)置為40°～140°;

2)對(duì)單腿進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，并且在此基礎(chǔ)上對(duì)髖縱擺關(guān)節(jié)段和大腿段長(zhǎng)度比例不同時(shí)的足端工作空間進(jìn)行了研究，得出了當(dāng)兩者長(zhǎng)度相等時(shí)足端工作空間最大的結(jié)論;

3)闡述了三次B 樣條曲線的概念，并在此基礎(chǔ)上對(duì)足端軌跡曲線進(jìn)行了規(guī)劃。

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