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        基于概率法與有限元法的火炮方向機(jī)齒輪傳動誤差分析

        2015-11-27 12:14:46韓崇偉趙宇和石志翔
        關(guān)鍵詞:變形

        李 忠,韓崇偉,趙宇和,石志翔,彭 超

        (西北機(jī)電工程研究所,陜西 咸陽 712099)

        齒輪傳動是現(xiàn)代機(jī)械產(chǎn)品中十分常見的傳動機(jī)構(gòu),廣泛應(yīng)用于航天航空、艦船、火炮、機(jī)床等許多大中型工業(yè)機(jī)器中。齒輪傳動的誤差直接影響了運(yùn)動傳遞的準(zhǔn)確性,進(jìn)而影響整個(gè)機(jī)械的性能?;鹋诜较驒C(jī)是一種典型的齒輪傳動機(jī)構(gòu),筆者分析了火炮方向機(jī)齒輪傳動過程中產(chǎn)生的靜態(tài)傳動誤差和動態(tài)傳動誤差,推導(dǎo)了齒輪傳動總誤差的計(jì)算公式,同時(shí)得到了方向機(jī)在不同載荷下動態(tài)誤差曲線,可為研究火炮方向機(jī)對調(diào)炮精度的影響提供參考。

        1 影響齒輪傳動誤差的因素

        傳動誤差是指輸入軸單向回轉(zhuǎn)時(shí),輸出軸轉(zhuǎn)角的實(shí)際值相對于理論值的變動量[1]。在理想的傳動過程中,輸入軸轉(zhuǎn)角φi與輸出軸轉(zhuǎn)角φo之間應(yīng)該符合理想的傳動關(guān)系,即

        式中,i為傳動結(jié)構(gòu)的總傳動比。

        在齒輪傳動的過程中,影響齒輪傳動誤差的因素主要有齒輪本身的加工誤差、齒輪的裝配偏差以及齒輪在傳動過程中的磨損誤差,在實(shí)際工作中通過定期檢修,可以調(diào)整由于磨損造成的齒輪嚙合間隙,因此文中暫不考慮齒輪磨損對齒輪傳動誤差的影響[2]。而影響齒輪傳動鏈誤差的主要因素除了因齒輪制造和裝配不絕對準(zhǔn)確造成的單向傳動誤差和回程誤差等靜態(tài)傳動誤差外,還有傳動齒輪與傳動軸因受負(fù)載轉(zhuǎn)矩而產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形和彎曲變形導(dǎo)致的動態(tài)傳動誤差,它隨著負(fù)載轉(zhuǎn)矩的大小而改變。由上可知,齒輪傳動鏈的傳動誤差是由齒輪本身、所在軸和軸承等零部件制造裝配時(shí)的誤差,以及受負(fù)載轉(zhuǎn)矩時(shí)產(chǎn)生動態(tài)誤差等綜合作用的結(jié)果。

        2 齒輪傳動的靜態(tài)誤差分析

        齒輪靜態(tài)傳動誤差的來源主要是齒輪的制造誤差和安裝誤差。齒輪制造誤差是由于齒輪制造時(shí)幾何偏心、運(yùn)動偏心、齒形誤差和齒厚偏差等因素綜合作用形成。齒輪安裝誤差是由于齒輪實(shí)際回轉(zhuǎn)中心相對理論回轉(zhuǎn)中心的偏離引起的,主要影響因素有中心距偏差、齒輪與軸的配合間隙和軸承的徑向游隙。

        2.1 單向傳動誤差

        齒輪傳動的單向傳動誤差主要是由切向綜合總偏差F′i引起,切向綜合總偏差作為大周期誤差反映了齒輪幾何偏心和運(yùn)動偏心導(dǎo)致的靜態(tài)傳動誤差。記為

        由機(jī)械設(shè)計(jì)手冊[3]查得:

        式中:Fp為齒距累積總偏差的公差;f′i為一齒切向綜合偏差。

        所以,一對嚙合齒輪副的單向傳動誤差角φ為

        式中:K1、K2分別為相互嚙合的兩個(gè)齒輪的單向傳動誤差;d2為從動輪的分度圓直徑。

        2.2 空回誤差

        齒輪傳動的空回誤差,就是當(dāng)主動輪反向轉(zhuǎn)動時(shí)從動輪相對滯后主動輪的轉(zhuǎn)角,其原因主要是由于齒輪的齒厚偏差、中心距偏差和軸承游隙等因素導(dǎo)致齒輪嚙合產(chǎn)生圓周側(cè)隙,從而引起傳動空回[4]。

        1)齒厚偏差導(dǎo)致的圓周側(cè)隙

        為了補(bǔ)償齒輪制造和安裝誤差,熱膨脹變形以及便于潤滑所留齒側(cè)間隙,可以根據(jù)齒厚偏差來確定。一對齒輪副由此而產(chǎn)生的側(cè)隙為

        式中,Es1、Es2分別為兩個(gè)齒輪的實(shí)際偏差值。

        2)中心距偏差導(dǎo)致的圓周側(cè)隙

        式中,fa為中心距偏差值,等于實(shí)際中心距減去理論中心距;α為壓力角。

        3)軸承游隙導(dǎo)致的圓周側(cè)隙

        式中,Δu1、Δu2分別為兩齒輪支撐軸承的徑向游隙。

        由此可知,一對齒輪副的空回誤差為

        式中,jt為齒輪副的圓周側(cè)隙。

        由于齒輪傳動靜態(tài)傳動誤差的隨機(jī)性,各項(xiàng)誤差是相互獨(dú)立的且服從正態(tài)分布,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),誤差隨機(jī)量落在±3σ范圍里的置信率為99.74%,根據(jù)概率論理論得到齒輪傳動靜態(tài)傳動誤差的數(shù)字特征[5]為

        式中:E為齒輪靜態(tài)傳動誤差的期望;σ為齒輪靜態(tài)傳動誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。

        所以取齒輪副的靜態(tài)傳動誤差

        齒輪傳動系統(tǒng)的靜態(tài)傳動誤差是由各級齒輪副的誤差逐級疊加而成,通過傳動比折算到末級齒輪上,考慮到各級誤差的隨機(jī)性,則

        式中,i2,i3,…,ik為各級齒輪副的傳動比。

        3 齒輪傳動的動態(tài)誤差分析

        齒輪傳動時(shí),由于傳遞轉(zhuǎn)矩的增大,以及傳動軸和齒輪材料的剛度不足,會導(dǎo)致傳動過程中傳動軸和齒輪的彈性扭轉(zhuǎn)變形,使轉(zhuǎn)動角產(chǎn)生滯后,從而引起齒輪傳動動態(tài)傳動誤差。

        3.1 傳動軸的扭轉(zhuǎn)變形

        根據(jù)材料力學(xué)[6]的相關(guān)知識可知:當(dāng)轉(zhuǎn)動軸受到扭矩T時(shí),傳動軸的扭轉(zhuǎn)變形為

        式中:T為軸承受的扭矩;l為軸的長度;G為材料的剪切模量;I為軸的極慣性矩;其中GI/l被稱為扭轉(zhuǎn)剛度,在實(shí)際的工程設(shè)計(jì)中,為了節(jié)省材料,傳動軸通常為階梯軸,其等效扭轉(zhuǎn)剛度為ke。則式(12)變?yōu)?/p>

        所以,齒輪傳動系統(tǒng)因傳動軸的扭轉(zhuǎn)變形產(chǎn)生的動態(tài)傳動誤差為

        3.2 傳動軸的彎曲變形

        在齒輪傳動過程中,在齒面法向力Fn的作用下,傳動軸會發(fā)生彎曲變形,變形方向與齒輪傳動的嚙合線方向相一致,如圖1所示。

        根據(jù)軸的彈性彎曲變形理論[3]可得,傳動軸在齒輪位置沿嚙合線方向的彈性變形量為

        式中:Fn為法向嚙合力;a、b為齒輪到兩軸承端的距離;E為彈性模 量;dz為軸的直徑。

        通常將其分解為切向分量和法向分量,由此導(dǎo)致齒輪傳動副產(chǎn)生的圓周側(cè)隙有如下關(guān)系:

        式中:ft為傳動軸彎曲變形的切向分量;fr為傳動軸彎曲變形的徑向分量。

        所以,傳動軸的彎曲變形導(dǎo)致一對齒輪傳動副的動態(tài)傳動誤差角為

        當(dāng)反向傳動時(shí),傳動軸會出現(xiàn)沿嚙合線反方向的彎曲變形,從而引起的回差應(yīng)該為2χ。齒輪傳動系統(tǒng)因傳動軸的彎曲變形產(chǎn)生的動態(tài)傳動誤差為

        3.3 齒輪的扭轉(zhuǎn)變形

        齒輪傳動是圓周運(yùn)動的傳動,從誤差傳遞方法考慮,有學(xué)者提出了扭轉(zhuǎn)嚙合剛度理論[7],定義扭轉(zhuǎn)剛度km為:齒輪承受的扭矩載荷T和在該扭矩載荷作用下輪體產(chǎn)生的彈性扭轉(zhuǎn)角θ之間的比值。

        齒輪的扭轉(zhuǎn)變形主要包括3部分:輪轂扭轉(zhuǎn)、輪齒彎曲變形和齒面接觸變形,這3種變形綜合起來對齒輪傳動的誤差可以用齒輪在分度圓上的扭轉(zhuǎn)變形角來描述,如圖2所示。因此,要獲得齒輪扭轉(zhuǎn)嚙合剛度就需要得知齒輪在該載荷下的扭轉(zhuǎn)變形角位移[8]。

        以直齒圓柱齒輪為例,利用有限元分析軟件Ansys workbench分析齒輪在齒面法向Fn作用下的扭轉(zhuǎn)變形角位移[9-10]。

        對輪齒受力分析,齒輪受到圓周力、徑向力和法向力,有如下關(guān)系式:

        式中,T為齒輪受到的扭矩。

        根據(jù)式(19),可以得到作用于輪齒齒面的法向力Fn。

        齒輪的載荷與約束情況:在齒內(nèi)圈面A 添加固定約束,在齒面B添加法向力,如圖3所示。

        根據(jù)仿真分析云圖,得到齒頂?shù)呐まD(zhuǎn)變形xa和齒根的扭轉(zhuǎn)變形xf,利用插值法得到分度圓的扭轉(zhuǎn)變形角位移為

        式中:d為齒輪分度圓直徑;da為齒輪齒頂圓直徑;df為齒輪齒根圓直徑。

        因?yàn)辇X輪傳動的過程中單齒嚙合和雙齒嚙合是相互交替進(jìn)行的[11],從單齒過渡到雙齒時(shí),齒輪的變形會逐漸變小,取齒輪的等效扭轉(zhuǎn)剛度為kme,所以齒輪的扭轉(zhuǎn)變形角為

        式中,εα為重合度。

        齒輪傳動系統(tǒng)因齒輪的扭轉(zhuǎn)變形產(chǎn)生的動態(tài)傳動誤差為

        所以,齒輪傳動鏈的動態(tài)傳動誤差為

        綜上所述,在齒輪鏈傳動過程中,齒輪傳動總誤差由靜態(tài)傳動誤差和動態(tài)傳動誤差組成,即

        4 實(shí)例分析

        以某型火炮方向機(jī)的傳動機(jī)構(gòu)為例,采用上述誤差分析方法,計(jì)算該方向機(jī)的傳動誤差,將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際傳動誤差比較。

        方向機(jī)傳動機(jī)構(gòu)主要參數(shù)如下:火炮炮塔水平方向上的轉(zhuǎn)動慣量J=11 331kg·m2,角加速度α=70(°)/s2,負(fù)載的轉(zhuǎn)動扭矩T=931.13N·m,齒輪與軸的材料彈性模量E=2.06×1011Pa,剪切模量G=7.9×1010Pa,泊松比μ=0.3。齒輪鏈中傳動齒輪的主要參數(shù)如表1所示。

        表1 齒輪鏈的主要參數(shù)

        4.1 方向機(jī)靜態(tài)誤差的計(jì)算

        根據(jù)表1中數(shù)據(jù)可知方向機(jī)傳動機(jī)構(gòu)各級傳動齒輪的單向傳動誤差K1與K2,圓周側(cè)隙jt以及從動輪的分度圓直徑d2等參數(shù)如表2所示,由式(4)以及(8)~(11)計(jì)算得到方向機(jī)的靜態(tài)傳動誤差如表2所示。

        表2 方向機(jī)的靜態(tài)誤差

        所以,由于制造和安裝等因素的影響,方向機(jī)的傳動齒輪的靜態(tài)傳動誤差為δ∑1=3.173。

        4.2 方向機(jī)動態(tài)誤差的計(jì)算

        方向機(jī)傳動結(jié)構(gòu)的各傳動軸受到的扭矩如表3所示。

        表3 傳動軸受到的扭矩

        根據(jù)式(12)計(jì)算各級傳動軸的扭轉(zhuǎn)變形如表4所示。

        表4 傳動軸的扭轉(zhuǎn)變形角

        代入式(14),得到方向機(jī)傳動軸由于扭轉(zhuǎn)變形而產(chǎn)生的動態(tài)傳動誤差角為γ∑=5.292。

        下面計(jì)算方向機(jī)傳動軸在齒面法向力作用下產(chǎn)生的彎曲變形。首先,根據(jù)表3中傳動軸受到的扭矩和式(19),可以計(jì)算得到各傳動齒輪受到法向力Fn,如表5所示。

        表5 方向機(jī)傳動齒輪受到的法向力

        根據(jù)3.2節(jié)的傳動軸彎曲變形分析方法,分析傳動軸Ⅰ的受力情況,如圖5所示。

        將參數(shù)代入式(16),得到傳動副齒輪Z5與Z6之間的圓周側(cè)隙f=0.562,再代入式(17)得到,由于傳動軸Ⅰ彎曲變形導(dǎo)致齒輪Z5與Z6的動態(tài)傳動誤差角χ1=0.047。

        同理,可以計(jì)算得到第2級傳動齒輪Z3與Z4的傳動誤差角χ2=0.216,以及第1級傳動齒輪Z1與Z2的動態(tài)傳動誤差角χ3=0.015。

        代入式(18),計(jì)算得到方向機(jī)齒輪傳動系統(tǒng)因傳動軸的彎曲變形而產(chǎn)生的動態(tài)傳動誤差χ∑=0.154。

        可見,初級傳動軸和末級傳動軸的彎曲變形導(dǎo)致的傳動誤差是很小的,這是由于在安裝設(shè)計(jì)過程中,將初級軸上的齒輪與末級軸上的齒輪靠近支撐軸承安裝,減小了軸的彎曲變形,進(jìn)而減小了對齒輪傳動精度的影響。

        下面采用有限元方法,根據(jù)方向機(jī)傳動齒輪所受到的負(fù)載,計(jì)算方向機(jī)傳動時(shí)因齒輪變形引起的動態(tài)傳動誤差。

        利用三維建模軟件UG 的參數(shù)化建模功能,建立傳動鏈齒輪的三維模型,導(dǎo)出Parasolid的.x_t文件,再導(dǎo)入有限元分析工具Ansys workbench中,對齒輪的受力變形進(jìn)行分析,得到傳動齒輪的仿真結(jié)果如圖6所示。

        根據(jù)上面的仿真分析云圖,可知方向機(jī)傳動鏈齒輪在負(fù)載扭矩作用下各齒輪的齒頂圓與齒根圓的變形位移,代入式(20),計(jì)算得到齒輪分度圓的變形角位移,即是測量點(diǎn)的變形角位移。再由式(21)~(23),計(jì)算得到齒輪的扭轉(zhuǎn)變形角,結(jié)果如表6所示。

        表6 傳動鏈齒輪的變形位移

        由式(24)計(jì)算得到方向機(jī)傳動由于齒輪扭轉(zhuǎn)變形而產(chǎn)生的動態(tài)傳動誤差ψ∑=1.091。

        綜上所述,當(dāng)炮塔角加速度為70(°)/s2時(shí),方向機(jī)的動態(tài)傳動誤差δ∑2=6.537。

        4.3 方向機(jī)傳動總誤差的計(jì)算

        根據(jù)上述總結(jié)的齒輪傳動誤差計(jì)算方法,最后得到該方向機(jī)的傳動誤差如表7所示。

        表7 方向機(jī)的傳動誤差

        所以,方向機(jī)在該負(fù)載作用下的傳動總誤差為9.71′,與工程實(shí)際誤差值8′~10′相符。

        火炮在跟蹤瞄準(zhǔn)射擊目標(biāo)的過程中,炮塔的調(diào)轉(zhuǎn)角加速度是變化的,那么方向機(jī)的負(fù)載也應(yīng)該是變化的,因此方向機(jī)傳動結(jié)構(gòu)的動態(tài)傳動誤差隨著負(fù)載的變化而變化。利用上述動態(tài)傳動誤差的計(jì)算方法,分別計(jì)算炮塔的調(diào)轉(zhuǎn)角加速度為10(°)/s2,20(°)/s2,…,70(°)/s2時(shí),方向機(jī)傳動的動態(tài)傳動誤差分別如表8所示。

        表8 不同調(diào)轉(zhuǎn)角加速度下方向機(jī)動態(tài)傳動誤差

        利用Matlab的數(shù)據(jù)擬合功能,得到方向機(jī)動態(tài)傳動誤差在炮塔不同調(diào)轉(zhuǎn)角加速度下的變化曲線如圖7所示。

        擬合曲線為:

        式中:x為炮塔調(diào)轉(zhuǎn)角加速度;y為方向機(jī)的動態(tài)傳動誤差。

        綜上所述,方向機(jī)的傳動總誤差可以寫成:

        5 結(jié)論

        根據(jù)齒輪傳動制造與安裝誤差的正態(tài)分布規(guī)律,采用概率法分析了火炮方向機(jī)齒輪傳動的靜態(tài)傳動誤差;采用有限元法,仿真分析了火炮方向機(jī)齒輪傳動結(jié)構(gòu)在不同載荷下的動態(tài)扭轉(zhuǎn)變形,得到了方向機(jī)傳動動態(tài)傳動誤差在炮塔不同調(diào)轉(zhuǎn)角加速度下的變化曲線,最后得出了傳動總誤差與炮塔調(diào)轉(zhuǎn)角加速度的關(guān)系式,可為研究火炮方向機(jī)對調(diào)炮精度的影響提供參考。

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