張領(lǐng)科，董家強(qiáng)

（1.南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 210094；2.中國(guó)白城兵器試驗(yàn)中心，吉林 白城 137001）

彈道一致性是指同一火炮武器系統(tǒng)，在氣象條件、射擊方法等都相同的條件下，發(fā)射兩類(lèi)射彈，在彈道上的平均參數(shù)差異不大的性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)平均彈道參數(shù)差異的狀況；其評(píng)定方法在國(guó)軍標(biāo)中采用配對(duì)樣本的均值t檢驗(yàn)，有時(shí)也采用獨(dú)立樣本的均值t檢驗(yàn)［1］。文獻(xiàn)［2］指出，采用均值t檢驗(yàn)法的前提是樣本服從正態(tài)分布。因此，彈道一致性評(píng)定中配對(duì)樣本之差所構(gòu)成的新樣本或獨(dú)立樣本本身的正態(tài)性進(jìn)行檢驗(yàn)是必需的。

最經(jīng)典的正態(tài)性檢驗(yàn)方法是Lilliefors［3］檢驗(yàn)與Shapiro－Wilk［4］檢驗(yàn)，且Shapiro－Wilk檢驗(yàn)效能優(yōu)于Lilliefors檢驗(yàn)［5］。Epps與Pulley［5］基于經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)提出了一種高效的正態(tài)性檢驗(yàn)方法（Epps－Pulley檢驗(yàn)），隨后Henze［6］對(duì)Epps－Pulley檢驗(yàn)的分布限進(jìn)行了近似，使得當(dāng)樣本容量n≥10時(shí)對(duì)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，并給出了4≤n≤9時(shí)不同置信水平下的臨界值。Mardia［7］詳細(xì)闡述了具有較高檢驗(yàn)精度的聯(lián)合Skewness－Kurtosis檢驗(yàn)法，主要適用于事先已知樣本傾向性分布。Miguel［8］提出了兩種基于U 過(guò)程的正態(tài)性檢驗(yàn)方法，采用隨機(jī)抽樣的方法證明了具有相對(duì)于Lilliefors檢驗(yàn)較高的效能。王斌會(huì)［9］等人重點(diǎn)研究了QQ 圖法、PP 圖法與SP 圖法的檢驗(yàn)效能，指出在小樣本（n＝20）時(shí)，SP 圖法效能最優(yōu)，大樣本量（n＞50）時(shí)，3種方法效能基本一致。大量的研究結(jié)果表 明，Shapiro－Wilk 檢 驗(yàn) 與Epps－Pulley 檢 驗(yàn) 具有較高的檢驗(yàn)效能，并已列入了ISO 5479－2002正態(tài)性檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，我國(guó)也推薦采用ISO 標(biāo)準(zhǔn)，但標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定僅適用于樣本容量n≥8的情形，未給出n＜8時(shí)的接受臨界值；并且指出，當(dāng)樣本分布近似為低峰對(duì)稱分布（｜｜＜1／2和β2＜3）與非對(duì)稱分布（｜｜＞1／2）時(shí)采用Shapiro－Wilk檢驗(yàn)，其他宜選用Epps－Pulley 檢 驗(yàn)［10］，并 將Skewness－Kurtosis檢驗(yàn)與QQ 圖法作為補(bǔ)充。

筆者通過(guò)比較分析Shapiro－Wilk檢驗(yàn)與Epps－Pulley檢驗(yàn)的效能，基于彈道一致性評(píng)定的特點(diǎn)，提出彈道一致性評(píng)定中樣本正態(tài)性檢驗(yàn)的順次檢驗(yàn)方法，指導(dǎo)工程應(yīng)用。

1 兩種彈道一致性評(píng)定方法

彈道一致性評(píng)定通常采用分組多發(fā)試驗(yàn)方法，用彈量為m×n發(fā)，m為組數(shù)，n為每組發(fā)數(shù)，根據(jù)口徑差異并考慮到節(jié)約試驗(yàn)費(fèi)用，國(guó)軍標(biāo)規(guī)定試驗(yàn)用彈量情況：若d＜57mm時(shí)，為3×10發(fā)；若57mm≤d≤160mm 時(shí)，為3×7發(fā)；若d＞160mm 時(shí)，為3×5發(fā)。由此可見(jiàn)，彈道一致性評(píng)定中的樣本正態(tài)性檢驗(yàn)主要是單組小樣本（n≤10）和多組（m＝3）的檢驗(yàn)。

假設(shè)（1）為檢驗(yàn)彈，（2）為被檢驗(yàn)彈；兩彈交叉對(duì)比射擊m×n發(fā)；獲得標(biāo)準(zhǔn)化的地面或立靶射擊的彈丸落點(diǎn)縱向坐標(biāo)X、高低坐標(biāo)Y、橫向坐標(biāo)Z和飛行時(shí)間T的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。彈道一致性評(píng)定就是對(duì)兩種彈的上述參數(shù)是否存在顯著差異進(jìn)行檢驗(yàn)。

1.1 配對(duì)樣本評(píng)定模型

為了減少試驗(yàn)條件變化對(duì)試驗(yàn)彈與被試彈所造成系統(tǒng)誤差的影響，兩種彈配對(duì)交叉射擊，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ腿缡剑?）所示，以Y為例。

式中：tα／2［m（n－1）］為置信度α下自由度f(wàn)＝m（n－1）時(shí)的臨界值；EΔy為m組綜合中間誤差。各參量計(jì)算見(jiàn)文獻(xiàn)［1］。判別準(zhǔn)則為：若｜｜≤λ′αEΔy，認(rèn)為兩彈滿足彈道一致性；若｜｜＞λ′αEΔy，認(rèn)為兩彈不滿足彈道一致性。

1.2 獨(dú)立樣本評(píng)定模型

彈道一致性試驗(yàn)中由諸元誤差、彈道誤差、氣象誤差及技術(shù)準(zhǔn)備誤差等隨機(jī)誤差對(duì)兩彈產(chǎn)生的影響是相同的，經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化處理后的兩彈95%試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間具有較強(qiáng)的獨(dú)立性，故可采用獨(dú)立樣本評(píng)定模型［11］，如式（2）所示，同樣以Y為例。

式中：λ″α為彈道一致性界限系數(shù)，λ″α＝0.674 5×自由度f(wàn)＝2m（n－1）；其他參數(shù)含義見(jiàn)文獻(xiàn)［1］。判別準(zhǔn)則為：若｜｜≤λ″αEy，認(rèn)為兩彈滿足彈道一致性；若｜｜＞λ″αEy，認(rèn)為兩彈不滿足彈道一致性。

1.3 評(píng)定模型比較分析

配對(duì)樣本與獨(dú)立樣本均值t檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驮诠こ讨杏兄鴱V泛的用途。文獻(xiàn)［12］指出，兩種方法的選擇主要依據(jù)相關(guān)系數(shù)r的符號(hào)，當(dāng)r＞0時(shí)，配對(duì)檢驗(yàn)效能優(yōu)于獨(dú)立檢驗(yàn)效能；當(dāng)r＜0時(shí)，獨(dú)立檢驗(yàn)效能優(yōu)于配對(duì)檢驗(yàn)效能；特別當(dāng)r≈1.0時(shí)，優(yōu)選配對(duì)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。由配?duì)評(píng)定模型可以看出，它由單組配對(duì)樣本均值t檢驗(yàn)的變化形式，應(yīng)用于多組檢驗(yàn)，盡管該模型不要求兩彈彈道一致性試驗(yàn)樣本是否服從正態(tài)分布，但樣本差構(gòu)成的多組新樣本是應(yīng)服從正態(tài)分布。對(duì)于獨(dú)立檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停瑒t要求兩彈彈道一致性試驗(yàn)樣本自身服從正態(tài)分布。如前述，盡管采用交叉配對(duì)射擊試驗(yàn)方法，但所得到的兩彈自身試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的獨(dú)立性，故兩種方法在很多情況都是適用的?？偠灾?，對(duì)于彈道一致性評(píng)定，配對(duì)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ托軆?yōu)于獨(dú)立檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。因此，利用上述評(píng)定模型前需對(duì)樣本正態(tài)性檢驗(yàn)，鑒于彈道一致性評(píng)定的小樣本與多組特點(diǎn)，比較Shapiro－Wilk 與Epps－Pulley檢驗(yàn)效能，并給出適用于小子樣情況下的順次正態(tài)性檢驗(yàn)方法。

2 兩種正態(tài)性檢驗(yàn)方法

對(duì)正態(tài)性檢驗(yàn)已發(fā)展了很多檢驗(yàn)方法，推薦使用國(guó)標(biāo)GB／T 4882－2001給出的兩種具有較高檢驗(yàn)效能且適用性較好的正態(tài)性檢驗(yàn)方法。

2.1 Shapiro－Wilk檢驗(yàn)

正態(tài)性假設(shè)檢驗(yàn)：

H0：總體服從正態(tài)分布。

H1：總體不服從正態(tài)分布。

2.1.1 單組情況

1）對(duì)n個(gè)樣本排序：x（1）≤x（2）≤… ≤x（n）。

2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量W。

式中：為樣本均值；ai（W）為計(jì)算所需的系數(shù)；［n／2］為n／2的整數(shù)部分。

3）將x（1），x（2），…，x（n）的值代入上式計(jì)算統(tǒng)計(jì)量W的值，根據(jù)給定的置信水平α和樣本容量確定統(tǒng)計(jì)量W的α分位數(shù)Wα。

4）作出判斷：若W＜Wα，拒絕零假設(shè)；若W≥Wα，則接受零假設(shè)。

2.1.2 多組情況

針對(duì)彈道一致性試驗(yàn)的分組情況，為了多組正態(tài)性檢驗(yàn)，這里補(bǔ)充完善了文獻(xiàn)［1］中分組情況下W檢驗(yàn)（n≥3）。

1）設(shè)每組樣本觀測(cè)值Wi（i＝1，…，m）。

2）計(jì)算Zi。

Zi＝v（n）＋η（n）（Wi－L（n））／（1－Wi）

式中v（n）、η（n）、L（n）可用多項(xiàng)式y(tǒng)＝B0＋B1x＋B2x2＋B3x3＋B4x4＋B5x5＋B6x6＋B7x7＋B8x8＋B9x9擬合，多項(xiàng)式系數(shù)如表1所示，適用于n≥3的情況。

表1 參數(shù)多項(xiàng)式擬合系數(shù)

4）確定自由度為2m的χ2分布的1－α分位數(shù)（2m）。

5）作出判斷：如果χ2＞（2m），則有理由認(rèn)為m組均來(lái)自正態(tài)分布，否則，拒絕正態(tài)分布的假設(shè)。

2.2 Epps－Pulley檢驗(yàn)

Epps－Pulley檢驗(yàn)是基于經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)的一個(gè)無(wú)方向正態(tài)性檢驗(yàn)方法，它對(duì)多種被擇假設(shè)都有較高的功效，對(duì)于彈道一致性評(píng)定中的正態(tài)性檢驗(yàn)僅適用于單組檢驗(yàn)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

檢驗(yàn)步驟：

1）當(dāng) 樣 本 容 量n≤9 時(shí)，按 式（4）計(jì) 算Epps－Pulley檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量WEP，并根據(jù)顯著水平α與n確定臨界值cα，如表2所示。表中數(shù)據(jù)采用蒙特卡洛法隨機(jī)模擬1 000萬(wàn)次產(chǎn)生，而文獻(xiàn)［6］為20萬(wàn)次，故本文給出的相對(duì)更精確。

表2 臨界值cα 的確定

2）作出判斷：若WEP＞cα，則拒絕零假設(shè)，認(rèn)為不服從正態(tài)分布；否則，接受零假設(shè)。

3）當(dāng)樣本容量n≥10時(shí)，由WEP計(jì)算修正統(tǒng)計(jì)量W＊EP與轉(zhuǎn)換變量Zn。

式中：γ＝3.552 95；δ＝1.230 62；ξ＝0.020 682；λ＝2.266 4。

4）作出判斷：當(dāng)Zn＞Z1－α?xí)r，認(rèn)為樣本不服從正態(tài)分布，Z1－α為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布1－α分位點(diǎn)數(shù)。

3 兩種檢驗(yàn)方法效能分析

為了比較Shapiro－Wilk檢驗(yàn)與Epps－Pulley檢驗(yàn)的檢驗(yàn)效能（存?zhèn)胃怕剩x取7 種典型的分布，Beta分布（3種）、指數(shù)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、Gamma分布（2種）、學(xué)生氏t分布、均勻分布和瑞利分布。采用蒙特卡洛隨機(jī)抽樣的方法，分別對(duì)兩種檢驗(yàn)的效能進(jìn)行計(jì)算，如表3所示。表中括號(hào)外數(shù)據(jù)為Shapiro－wilk檢驗(yàn)效能，括號(hào)內(nèi)為Epps－Pulley檢驗(yàn)效能。

表3 兩種方法檢驗(yàn)效能比較%

由表3中的計(jì)算存?zhèn)胃怕士梢园l(fā)現(xiàn)，通過(guò)調(diào)節(jié)Beta分布的兩個(gè)參數(shù)，可以模擬對(duì)稱分布與不對(duì)稱的情況；指數(shù)分布具有很強(qiáng)的不對(duì)稱特性；對(duì)數(shù)正態(tài)分布與正態(tài)分布差異性最大；Gamma分布也可模擬強(qiáng)不對(duì)稱性；t分布、瑞利分布和正態(tài)分布較為近似；均勻分布在小子樣情況下也呈現(xiàn)較強(qiáng)的正態(tài)性。除此之外，在小子樣情況（n≤30）Shapiro－Wilk檢驗(yàn)與Epps－Pulley 檢驗(yàn)的檢驗(yàn)效能相當(dāng)，Shapiro－Wilk檢驗(yàn)略優(yōu)于Epps－Pulley 檢驗(yàn)，這與文獻(xiàn)［5］的結(jié)論一致。

4 順次正態(tài)性檢驗(yàn)

4.1 檢驗(yàn)思想

考慮彈道一致性試驗(yàn)中試驗(yàn)數(shù)據(jù)本身存在次序性，因此，在正態(tài)性檢驗(yàn)中采用次序正態(tài)性檢驗(yàn)從而推斷整組正態(tài)性是可行的。具體方法：

1）單組檢驗(yàn)：采用Shapiro－Wilk檢驗(yàn)或Epps－Pulley檢驗(yàn)方法，依次分別對(duì)3，4，5，…，n法進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，若80%均判定為正態(tài)分布，則認(rèn)為樣本來(lái)自正態(tài)總體；否則，拒絕正態(tài)性結(jié)論。

2）多組檢驗(yàn)：采用多組Shapiro－Wilk 檢驗(yàn)方法分布對(duì)m組單獨(dú)檢驗(yàn)，若有理由認(rèn)為整體m組服從正態(tài)分布，則優(yōu)先認(rèn)為單組也服從正態(tài)分布（對(duì)于單組不服從正態(tài)分布的分析引起的原因，最好兩方面統(tǒng)一）。

4.2 算例分析

某被檢驗(yàn)彈彈道一致性立靶參數(shù)T、Y與Z的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表4所示。

表4 某彈道一致性試驗(yàn)數(shù)據(jù)

在給定顯著水平α＝0.05下檢驗(yàn)數(shù)據(jù)正態(tài)性，分別采用Shapiro－Wilk與Epps－Pulley檢驗(yàn)方法順次正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果如表5所示。

表5 順次正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果

由表5可以看出，對(duì)于參數(shù)Y，Shapiro－Wilk檢驗(yàn)接受的只有3個(gè)，Epps－Pulley檢驗(yàn)接受的只有2個(gè)，故可以判定不服從正態(tài)分布；而對(duì)于參數(shù)T與Z，兩種檢驗(yàn)方法都給出了全部接受，故可以判定服從正態(tài)分布。采用樣本順次正態(tài)性檢驗(yàn)的好處可提高彈道一致性正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果的可靠性。

5 結(jié)論

筆者針對(duì)彈道一致性評(píng)定中的小子樣與多組檢驗(yàn)特性，采用蒙特卡洛法計(jì)算分析了Shapiro－Wilk 檢 驗(yàn) 與Epps－Pulley 檢 驗(yàn) 的 效 能，完 善 了Epps－Pulley檢驗(yàn)的零假設(shè)接受限，提出了一種基于順次正態(tài)性的檢驗(yàn)方法，優(yōu)點(diǎn)是對(duì)樣本數(shù)據(jù)分布了解更全面，便于彈道一致性評(píng)定前數(shù)據(jù)正態(tài)性來(lái)源可靠性的分析，研究結(jié)果具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

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