金凱成，王 翊，鄭申海，歐陽(yáng)自鵬

(重慶大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，重慶 400044)

0 引言

醫(yī)學(xué)圖像分割一直是計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域中研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。肝臟作為人體腹腔內(nèi)最大的實(shí)質(zhì)性器官，疾病種類(lèi)多且發(fā)病率高。其中肝臟腫瘤分割在肝臟診斷、腫瘤分割、肝移植、術(shù)后評(píng)價(jià)等許多臨床應(yīng)用中起著關(guān)鍵的作用，臨床醫(yī)生對(duì)腫瘤分割提出較高的臨床要求。

肝臟CT 圖像往往存在著較多的尾影和噪聲，且肝臟腫瘤與周?chē)螌?shí)質(zhì)灰度接近，邊界模糊，分割困難。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)肝臟腫瘤分割方法常用的有:基于灰度閾值的分割方法、基于圖割的分割方法和基于水平集分割方法等。

Abdel-massieh［1］提出了基于對(duì)比度拉伸增強(qiáng)原始圖像，再利用Isodata 閾值算法分割肝臟腫瘤的方法;Stawiaski［2］提出了基于圖割和分水嶺算法的腫瘤分割算法，先用分水嶺算法將原始圖像過(guò)分割成多個(gè)區(qū)域，再用過(guò)分割的區(qū)域當(dāng)作圖割算法中的節(jié)點(diǎn)，用最小割求解能量最小化。圖割算法交互多，需要手動(dòng)標(biāo)記前景和背景種子點(diǎn)，算法求解耗時(shí)，需要對(duì)結(jié)果多次修正;水平集方法由Osher 和Sethian 提出［3］，其基本思想是，把一個(gè)封閉的輪廓隱性表示為高一維的水平集函數(shù)的零水平集，用水平集的演化來(lái)替換輪廓的演化。通過(guò)隱式的水平集演化，能較好地處理輪廓的拓?fù)渥兓６罴兠鞑┦坑?005 年［4］和2010 年［5］提出的無(wú)需重新初始化的水平集，大大改進(jìn)了水平集的效率。傳統(tǒng)的水平集方法，雖然效果好，但水平集對(duì)初始輪廓敏感，需要手動(dòng)調(diào)整參數(shù)，時(shí)間復(fù)雜度較高。

上述的圖割和水平集算法，需要較多地人工交互初始化種子點(diǎn)或初始輪廓，并且算法對(duì)初始種子點(diǎn)或輪廓敏感。本文結(jié)合肝臟腫瘤圖像的模糊性，引入了空間模糊C-均值聚類(lèi)(FCMS)算法，模糊聚類(lèi)算法避免了人工初始化輪廓操作。在聚類(lèi)的基礎(chǔ)上，用B 樣條水平集對(duì)輪廓進(jìn)行平滑。并且本文在預(yù)處理方面提出了三維感興趣區(qū)域，減少了FCMS 算法的規(guī)模，大大加快了模糊聚類(lèi)的速度，具有一定的實(shí)用價(jià)值。

如圖1 所示本文提出的基于三維ROI 和模糊聚類(lèi)的肝臟腫瘤分割步驟:1)首先利用三維操作，在三維中畫(huà)一個(gè)多邊形，選取腫瘤的初始感興趣區(qū)域;2)結(jié)合空間信息的模糊C-均值聚類(lèi)進(jìn)行分割，減弱了噪聲對(duì)分割的影響，能較好地處理醫(yī)學(xué)圖像;3)對(duì)于聚類(lèi)后的圖像，利用形態(tài)學(xué)和連通域去除小孔和不連通的區(qū)域;4)利用B 樣條水平集在結(jié)果圖上對(duì)輪廓進(jìn)行平滑。

1 基于三維ROI 和模糊聚類(lèi)的肝臟腫瘤分割

在分割肝臟腫瘤前，需要利用區(qū)域增長(zhǎng)或水平集方法［6-7］，提取肝臟的初始輪廓。本文算法是在已初步分割好的肝臟基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分割肝臟腫瘤。

1.1 三維感興趣區(qū)域(ROI)

醫(yī)學(xué)圖像的三維可視化，對(duì)醫(yī)生有很大的幫助。在傳統(tǒng)的方法中，醫(yī)生觀察的都是連續(xù)多張二維的CT 切面，主要依靠醫(yī)生的想象和多年臨床經(jīng)驗(yàn)來(lái)診斷和判斷病癥。引入三維可視化后，醫(yī)生可以直觀地通過(guò)三維立體圖形觀察各個(gè)組織的大小和它們之間的空間關(guān)系。

在現(xiàn)實(shí)世界中，眼睛看到的大多物體都是三維立體的，但計(jì)算機(jī)屏幕只能顯示二維平面圖形。這就需要進(jìn)行一系列的坐標(biāo)變換，將物體所在三維世界坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)屏幕顯示的坐標(biāo)。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)處理的就是這樣的問(wèn)題，其中OpenGL 是常用的圖形庫(kù)。圖2 是OpenGL 的三維顯示流程［8］。

圖2 OpenGL 的三維顯示流程

三維的幾何變換、投影變換、剪裁變換等可以看作一系列的矩陣操作。坐標(biāo)變換由上述矩陣A1，A2，…，An依次左乘世界坐標(biāo)(x y z 1)T，最后得到屏幕坐標(biāo)(winx winy winz 1)T。見(jiàn)公式(1)。

同理，如果已經(jīng)知道屏幕坐標(biāo)(winx winy winz 1)T，可以利用A1，A2，…，An的逆矩陣，反向得到世界坐標(biāo)(x y z 1)T。圖3 為屏幕坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為世界坐標(biāo)圖解。

圖3 屏幕坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為世界坐標(biāo)

(winx winy winz 1)T為計(jì)算機(jī)屏幕坐標(biāo)的一點(diǎn)，winz 是深度坐標(biāo)，表示距離攝像機(jī)的距離。世界坐標(biāo)系中一條射線，可以投影到相同的屏幕坐標(biāo)，即相同的winx，winy 但具有不同的深度winz，一般近屏幕為0，遠(yuǎn)屏幕為1。因此單擊屏幕上的一點(diǎn)，可以得到這點(diǎn)的近屏幕坐標(biāo)(winx winy 0)和遠(yuǎn)屏幕坐標(biāo)(winx winy 1)。

一個(gè)肝臟序列CT 圖像構(gòu)成的體數(shù)據(jù)，由多張連續(xù)的二維CT 切面組成，在世界坐標(biāo)系中看作是一個(gè)長(zhǎng)方體。三維選取感興趣區(qū)域的操作，類(lèi)似于視景體中的剪裁操作。如圖4 中，顏色淺的部分為分割好的肝臟，較暗的區(qū)域?yàn)槟[瘤，三維選取感興趣區(qū)域的操作在計(jì)算機(jī)屏幕上腫瘤附近，畫(huà)一個(gè)封閉的多邊形ABCDE。例如根據(jù)A(xA，yA，0)，B(xB，yB，0)2 點(diǎn)以及從投影到A 點(diǎn)的射線的遠(yuǎn)處投影點(diǎn)A'(xA，yA，1)，將這3 點(diǎn)逆變換到世界坐標(biāo)系，確定平面的方程Ax+By+Cz +D=0，平面將空間分成2 部分。如此依次處理邊BC、CD、DE、EA。因此三維選取感興趣區(qū)域相當(dāng)于這一系列的平面剪裁這個(gè)長(zhǎng)方體(體數(shù)據(jù))。圖5 為三維選取感興趣之后的結(jié)果。

圖4 三維選取感興趣區(qū)域

圖5 選取之后的結(jié)果圖

利用三維感興趣區(qū)域方法，可以減小后續(xù)模糊聚類(lèi)分割的問(wèn)題規(guī)模，大大加快模糊聚類(lèi)的速度。

1.2 結(jié)合空間信息的模糊聚類(lèi)分割

模糊聚類(lèi)分割，由Bezdek 于1973 年提出，是在k-means(硬聚類(lèi))的基礎(chǔ)上引入了模糊隸屬度的概念。圖像分割的本質(zhì)也是將一幅圖像劃分為不同的區(qū)域，而且醫(yī)學(xué)圖像邊界模糊、噪聲多，模糊隸屬度正可以反應(yīng)這種對(duì)數(shù)據(jù)集的模糊劃分。

一張二維圖像表示為X={x1，x2，…，xM×N}，M、N 分別為圖像的行數(shù)和列數(shù)，元素xj表示第j 個(gè)像素的灰度。模糊聚類(lèi)將圖像X 劃分為c 個(gè)子區(qū)域，X1，X2，…，Xc，vi為第i 個(gè)區(qū)域Xi的聚類(lèi)中心。

FCM 的目標(biāo)函數(shù)表示為:

與k-means 中一個(gè)元素固定被劃分到一個(gè)區(qū)域不同，uij表示元素xj對(duì)于子區(qū)域Xi(1 ≤i ≤c)的模糊隸屬程度。根據(jù)模糊理論，模糊隸屬度還需要滿足3個(gè)條件:

其中，m 稱為模糊指數(shù)，通常取2。

利用拉格朗日乘數(shù)法求解FCM 的目標(biāo)函數(shù)，迭代更新隸屬度uij與聚類(lèi)中心vi，公式如下:

上述是傳統(tǒng)的FCM 算法，只考慮了像素之間灰度值的差異。因?yàn)镃T 圖像是二維的，而且存在大量的噪聲。Chuang［9］提出了結(jié)合空間信息的模糊聚類(lèi)算法，利用相鄰像素間的空間關(guān)系，減弱噪聲對(duì)分割的影響，更好地分割醫(yī)學(xué)圖像。

空間信息函數(shù)定義為:

NB(xj)是以像素xj為中心的窗口鄰域。hij代表像素xj被劃分到區(qū)域Xi的可能性。結(jié)合空間信息的新模糊隸屬度如下:

將式(6)中u'ij代替公式(4)中uij，繼續(xù)迭代更新隸屬度和聚類(lèi)中心。

經(jīng)過(guò)模糊聚類(lèi)后的圖像，有細(xì)小的空洞和不連通的區(qū)域。利用形態(tài)學(xué)中的top-hat 頂帽操作和連通域搜索來(lái)處理，去掉小空洞和不連通的區(qū)域。

1.3 B 樣條水平集

水平集分割是將輪廓放入高一維的水平集函數(shù)中進(jìn)行演化，零水平集即所求的輪廓。目前有很多改進(jìn)的水平集算法，本文最終選擇Bernard［10］提出的基于B 樣條的水平集?；贐 樣條的水平集，無(wú)需像傳統(tǒng)水平集對(duì)水平集函數(shù)進(jìn)行重新初始化。文獻(xiàn)［10］中還提出，該水平集演化最后可以轉(zhuǎn)變?yōu)橛靡幌盗蠦 樣條核的卷積操作，速度快，B 樣條函數(shù)的性質(zhì)也保證了結(jié)果曲線較平滑。

與傳統(tǒng)的水平集不同，基于B 樣條的水平集函數(shù)是用多個(gè)參數(shù)B 樣條函數(shù)基線性組合，將水平集函數(shù)轉(zhuǎn)換到B 樣條空間進(jìn)行處理。

φ(x)為水平集函數(shù)，βn(·)是在d 維空間的具有均勻?qū)ΨQ性的B 樣條函數(shù)基，c［k］是B 樣條系數(shù)的集合。

基于B 樣條的水平集能量泛函數(shù)是基于Chan-Vese 模型的，Chan-Vese 模型是Mumford-Shah 模型的一種特殊形式，其能量函數(shù)見(jiàn)式(8)。

第一項(xiàng)和第二項(xiàng)是區(qū)域項(xiàng)，第三項(xiàng)是輪廓項(xiàng)，參數(shù)v 用于平衡區(qū)域項(xiàng)和輪廓項(xiàng)。Hε(·)和δε(·)分別是Heaviside 函數(shù)和Dirac 函數(shù)。

能量最小化，能量對(duì)系數(shù)c［k0］求偏導(dǎo):

其中w(x)表示待分割物體的特征函數(shù)為:

用梯度下降的方法，求解能量函數(shù)局部最小值:

?c代表了與B 樣條系數(shù)相關(guān)的能量梯度，表達(dá)式為:

由式(10)～式(12)得出，水平集能量函數(shù)最小化和傳統(tǒng)的水平集函數(shù)不同，可以由變化B 樣條系數(shù)得到。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為驗(yàn)證本文方法的有效性，本文使用一套肝臟CT 圖像序列對(duì)腫瘤進(jìn)行分割(本圖像由重慶西南醫(yī)院提供)，原始每層肝臟圖像數(shù)據(jù)圖像大小為512 ×512 ×216。實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Matlab，openGL，Win7(i5@2.60 GHz，8 GB 內(nèi)存)。

圖6 三維感興趣區(qū)域和模糊聚類(lèi)的肝臟腫瘤分割步驟

圖6(a)是原始的肝臟CT 圖像，多邊形內(nèi)區(qū)域即為三維感興趣區(qū)域;圖6(b)是經(jīng)過(guò)三維ROI 之后的區(qū)域，可看出肝臟腫瘤邊緣較模糊，灰度與周?chē)闻K接近;用Otsu、k-means 與FCMS 對(duì)圖6(b)分割，結(jié)果分別為圖6(c)、6(d)、6(e)。Otsu 和k-means 方法僅考慮了像素間灰度，而結(jié)合了空間信息的FCMS 方法，較好地減弱了噪聲的影響，分割效果更好;圖6(f)是在圖6(e)的基礎(chǔ)上進(jìn)行形態(tài)學(xué)和連通域操作，去除了小空洞和不連通的區(qū)域;圖6(g)是利用B 樣條水平集的結(jié)果;圖6(h)是將最終輪廓疊加回原始圖像。

筆者進(jìn)一步將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與李純明［5］的無(wú)需重新初始化水平集進(jìn)行對(duì)比，具體結(jié)果如圖7 所示。

B 樣條水平集參數(shù)h=1，v=2;李純明水平集參數(shù)μ=0.04，λ=5，v=1.5，τ=5。

圖7 本文算法和水平集算法的對(duì)比

運(yùn)行時(shí)間對(duì)比:圖7(b)是本文算法對(duì)腫瘤1 圖7(a)的運(yùn)行結(jié)果，總體時(shí)間為1.43 s(其中FCMS 0.57 s+B 樣條水平集迭代12 次，0.86 s)，水平集結(jié)果是圖7(d)，時(shí)間為2.36 s，迭代210 次。

圖7(f)是本文算法對(duì)腫瘤2 圖7(e)的運(yùn)行結(jié)果，總體時(shí)間為1.55 s(其中FCMS 0.63 s+B 樣條水平集迭代14 次，0.92 s)，水平集結(jié)果是圖7(h)，時(shí)間為2.26 s，迭代210 次?？梢钥闯霰疚乃惴ǖ目傮w處理時(shí)間比水平集算法少。

三維感興趣區(qū)域的確定，減少了數(shù)據(jù)的規(guī)模，加快后續(xù)算法(聚類(lèi)算法和水平集算法)的速度。如在原始腫瘤圖6(a)，大小為512 ×512，進(jìn)行FCMS 聚類(lèi)時(shí)間為16 s，確定三維ROI 之后，圖6(b)大小為122×127，F(xiàn)CMS 聚類(lèi)時(shí)間為0.57 s。

運(yùn)行結(jié)果對(duì)比:從圖7(d)、圖7(h)可以看出，傳統(tǒng)水平集方法，需要手動(dòng)初始輪廓，對(duì)初始輪廓敏感。因?yàn)楦闻K腫瘤的邊緣模糊，而且腫瘤灰度周?chē)纸咏?，水平集方法容易造成邊緣泄露。本文方法，無(wú)需手動(dòng)初始化輪廓，直接利用模糊聚類(lèi)來(lái)分割，大大減少了交互的工作量。從圖7(b)和圖7(f)可以看出本文算法能得到較好的分割結(jié)果。

3 結(jié)束語(yǔ)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的肝臟腫瘤分割方法，對(duì)于肝臟和腫瘤灰度十分接近，邊界較模糊的情況下，能取得較好的分割結(jié)果。且本文提出基于三維感興趣區(qū)域和模糊聚類(lèi)的肝臟腫瘤分割，交互少，效率較高。

今后可以進(jìn)一步研究基于模糊聚類(lèi)和水平集的算法，以及研究對(duì)分割結(jié)果進(jìn)一步修正的算法。

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