曾紹平，張超

(1.江西工業(yè)職業(yè)技術學院機械工程分院，江西南昌330039;

2.江蘇城鄉(xiāng)建設職業(yè)學院公用事業(yè)系，江蘇常州213016)

0 前言

目前，順著控制技術和計算機技術的快速發(fā)展，各種電液控制系統(tǒng)面向高度集成化、精確度高、非線性強和穩(wěn)定性好的方向發(fā)展［1］。作為一種檢測比較控制算法的實驗平臺，倒立擺 (Inverted Pendulum)裝置在電液控制系統(tǒng)中得到廣泛應用。原因在于倒立擺裝置的特性 (高階次、不穩(wěn)定、強耦合、非線性等)與工業(yè)過程的非線性系統(tǒng)具有很強的相似性。倒立擺作為一個自然非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)，需要通過人為的控制，讓其達到穩(wěn)定狀態(tài)，通過對該裝置的系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究，能夠揭示系統(tǒng)控制過程中的各種問題，如系統(tǒng)不確定性、傳感器靈敏度、控制算法的可靠性等。對倒立擺的研究有很多，有對擺起控制方法的研究，有對倒立擺行程方面的研究，還有研究倒立擺仿真和控制器魯棒性方面。而對于倒立擺的研究起源20世紀50年代，麻省理工學院專家成功地設計了一級倒立擺實驗設備，該設備是參考火箭發(fā)射助推器原理設計出的［2］。進入60年代，倒立擺被人們以非線性的控制實例正式地推到研究人員的面前，其中以Schaefer和Cannon為代表的成功將Bang-Bang控制理論和倒立擺結構結合，實現(xiàn)了曲軸在倒立擺裝置的穩(wěn)定［3］。60年代后期和70年代初，倒立擺作為一個不穩(wěn)定、嚴重非線性系統(tǒng)，專家學者提出了多種控制算法，并用其檢驗控制方法對不穩(wěn)定、非線性和快速性系統(tǒng)的處理能力，受到世界各國科學家的重視［4-6］。

CASTILLO T B和SOOYONG J針對傳統(tǒng)倒立擺行程問題設計了環(huán)形倒立擺結構，能夠有效的克服行程限制，實現(xiàn)3個自由度的多方向運動［6-7］。文獻 ［8］在能量的甩控基礎上對單擺甩起時間進行了最優(yōu)化的求解，給出了最短時間的計算模型;文獻 ［9］改進了基于滑塊的魯棒控制的滑模趨近律，減小了系統(tǒng)輸出的振動性，縮短了趨近運動時間;文獻 ［10］研究了控制系統(tǒng)的魯棒性和抖振之間的關系，表明二者關系成反比關系，有一定的矛盾性。本文針對控制系統(tǒng)的魯棒性和抖振狀況，以旋轉倒立擺裝置 (行程無限制)為研究對象，建立理論模型，并設計Linear Quadratic Regulator(LQR，線性二次型調節(jié)器)控制器，測試選著合適的Q、R參數(shù)，通過計算機仿真研究倒立擺控制系統(tǒng)的控制效果即魯棒性以及抖振狀況，從實時圖中可以看出二級倒立擺裝置在跟蹤輸入方波時，有一定的抖振現(xiàn)象，在出現(xiàn)人工干擾狀況下，系統(tǒng)能夠及時反應達到平衡狀態(tài)，表現(xiàn)出較強的魯棒性，并對抖振現(xiàn)象有一定的削弱作用。說明文中設計的控制方法對二級倒立擺的控制是十分優(yōu)越的一種控制方法。

1 二級旋轉倒立擺理論模型

1.1 二級旋轉倒立擺物理模型

文中研究的旋轉倒立擺裝置，相比于研究較多的直線倒立擺裝置具有行程無限制的特點。其主要結構如圖1所示，主要有自由擺桿和驅動臂組成。驅動臂圍點O做旋轉運動，因為在驅動臂運動過程中，增加了離心力，表現(xiàn)為具有3個自由度，旋轉運動過程給控制帶了更大的難度。進入對控制算法提出了更高的要求。自由擺桿分為上擺桿和下擺桿，在驅動臂運動過程中，分別繞中心點O1和O2做自由運動，保持倒立狀態(tài)。

圖1 二級倒立擺物理模型

對圖1中的二級倒立擺物理模型參數(shù)進行設定，設驅動臂的長度為L0，旋轉轉動慣量為J0，τ為驅動臂上的控制力矩，C0為驅動臂的摩擦力矩系數(shù)，θ0、·θ為驅動臂的轉角和角速度;下擺桿的質量為m，01桿長為L1，擺桿質心到轉軸O1的距離為l1，設C1為下擺桿的摩擦力矩系數(shù)，θ、·θ為下擺桿的轉角和角11速度;m2、L2、l2分別表示為上擺桿的質量、桿長和擺桿質心到轉軸O2的距離，設C2為上擺桿的摩擦力矩系數(shù)。針對以上物理模型設定的相關參數(shù)變量，建立旋轉二級倒立擺理論模型。

1.2 理論模型的建立

在忽略各種空氣流動干擾因素下，根據1.1中設定的物理模型參數(shù)，以驅動臂所處位置為勢能的零位置，進行理論推導，分別對驅動臂、下擺桿和上擺桿進行動能、勢能和耗散能的求解。

(1)驅動臂的勢能、動能和耗散能

式中:T0、V0、D0分別代表是驅動臂的動能、勢能和耗散能。

(2)下擺桿的勢能、動能和耗散能

對下擺桿動能、勢能、耗散能的求解過程，需要將通過坐標之間的轉換矩陣，進行不同坐標系的質量的坐標轉化。通過一次轉動和一個平動完成坐標系Oxyz→O1x1y1z1的轉換，其轉換矩陣為:

根據公式 (2)，實現(xiàn)下擺桿坐標到旋轉桿坐標之間的轉換，得到下擺桿質點的速度:

(3)上擺桿的勢能、動能和耗散能

根據下擺桿能量求解過程方法，對上擺桿坐標系到下擺桿坐標以及再到旋轉臂坐標系進行齊次矩陣變換，視Oxyz→O1x1y1z1→O2x2y2z2為坐標系的在OTO1基礎上的一個平動，表達式如下:

將上擺桿上的一點坐標 (xs2，ys2，zs2，1)轉化到驅動臂坐標中的表達式為:

對公式 (6)右邊的轉換坐標進行求導，得到上擺桿上該質點的速度，根據上擺桿對質心的轉動慣量J2和勢能、動能以及耗散求解公式，求得上擺桿的動能、勢能和耗散能分別為:

(4)系統(tǒng)總勢能、動能和耗散能

系統(tǒng)的總動能、勢能和耗散能包括對驅動臂、下擺桿、驅動臂的能量總和，如下所示:

(5)拉格朗日法建立微分方程

根據拉格朗日函數(shù)和拉格朗日方程建立系統(tǒng)的微分方程:

求解微分方程，得到旋轉二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型:

其中:F ＝ ［τ、0、0］T，Θ ＝ ［θ0、θ1、θ2］T，G ＝［0、 -(m1gl1＋ m2gL1)sinθ1、 -m2gl2sinθ2］，M 和 C是3×3的系數(shù)矩陣，求解系數(shù)表達式如下:

至此二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型和參數(shù)定義已經完成。

2 理論參數(shù)的確定

對二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型中設計的結構參數(shù)進行取值，如表1所示。

表1 旋轉二級倒立擺模型結構參數(shù)

倒立擺在平衡位置時θ1和θ2都接近于零度，可利用近似關系sinθ＝0，cosθ＝1，并忽略高次項，對非線性模型在不穩(wěn)定平衡位置進行線性化。

如果取 u ＝ Vm，取狀態(tài)變量為 X ＝［θ0、θ1、θ2、目的是為了補償當控制器作用時，由于不可避免的系統(tǒng)測量偏差所引起的穩(wěn)態(tài)誤差。將已知參數(shù)代入后可得狀態(tài)方程為:

基于LQR最優(yōu)控制對二級倒立擺系統(tǒng)的進行控制系統(tǒng)的設計，因此選定Q和R的參數(shù)分別為:

3 二級倒立擺LQR控制器設計與仿真實現(xiàn)

針對以上建立的旋轉二級倒立擺數(shù)學模型，設計線性二次型調節(jié)器 (LQR)，其特點系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，性能指標函數(shù)表現(xiàn)為二次性函數(shù)，具有較明確的物理概念，能夠處理各種擾動信號適用于時變系統(tǒng)。為使得二次性能指標函數(shù)達到最小，選著合適的參數(shù)輸入使得系統(tǒng)具有較好的魯棒性與穩(wěn)定性?？紤]系統(tǒng)被控對象的狀態(tài)空間方程公式 (12)。其中，A為n×n維常數(shù)矩陣，X為n維狀態(tài)向量，B為n×r維常數(shù)矩陣，u為r維控制向量，且不受約束。

對狀態(tài)反饋控制律進行選著:

通過反饋控制方程 (15)，基于控制系的性能指標最下化，求得最優(yōu)控制矩陣K。進一步通過構造漢密爾頓 (Hamilton)函數(shù)并對其求導數(shù)和化簡可得黎卡提 (Riccati)方程:

求解黎卡提 (Ricatti)方程可得狀態(tài)控制律為:

求得最優(yōu)控制矩陣K的表達式為:

可見，對線性二次型指標數(shù)學處理能夠實現(xiàn)對反線性反饋規(guī)律進行線性表達，實現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)的閉環(huán)控制和線性反饋閉，是系統(tǒng)的設計分析的一種有效方法。

在控制效果方面，LQR控制器能夠對控制指標進行約束，從而能夠控制指標變化的幅度，且可通過系統(tǒng)設計過程中的自然特性，考慮對控制量變化和跟蹤誤差來選擇合適的LQR的加權矩陣Q和R的參數(shù)，從而求得最小的狀態(tài)反饋增益矩陣K，表現(xiàn)出較強的魯棒性。

完成了控制器的設計，就可以建立系統(tǒng)離線仿真，并參照第2部分相應參數(shù)Q和R的選取，進行控制系統(tǒng)的實時仿真。

4 二級倒立擺的實時仿真結果

根據第3部分選定的最佳狀態(tài)反饋增益K，將K代入反饋控制器U＝-KX中，實現(xiàn)實時仿真系統(tǒng)的仿真，獲取各個狀態(tài)變量的實時變化曲線。在仿真系統(tǒng)輸入過程中，加入了一個幅值為1，頻率為0.1的方波信號作為擾動，同時人為持續(xù)對倒立擺穩(wěn)態(tài)狀態(tài)進行干擾，從而觀測控制效果如圖2—6所示。

圖2 一級擺桿轉角

圖3 二級擺桿轉角

圖4 一級擺桿角速度

圖5 二級擺桿角速度

圖6 電機控制電壓變化曲線

圖2 和圖3分別一級擺桿和二級擺桿的角度的實時變化曲線。圖2中，一級擺桿角度θ1的初始狀態(tài)為3.3 rad，在5 s內，角度基本回歸到0位，系統(tǒng)很快的到達平衡位置，由于系統(tǒng)輸入0.1的方波信號作為擾動，故在平衡位置角度0.1 rad的范圍內表現(xiàn)出一定的抖振，但是還是比較穩(wěn)定，說明文中針對旋轉二級倒立擺裝置設置的控制器和選用的參數(shù)具有較好的控制效果，反應了控制系統(tǒng)的控制性能的快速性和穩(wěn)定性。在圖3中，二級擺桿的角度的變化大體跟隨輸入信號的方波變動而變化，整體表現(xiàn)出較好的穩(wěn)定性，在3、8、20和40 s等個別時間點，表現(xiàn)出較大的波動，原因在于人為的對倒立擺穩(wěn)定狀態(tài)的干擾。在干擾效果上來看，人為干擾給系統(tǒng)的穩(wěn)定控制帶來了不穩(wěn)定因素，但是擺角能夠很快的回復到平衡位置，最大超調量不超過0.4 rad，最大恢復不超過2 s，表現(xiàn)出較快的反應速度，說明設計的控制系統(tǒng)能夠對系統(tǒng)抖振有一定的削弱，具有較高的靈敏性。

設計系統(tǒng)的靈敏性還可從圖4和圖5中可以看出。圖4和圖5分別為一級擺桿和二級擺桿角速度變化曲線，對應與圖2和圖3可以看出，人工干擾情況下，角度超調量突然變大以及回歸平衡位置，這個過程能夠從角速度的突變曲線間接反應出系統(tǒng)的控制的實時性和靈敏度，表現(xiàn)出較好的抗干擾性和魯棒性。

圖6為電機控制電壓變化曲線，控制曲線的電壓幅值一般穩(wěn)定在±2 V，只有在系統(tǒng)受到外部干擾狀況下，電機電壓輸出曲線表現(xiàn)出較大的幅值變動，整個過程表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性。

從圖2—6，觀察各個狀態(tài)變量的實時變化曲線，總的來說，除了作為擾動信號的方波信號以外，人為的干擾給系統(tǒng)的的穩(wěn)定性帶來很大的波動。但文中設計的LQR控制器對二級倒立擺系統(tǒng)進行了有效的控制，能夠很快對二級倒立擺進行精確的控制，使二級倒立擺在跟蹤輸入方波擾動時，能夠迅速達到平衡狀態(tài)并削弱抖振現(xiàn)象，控制擺角的精確度在10-3數(shù)量級，表現(xiàn)出較好的控制效果。

5 結論

從離線仿真及實時控制效果來看，此系統(tǒng)的控制指標是令人滿意的，觀察各個狀態(tài)變量的實時變化曲線，可以得出，系統(tǒng)控制器的性能是很好的，對二級倒立擺進行了精確的控制。二級擺相對于一級擺自由度多了一個，非線性、抖振性和耦合特性等更加嚴重，給控制器提出了更高的要求。所設計的LQR控制器，通過反復測試選擇合適的Q，R，選擇最佳的參數(shù)對二級倒立擺系統(tǒng)進行了有效的控制，使二級倒立擺在跟蹤輸入方波擾動時，能夠迅速達到平衡狀態(tài)，削弱抖振現(xiàn)象，同時控制擺角的精確度在10-3數(shù)量級，證明文中設計的基于LQR方法對二級倒立擺的控制是十分優(yōu)越的一種控制方法。

［1］陳剛，朱石沙，王啟新，等.電液控制技術的發(fā)展與應用［J］.機床與液壓，2006(4):1-4.

［2］YANG JH，SHIM SY，SEO JH，et al.Swing-up Control for an Inverted Pendulum With Restricted Cart rail Length［J］.International Journal of Control，Automation，and Systems，2009，7(4):674-680.

［3］彭恒，劉白雁，李秋敏，等.基于摹矩陣的倒立擺擺起的最優(yōu)控制［J］.控制工程，2008(S1):151-154.

［4］孫靈芳，孔輝，劉長國，等.倒立擺系統(tǒng)及研究現(xiàn)狀［J］.機床與液壓，2008，36(7):305-310.

［5］馮帥，馬州，周珂，等.虛擬線性倒立擺模型在行走機器人雙腿支撐相中的應用［J］.清華大學學報:自然科學版，2011(7):960-964.

［6］CASTILLO T B，OBREGóN P G，ESPINOSA G O.Structurally Stable Regulation for a Class of Nonlinear Systems:Application to a Rotary Inverted Pendulum［J］.Journal of Dynamic Systems，Measurement＆ Control，2006，128(4):18-19.

［7］SOOYONG J，WEN JT.Nonlinear Model Predictive Control for the Swing-up of a Rotary Inverted Pendulum［J］.Journal of Dynamic Systems，Measurement＆ Control，2004，126(3):666-674.

［8］王鐵軍，張明廉.單擺甩起時間優(yōu)化軌跡的計算方法［J］.系統(tǒng)仿真學報，2004，16(5):1034-1037.

［9］姚中華，孫躍，唐春森，等.連續(xù)時間系統(tǒng)滑模趨近律的改進［J］.重慶大學學報，2013，36(4):51-55.

［10］YAO Z H，SUN Y，TANG C S，et al.An Improve Sliding Mode Reaching Law for Continuous-time System［J］.Journal of Chongqing University，2013，36(4):51-55.

［11］RONG X，OZGUNER U.Sliding Mode Control of a Class of Under Actuated Systems ［J］.Automatica，2008，44:233-241.