□沈丹丹

理論·綜述

簡論數(shù)學符號語言的特征

□沈丹丹

數(shù)學符號語言與其他語言相比，有其獨特鮮明的特征，主要表現(xiàn)為符號的統(tǒng)一性和簡潔性以及語義的確定性。不僅便于記錄和閱讀，而且更能加速思維的進程和高效傳播，它打破了國界，成為了“最具公共語言的一門學科”。數(shù)學符號語言體系的形成和發(fā)展，促進了數(shù)學研究和數(shù)學知識的傳播，同時也把人類語言學推向了新的高度和廣度。

數(shù)學 符號語言 特征

語言是人類最重要的交際工具，與人類思維有著密切的聯(lián)系，是人類思維和表達思想的手段，也是人類社會最基本的信息載體。人們借助語言保存和傳遞人類文明的成果［1］。人類語言有三個關鍵要素：信息、思維和思想。任何信息只有賦予語義，形成概念，經過形式化處理進行信息加工，通過思維形成思想，才能達到交流的目的。從這個意義上說，人類的語言也可以理解為人的思維為著交際的目的而傳輸?shù)目晒└兄男畔?。隨著人類進化的演進發(fā)展，人類語言的形式也逐漸多樣化，從語言的“信息傳遞”表現(xiàn)方式來分析，人類使用不同的器官和工具來表達思想，有了以聲音為載體的聲音語言，典型的為人類的口語、音樂等；通過肢體動作表現(xiàn)的肢體語言，如人的表情、手勢語、體態(tài)語等，比較典型的是聾語；以圖形、文字和符號為載體的書面語言，這類語言表達和保存的人類思想已蔚為大觀，構成了人類現(xiàn)代文明的基礎，形成了不同的學科。

數(shù)學是一門古老的學科，我國古代的“六藝”中就有“數(shù)”，屬于人類書面語言中的重要組成部分。伽利略說過，數(shù)學是上帝用來書寫宇宙的文字?；谶@種理念，美國天文學家、科普作家卡爾·薩根認為，宇宙中的文明無論差異多大，都有一種共同的語言——數(shù)學語言，為此，還把數(shù)學語言作為宇宙語言的首選。數(shù)學語言也有文字語言、圖像語言和符號語言之分。本文中的數(shù)學符號語言是指在數(shù)學中用以表示數(shù)學概念、數(shù)學關系等的符號和記號。包括表示數(shù)學概念的符號，表示數(shù)學關系和數(shù)學推理所使用的符號，以及其他專用符號等。數(shù)學通過符號語言傳遞現(xiàn)實世界中的數(shù)、量、關系及其空間形式。

數(shù)學符號語言是為適應數(shù)學思維特殊需要而出現(xiàn)的，它通過把具體事物“一般化”后用抽象的數(shù)字、字母、圖形、關系式等保存和傳遞數(shù)學研究的成果，建構數(shù)學的知識大廈。數(shù)學發(fā)展到今天，已成為一個符號化的世界，闖入這個世界，處處都要和符號打交道，符號就是數(shù)學存在的具體化身。因此，數(shù)學符號是數(shù)學科學專門使用的特殊語言，是含義高度概括、形體高度濃縮的一種科學語言，也就是說，它是一種便于記錄和閱讀、加速思維進程和高效傳播思維的科學書面語言，其作用不僅促進了數(shù)學研究的發(fā)展和數(shù)學知識的傳播，同時也把人類語言學推向了新的高度和廣度。

數(shù)學符號語言有以下三個主要特征：

一、符號的統(tǒng)一性

符號的統(tǒng)一性是數(shù)學符號語言的一大特征。無論什么國家的人，無論操用哪個國家和地區(qū)的語言的人看到a+b=b+a，都知道這是乘法交換律，這種數(shù)學約定或數(shù)學符號不僅展示了數(shù)學符號語言的全球統(tǒng)一性，更表達了數(shù)學思維“一般化”的過程。這里的“a+b=b+a”實際上是“32+56=56+32”“148+91=91+148”等無數(shù)個加法算式的“一般化”表達。

2014年微信上流行一個段子：“手機尾號暴露了你的年齡”。個中秘密，從數(shù)學的視角理解其實是一個數(shù)學語言的統(tǒng)一化和數(shù)學思維“一般化”的過程。

一旦把微信中的日常語言（見左欄）改用數(shù)學特定的符號語言來描述（見右欄），秘密就暴露無疑了。

微信中的要求： 用數(shù)學符號語言表達：

看一下你手機的最后一位 設手機的最后一位為x

把這個數(shù)字乘上2 2x

然后加上5 2x+5

再乘以50 （2x+5）×50

把得到的數(shù)目加上1764 （2x+5）×50+1764=100x+2014

用這個數(shù)目減去你出生那一年 100x+（2014-出生那一年）

得到的三位數(shù)，第一位是你手機的最后一位 百位上的數(shù)字是x，

最后兩位就是你的實際年齡 （2014-出生那一年）

從右邊那欄用數(shù)學符號語言表達的“一般式”中可知，后兩位當然就是你的實際年齡了?！笆謾C尾號暴露了你的年齡！”這個“神秘”的段子，在數(shù)學符號語言體系中就現(xiàn)出了“原形”，年齡是利用數(shù)學知識“計算”出來的，而不是“算命先生”算出來的。

把日常語言轉化成數(shù)學符號語言，能揭示事物的本質屬性，數(shù)學的魅力也就在這里。如對于上述左邊的“日常語言”，不懂中文的人是“看不懂”的，但對具有初中文化程度的任何國家的人都能從右邊的“數(shù)學符號語言”中知道其含義。因此，數(shù)學可稱之為“最具公共語言的一門學科”［2］。

數(shù)學符號語言可分為以下幾種類型：

類型數(shù)學符號具體含義表示數(shù)學概念的符號元素符號數(shù)……-2、-1、0、1、2、3……表示整數(shù)，包括正整數(shù)、0和負整數(shù)。3.52、0.0202…；3/4，8/7表示小數(shù)和分數(shù)等。i虛數(shù)符號x、y、z 和a、b、c表示未知數(shù)和已知數(shù)。量AB、l，C，S，V；s、v、t 表示長度，周長，面積，體積；路程、速度、時間等常見的量。m、cm、km2、m3、L、g、kg表示米、厘米、平方公里、立方米、升、克、千克等計量單位。形△、、⊙、∠、⌒表示三角形、平行四邊形、圓、角、弧等圖形約定符號A、B常表示集合f、g常表示函數(shù)P（A）、E（x）常表示概率、期望值等性質符號“＋”“—”表示正號和負號。“|a|”表示絕對值表示關系或推理的符號關系符號大小關系：＜、=、＞、≤、≥等表示數(shù)與數(shù)、式與式、式與數(shù)的關系位置關系：∥、⊥；表示平行、垂直等兩直線的位置關系；部總關系：∈、?屬于、不屬于結合關系：“（）”“［ ］”“｛｝”表示運算順序的先后次序整除關系：“|”，“…”整除，余數(shù)函數(shù)關系：sin、cos、log、ln正弦、余弦、及常用對數(shù)、自然對數(shù)等集合關系：?、?，∪、∩等包含于、包含，并集、交集等運算符號“＋”“—”“×”“÷”“”加、減、乘、除、開方等運算符號“∑”“∏”“∫”連加、連乘、積分等推理符號∵，∴；“?”因為、所以；推出等其他特殊符號“π”“e”“%”“∞”等表示圓周率、對數(shù)的底、百分號、無窮大等

這些符號都具有國際通用性。

數(shù)學符號語言的統(tǒng)一性，還體現(xiàn)在各國對數(shù)學的理解上。筆者曾讓中國大陸和新加坡教師用圖像語言描述數(shù)學老師，大家都不約而同地用“教‘1＋2=3’的圖片”來描述數(shù)學老師的形象，也說明了數(shù)學符號語言的國際通用性。

數(shù)學在近兩個世紀中取得了顯著的進展和輝煌的成就，盡管有著許多因素，但數(shù)學符號語言的統(tǒng)一性厥功至偉。通過數(shù)學符號語言傳達數(shù)學思想，簡化思維過程，推動了數(shù)學自身的發(fā)展。

二、符號的簡潔性

這一點，從文字代數(shù)與符號代數(shù)的比較中也可以看得很清楚。今天看似十分簡單的代數(shù)式“（10＋x）2=100＋20x＋x2”，古代用文字表達則要敘述為“如果要求10和根自乘的結果，就要施行如下運算過程：10乘10得100；根乘10等于10個根；10乘根等于10個根；根乘根等于平方?？傊?，這個自乘的結果等于100，20個根和根平方”，多么冗長。古代人掌握簡單的數(shù)的概念需要經歷非常漫長、艱難的過程，而今天小學一年級的學生不僅能很快理解初步的數(shù)的概念，并且能掌握100以內的加減運算等，究其原因，除了古今人們實踐和認識的條件不同外，十分重要的一個原因就是今天已有了一個規(guī)范統(tǒng)一簡潔的數(shù)學符號語言系統(tǒng)。

數(shù)學符號語言的簡潔性還表現(xiàn)在表達思想和推理過程的簡潔與明了中。如定理“在有余數(shù)的除法里，如果被除數(shù)和除數(shù)能被同一自然數(shù)整除，那么，余數(shù)也能被這個自然數(shù)整除”，我們可用數(shù)學符號語言表示為：

這個定理的證明過程用數(shù)學符號語言表達，思維清晰，符合邏輯，能讓讀者一目了然地看到推理的過程。

三、語意的確定性

數(shù)學符號語言還具有語意確定性的特點，數(shù)學符號語言的語意是確定無疑的，思想是上下一貫、有根有據(jù)的。愛因斯坦曾說：在描述各種關系時要盡可能達到最高標準的嚴格精確性，這樣的標準只有用數(shù)學語言才能做到。

許多數(shù)學符號的產生與發(fā)展也充分證明了這一點。如2，最初是捷克的魯?shù)婪蛴?525年出版的《常用代數(shù)技巧規(guī)則下的速算》一書中使用符號“√”，后來笛卡兒添上一橫線變成后才作為數(shù)學上的通用符號。有了這一橫，就可以把誰的平方根看得一清二楚，避免語義上的混亂。

數(shù)學符號中雖然也有同一個符號語意不同的情況，如［ ］，它既可以表示中括號，也可以表達閉區(qū)間，又如加號和正號等，但它們使用在不同語境中，語義是非常明確的。

即便是界限模糊的一些概念，數(shù)學上也要想方設法，使之語義確定。如人們平時說的胖與瘦、高與矮，他們的界限是模糊的?！都t樓夢》中用文學語言對“瘦弱的林黛玉”著墨很多，但100個人的心中有100個不同的“林妹妹”形象，這是文學語言的魅力。針對林妹妹“瘦”到什么程度的問題，如果用數(shù)學語言來表達，就是要確定什么是“瘦的”。假設40千克以下的人是“瘦的”，那么41千克是“瘦”還是“胖”呢？

“禿頭悖論”也反映了這個問題。如果我們事先約定，頭發(fā)根數(shù)不超過某一確定的常數(shù)n的人為禿頭，那頭發(fā)根數(shù)為n+1的人是否是禿頭？根據(jù)約定，應該不算是禿頭，但他只比頭發(fā)根數(shù)為n的人多了1根，這樣定性實在有悖常理。但如果約定，當N=n時為禿頭，則N=n+1也為禿頭。如此，根據(jù)數(shù)學歸納法，可以推得世界上所有的人都是禿頭。顯然，這是更加荒謬的結論，但推理的過程沒有錯呀！問題的根源在于“禿頭”這個概念本身的語義模糊不清。

美國控制論專家L·A·查德通過研究數(shù)學的基礎——集合論，發(fā)現(xiàn)普通集合論是揚棄了模糊性而抽象出來的。如一個對象a或者有某種性質，或者沒有，即a要么屬于集合A，要么不屬于A，兩者必居其一，而且只能居其一，決不容許模棱兩可。用數(shù)學符號語言表示就是：

這是一個函數(shù)式，這個函數(shù)的值域是集合｛0，1｝。但查德認為，客觀事物之間界限不分明的中介狀態(tài)是普遍的，為此他對普通集合進行了推廣，把點集改造為區(qū)間［0，1］，用介于0、1之間的一個數(shù)來說明該人的體重“多大程度上屬于瘦的”，程度越高，這個數(shù)就越大。如設體重小于40千克的人是瘦子，其屬于“瘦子”的程度（數(shù)學上叫做隸屬度）為1，體重為60千克的人不是瘦子，其屬于“瘦子”的程度或隸屬度為0，那么，體重為a千克的人屬于“瘦子”的隸屬度就可以通過數(shù)學符號語言g（x）=（60-x）/（60-40），x∈［40，60］表達出來。如當x=50時，g（x）=0.5，當x=45時，g（x）=0.75，通過這個隸屬函數(shù)g（x）就可以比較誰更“瘦”一點，顯然45千克的人比50千克的人更“瘦”一點。這個隸屬度在我們的生活中并不陌生，說“某事有80%的把握”，這里的80%，就是隸屬度，這是模糊數(shù)學所研究的內容。模糊數(shù)學“硬”是把界限模糊的量用“數(shù)據(jù)”表示出來了，讓這些概念的語義確定，關系明確不含糊。

由此可見，數(shù)學符號語言具有嚴密性和確定性的特點，能更加完善、準確、明了地把概念傳遞給人，它擺脫自然語言的多義性，避免了在推理中產生歧義而造成邏輯上的混亂。如果說文學語言、圖像語言在傳達思想時的模糊性和內省性，是為了表達人豐富的內心和情感世界，那么數(shù)學符號語言的確定性，則把人類的思維和推理過程表達得清楚明白，合乎邏輯。英國著名哲學家、數(shù)學家羅素說過“數(shù)學就是符號加邏輯”。

物理可以用實驗解決問題，但數(shù)學必須用“數(shù)據(jù)”和“一般化”的論證。哥德巴赫猜想至今尚未解決就是因為沒有找到“一般化”的論證方法。用簡潔統(tǒng)一的符號、確定無誤的概念進行推理和論證，這既是數(shù)學符號語言的特征，也是數(shù)學學科本身的特征。數(shù)學通過數(shù)學符號語言保存和傳遞數(shù)、量、關系和空間形式，并通過符號語言加速思維的進程，高效傳播思維和數(shù)學思想方法。

（本文是教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金項目［項目批準號：11YJA880086］研究成果之一。）

［1］辭海編輯委員會.辭海［Z］.上海：上海辭書出版社，1990：447.

［2］吳曉紅，鄭毓信.從質疑到釋疑：數(shù)學教育國際比較可比性解讀［J］.比較教育研究，2007，（8）.

［3］孟艾菊，婁亞敏.數(shù)學符號語言和自然語言的關系探微［J］.現(xiàn)代語文（語言研究版），2014，（3）.

［4］［日］黑木哲德著.數(shù)學符號理解手冊［M］.趙雪梅譯.上海：學林出版社，2011：8.

［5］鄭毓信.數(shù)學思維與小學數(shù)學［M］.南京：江蘇教育出版社，2012：9.

（沈丹丹 浙江寧波 寧波大學教師教育學院 315211）