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        一類單種群擴散模型的正概周期解的定性分析

        2015-11-26 06:20:19李曉艷姚頻田麗娜
        兵器裝備工程學報 2015年11期
        關鍵詞:數(shù)學模型系統(tǒng)

        李曉艷,姚頻,田麗娜

        (蘭州城市學院a.數(shù)學學院;b.附屬中學,蘭州730070)

        一類單種群擴散模型的正概周期解的定性分析

        李曉艷a,姚頻b,田麗娜a

        (蘭州城市學院a.數(shù)學學院;b.附屬中學,蘭州730070)

        討論了一類具有時滯的單種群擴散模型,得到了正概周期解的存在條件,借助構造Liapunov函數(shù),找到了正概周期解全局穩(wěn)定的充分條件。

        單種群;擴散;正概周期解

        用數(shù)學模型的方法來研究種群生態(tài)學問題是常見的方法,它能夠應用數(shù)學的技巧和方法來解釋一些自然界所存在的現(xiàn)象。對于整個生態(tài)系統(tǒng)而言,只研究其中的單一種群是應該首先考慮的。在現(xiàn)實生活中,有些單種群物種會在若干個不同環(huán)境之間移動,這樣就造成了種群間的擴散,由于具有斑塊擴散的單種群模型的周期解問題的結論較多,而概周期現(xiàn)象是一類比周期現(xiàn)象更普遍的現(xiàn)象,因此研究概周期問題的重要性不言而喻[1-3]。

        討論模型

        其中x1,x2分別表示種群X在斑塊1和斑塊2的種群密度,以下均假設ai(t),bi(t),Ci(t),Di(t)(i=1,2)均是連續(xù)非負的函數(shù)且ai(t),bi(t)嚴格正,并且τi(t)≥0,i=1,2,3。

        1 系統(tǒng)的持久性

        定理2若系統(tǒng)方程式(1)滿足以下假設(A1)bi(t)>Ci(t),t∈R,i=1,2,則系統(tǒng)方程式(1)的解在中最終有界。

        由bi(t)>Ci(t),觀察等式右邊,前后兩項均為二次項系數(shù)為負的二次代數(shù)式,故易知存在L1,L2,使得f(x1)= x1[η+a1(t)-b1(t)x1(t)+C1(t)x1(t-τ1(t))]≤L1,f(x2)=x2[η+a2(t)-b2(t)x2(t)+C2(t)x2(t-τ2(t))]≤L2,即。

        定理3若假設(A2);成立,則系統(tǒng)方程式(1)是可持續(xù)的。

        故系統(tǒng)方程式(1)是可持續(xù)的,并且Ω={(x1,x2)|xi≥ mi>0,,x1+x2<M}是方程式(1)的一致最終有界區(qū)域。

        2 概周期解存在性和全局穩(wěn)定性

        以下均假設系統(tǒng)方程式(1)中ai(t),bi(t),Ci(t),Di(t)(i=1,2),τi(t),i=1,2,3.均是連續(xù)非負的概周期函數(shù),且ai(t),bi(t)嚴格正。下面考慮方程式(1)的概周期解存在性和全局穩(wěn)定性。

        考慮方程式(1)的伴隨系統(tǒng)

        引理1[1]設D是的一個開集,函數(shù)V(t,x,y)定義在R+×D×D上滿足

        1)a‖x-y‖≤V(t,x,y)≤b‖x-y‖,其中a(r)和b(r)為連續(xù)、遞增的正定函數(shù);

        2)‖V(t,x1,y1)-V(t,x2,y2)‖≤k{‖x1-x2‖+‖y1-y2‖},k>0是一個常數(shù);

        4)若滿足t≥t0>0的解位于緊集S中,S?D;

        則系統(tǒng)方程式(2)在D中有唯一概周期解P(t);若P(t)位于緊集S中,則該概周期解是一致漸近穩(wěn)定的。

        假設(A3)

        定理1若概周期系統(tǒng)方程式(2)滿足假設(A2)和(A3),則系統(tǒng)存在唯一的正概周期解,且此解是全局漸近穩(wěn)定的[4-8]。

        證明:由定理2知緊集Ω是系統(tǒng)方程式(1)的最終有界區(qū)域。定義Xi(t)=lnxi(t),Yi(t)=lnyi(t);X(t)=(X1(t),X2(t)),Y(t)=(Y1(t),Y2(t)),x(t),y(t)是伴隨系統(tǒng)方程式(2)在Ω×Ω上的解。

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        [2]陳超,紀昆.具有Holling III類功能性反應的多種群競爭捕食系統(tǒng)的概周期解[J].應用數(shù)學學報,2006,29(4): 756-765.[3]薛煒.污染環(huán)境中Gompertz食餌—捕食者系統(tǒng)的全局吸引性[J].甘肅科學學報,2013,25(3):12-15.

        [4]Liu X N,Chen L S.Complex dynamics of Holling type II Lokta-Volterra predator-prey system with impulsive perturbations on the predator[J].Chaos Solitons Fractals,2003(16):311-320.

        [5]Hale J.Theory of Functional Differential Equations[M]. Heidelberg:Spinger Verage,1977.

        [6]陸征一,周義倉.數(shù)學生物學進展[M].北京:科學出版社,2006.

        [7]馬知恩.種群生態(tài)學的數(shù)學建模與研究[M].合肥:安徽教育出版社,2000.

        [8]馬知恩,周義倉.常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M].北京:科學出版社,2001.

        (責任編輯楊繼森)

        A Qualitative Analysis of Diffusive Single-Species of Positive Almost Periodic Solution

        LI Xiao-yana,YAO Pinb,TIAN Li-naa
        (a.Institute of Mathematics;b.Attached Middle School,Lanzhou City University,Lanzhou 730070,China)

        A diffusive single-species with time delays was investigated.The positive almost periodic solution was found.By means of constructing Liapunov function,the sufficient condition which guarantees the global asymptotic stability was obtained.

        single-species;diffusion;positive almost periodic solution

        李曉艷,姚頻,田麗娜.一類單種群擴散模型的正概周期解的定性分析[J].四川兵工學報,2015(11):136-137.

        format:LI Xiao-yan,YAO Pin,TIAN Li-na.A Qualitative Analysis of Diffusive Single-Species of Positive Almost Periodic Solution[J].Journal of Sichuan Ordnance,2015(11):136-137.

        O175.13

        A

        1006-0707(2015)11-0136-03

        10.11809/scbgxb2015.11.036

        2015-06-22

        國家自然科學基金(11261027);2014隴原青年創(chuàng)新人才扶持計劃項目

        李曉艷(1980—),女,碩士,講師,主要從事生物數(shù)學研究。

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