李春洋張偉

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124）

含間隙同步錐齒輪鎖定后的非光滑動(dòng)力學(xué)分析*

李春洋?張偉

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124）

針對(duì)周邊環(huán)形桁架天線展開鎖死后，分析齒輪副間隙由于空間冷—熱環(huán)境交替對(duì)天線所產(chǎn)生的影響.因?yàn)檎麄€(gè)桁架結(jié)構(gòu)復(fù)雜，間隙種類眾多，所以文中只研究一對(duì)同步直齒錐齒輪鎖定后間隙的非光滑動(dòng)力學(xué)行為.文中首先介紹了三種碰撞力模型，即恢復(fù)系數(shù)模型、Hertz接觸力模型和非線性彈簧—阻尼模型，然后對(duì)物理模型進(jìn)行簡化得到動(dòng)力學(xué)模型，最后建立了動(dòng)力學(xué)方程.由于動(dòng)力學(xué)方程中存在分段，直接求得解析解難度過大，文中直接采用數(shù)值仿真的方法進(jìn)行分析，從仿真結(jié)果中得知含間隙的同步錐齒輪在外力的作用下整個(gè)系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)單倍周期、倍周期分岔和混沌等復(fù)雜的非線性響應(yīng).

間隙，碰撞，周期分岔，混沌響應(yīng)

引言

同步錐齒輪傳動(dòng)中，由于制造和安裝時(shí)出現(xiàn)的誤差及使用過程中產(chǎn)生的磨損，都不可避免地導(dǎo)致齒輪的輪齒之間間隙的出現(xiàn)，由于齒輪中的輪齒、潤滑油等在太空由于太空環(huán)境溫度的不斷交替而產(chǎn)生能量損耗，對(duì)含間隙的同步齒輪的一對(duì)輪齒與潤滑油之間將發(fā)生接觸—碰撞—分離的往復(fù)運(yùn)動(dòng).對(duì)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析和齒輪系統(tǒng)的間隙碰撞［1-2］振動(dòng)研究有著十分重要的意義.碰撞系統(tǒng)建模的方法主要有以下四種：恢復(fù)系數(shù)法、圣維南法、非線性有限元法和彈簧—阻尼模型，其中恢復(fù)系數(shù)法和彈簧—阻尼模型在碰撞振動(dòng)動(dòng)力學(xué)研究中應(yīng)用最為廣泛.恢復(fù)系數(shù)法［3-6］假設(shè)接觸碰撞過程是瞬間完成的，且碰撞體的外形沒有根本的改變，即忽略了接觸時(shí)間和接觸變形，只關(guān)心和研究碰撞前與碰撞后的動(dòng)力學(xué)形態(tài)，而用恢復(fù)系數(shù)來表示碰撞前后速度的跳躍關(guān)系.非線性彈簧一阻尼模型能夠比較精確地反映碰撞過程中的變形能量損耗，Zhang和sharf［7］通過實(shí)驗(yàn)證明了在彈性碰撞情況下非線性彈簧—阻尼模型的合理性和實(shí)用性.齒輪的沖擊系統(tǒng)模型最早是由Dubowshy和reudenstein［8-9］在1971年提出的，但是研究輪齒沖擊動(dòng)力學(xué)行為時(shí)將沖擊接觸過程簡單地用粘性阻尼來表示，并不能真實(shí)的反映齒輪沖擊特性.Hunt和Crossley［10］等通過引入非線性沖擊阻尼的概念來建立了含有沖擊阻尼的沖擊系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型.Veluswami和Crossley［11］利用這種沖擊模型分析了兩邊約束的球振動(dòng)模型，理論分析得到的結(jié)果與試驗(yàn)基本吻合，證明了沖擊阻尼模型在研究沖擊動(dòng)力學(xué)的有效性.1984年，Pfeiffer［12］在研究齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)時(shí)建立了一種沖擊模型，隨后在文章中應(yīng)用理論分析和實(shí)驗(yàn)方法，揭示了齒輪系統(tǒng)的常規(guī)運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).在2005年，Luo和Chen［13-16］建立了一類比較簡單的分段線性沖擊系統(tǒng)的理論模型，應(yīng)用解析法分析了系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用局部奇異性理論分析其周期解的擦邊分岔，以及應(yīng)用數(shù)值法模擬其混沌過程，此后又中討論了此類系統(tǒng)的奇怪吸引子的擦邊分岔，之后應(yīng)用映射結(jié)構(gòu)技術(shù)解析分析此類系統(tǒng)的任意周期運(yùn)動(dòng).就現(xiàn)有文獻(xiàn)來看，針對(duì)對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的間隙和時(shí)變嚙合剛度的非線性問題已進(jìn)行了大量的研究，分別建立了單自由度［17-21］、三自由度［22］間隙非線性動(dòng)力學(xué)模型，考慮周期時(shí)變剛度［20-21，23］的影響，并用各種方法研究齒輪系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)、混沌響應(yīng)及分岔［22-23］，兩自由度間隙非線性動(dòng)力學(xué)模型比較少.另外針對(duì)含間隙同步錐齒輪鎖定后的非光滑動(dòng)力學(xué)分析相對(duì)較少.文中建立了一種含間隙的兩自由度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型.通過數(shù)值仿真對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的分岔和混沌等非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分析研究，對(duì)以后更好的完善含間隙和潤滑的齒輪副運(yùn)動(dòng)副模型奠定了基礎(chǔ).

1 接觸碰撞模型

1.1 恢復(fù)系數(shù)

在機(jī)械結(jié)構(gòu)中碰撞過程往往不是完全彈性碰撞，也不是完全非彈性碰撞，也導(dǎo)致碰撞過程總會(huì)存在著一定的能量損失，而這一部分損失的能量可以用恢復(fù)系數(shù)來表達(dá).假設(shè)碰撞前兩質(zhì)體的速度為υ1i、υ2i，碰撞后的速度為υ1j、υ2j，則恢復(fù)系數(shù)可由下式表示，

并且有0≤e≤1，對(duì)于完全彈性碰撞e＝1，對(duì)于完全非彈性碰撞e＝0.恢復(fù)系數(shù)的大小跟很多因素有關(guān)，如接觸面的幾何形狀，碰撞速度，材料屬性，接觸持續(xù)的時(shí)間，甚至摩擦.當(dāng)碰撞持續(xù)時(shí)間與碰撞體基本固有振動(dòng)模的周期之比很大時(shí)，恢復(fù)系數(shù)的大小便決定于碰撞點(diǎn)附近的塑性變形量，而碰撞點(diǎn)附近的塑性變形主要由碰撞速度決定.

1.2 Hertz接觸力模型

Hertz接觸力模型是基于完全彈性變形，主要研究了彈性體的準(zhǔn)靜態(tài)接觸問題，并且該模型是非線性接觸力模型，但是沒有考慮到接觸的過程中能量的損耗.Hertz接觸力模型可以用一個(gè)非線性彈簧來描述，其接觸力公式為，

其中，δ為接觸面的變形量，n是與接觸面幾何特征有關(guān)的常數(shù)，一般取1.5，K是與質(zhì)體材料特性和結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的常數(shù)，

式中，Ri和Rj表示正面碰撞質(zhì)體的球面半徑，σi和σj表示如下，

νh和Eh分別表示兩個(gè)質(zhì)體的泊松比和楊氏模量.

1.3 非線性彈簧—阻尼模型

當(dāng)質(zhì)體發(fā)生碰撞時(shí)，碰撞面之間發(fā)生彈性變形，從而產(chǎn)生接觸碰撞力，碰撞力的大小與變形量有關(guān)，根據(jù)上一節(jié)Hertz理論的相關(guān)描述可知.

變形恢復(fù)后速度的大小不能恢復(fù)到碰撞前的速度的大小，因?yàn)樵谂鲎策^程中伴隨著能量損耗，用于產(chǎn)生變形和熱，而上面的碰撞力模型不能反映能量損耗的實(shí)際情況.因此在碰撞力模型中必須引入阻尼系數(shù)D，將碰撞力表示，

其中，˙δ為相對(duì)速度，阻尼系數(shù)D采用遲滯阻尼模型，

μ是遲滯阻尼系數(shù)，μ的值與粘性阻尼系數(shù)、剪切和體積變形等有關(guān)，通過能量法可以得到μ的表達(dá)式，

圖1 質(zhì)體正碰示意圖Fig.1 Plastid schematic with frontal collision

因此，碰撞力的表達(dá)式為，

2 直齒錐齒輪力學(xué)模型

2.1 物理模型簡化

同步直齒錐齒輪副鎖死后如圖2，物理模型可簡化為含參數(shù)激勵(lì)且具有含間隙的兩自由度齒輪在外激勵(lì)作用下的動(dòng)力學(xué)模型.

圖2 間隙大小為B同步錐齒輪物理模型Fig.2 Gap size is B physical model of the synchronous straight bevel gears

如圖3所示，M1和M2分別是主動(dòng)輪齒和被動(dòng)輪齒的廣義等效質(zhì)量，K1和K2分別是主動(dòng)輪齒和被動(dòng)輪齒的接觸剛度，間隙B表示M1和M2的齒側(cè)間隙，而齒輪中的潤滑油等在太空由于冷熱沖擊的不斷交替而產(chǎn)生能量損耗，在此簡化為模型中的阻尼部分C1、C2和激勵(lì)力F（t）（QsinΦt），Q和Φ分別表示冷熱沖擊的激勵(lì)的幅值和頻率.假設(shè)輪齒為彈性體，在激勵(lì)力作用下，則輪齒間發(fā)生接觸—碰撞—分離的往復(fù)運(yùn)動(dòng)（由于對(duì)模型簡化的需要，模型并未考慮齒輪接觸面的摩擦）.

圖3 兩自由度齒輪碰撞力學(xué)模型Fig.3 Two degrees of freedom about gear collision dynamics model

2.2 動(dòng)力學(xué)模型的建立

當(dāng)M1與M2之間的相對(duì)位移時(shí)，M1與M2不發(fā)生接觸；當(dāng)M1與M2之間的相對(duì)位移x1-x2＝B時(shí)，M1與M2剛發(fā)生接觸，并沒有力的作用，因此，M1和M2分別做自由振動(dòng)，其振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

當(dāng)M1與M2之間的相對(duì)位移x1-x2＜-B和x1-x2＞B時(shí)，M1與M2將發(fā)生接觸，此時(shí)相對(duì)速度不等于0，接觸面上將產(chǎn)生彈性碰撞，兩質(zhì)量體分別發(fā)生壓縮彈性變形直到質(zhì)量塊的速度為0，然后恢復(fù)彈性變形，直至質(zhì)量體分離.碰撞過程的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為

式中，P（t）的表達(dá)式如公式（8）所示.顯然，當(dāng)x1-x2＞B時(shí)，M1與M2的右側(cè)面發(fā)生接觸碰撞，當(dāng)x1-x2＜B時(shí)，M1與M2的左側(cè)面發(fā)生接觸碰撞.為了方便地應(yīng)用數(shù)值積分法求解此動(dòng)力學(xué)問題，需要對(duì)方程進(jìn)行無量綱化.取無量綱量，τ＝ω1t，ωi＝得到三組無量綱方程為，

3 數(shù)值分析

碰撞系統(tǒng)參數(shù)的變化，將使系統(tǒng)呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，如混沌、分岔等.

在圖3中所示的動(dòng)力學(xué)模型中，首先將系統(tǒng)參數(shù)B＝0.1，ζ1＝ζ2＝0.2，η＝1，κ＝20，λ＝3.5，n＝1.5，g＝2代入（10.1）、（10.2）、（10.3）中，取ω為控制參數(shù).從圖2中可知，隨著ω的變化，此系統(tǒng)中x1呈現(xiàn)出周期運(yùn)動(dòng)與混沌的交替，即：單倍周期運(yùn)動(dòng)-二倍周期運(yùn)動(dòng)-倍周期-二倍周期運(yùn)動(dòng)-混沌運(yùn)動(dòng).

圖4 系統(tǒng)在ω為控制參數(shù)時(shí)的分岔圖Fig.4 System in the control parameter of ω bifurcation diagram

以下均為固定初始條件和其他參數(shù)的大小，增大轉(zhuǎn)速ω所得的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)情況.

當(dāng)ω＝0.5時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)單倍周期運(yùn)動(dòng).系統(tǒng)的平面相圖，三維相圖，波形圖如圖5所示.

當(dāng)ω＝0.8時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)單倍周期運(yùn)動(dòng).系統(tǒng)的平面相圖，三維相圖，波形圖如圖6所示.

圖5 ω＝0.5時(shí)系統(tǒng)進(jìn)行單倍周期運(yùn)動(dòng)Fig.5 Single-periodic motion

圖6 ω＝0.8時(shí)系統(tǒng)進(jìn)行單倍周期運(yùn)動(dòng)Fig.6 Single-periodic motion

當(dāng)ω＝1.3時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)概周期運(yùn)動(dòng).系統(tǒng)的平面相圖，三維相圖，波形圖如圖7所示.

圖7 ω＝1.3時(shí)系統(tǒng)進(jìn)行概周期運(yùn)動(dòng)Fig.7 Quasi-periodic motion

當(dāng)ω＝2.0時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)二倍周期運(yùn)動(dòng).系統(tǒng)的平面相圖，三維相圖，波形圖如圖8所示.

圖8 ω＝2.0時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)二倍周期運(yùn)動(dòng)Fig.8 Two-periodic motion

當(dāng)ω＝2.35時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)多倍周期運(yùn)動(dòng).系統(tǒng)的平面相圖，三維相圖，波形圖如圖9所示.

圖9 ω＝2.35時(shí)系統(tǒng)多倍周期運(yùn)動(dòng)Fig.9 There-periodic motion

當(dāng)ω＝2.4時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)概周期運(yùn)動(dòng).系統(tǒng)的平面相圖，三維相圖，波形圖如圖10所示.

圖10 ω＝2.4時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)概周期運(yùn)動(dòng)Fig.10 Quasi-periodic motion

當(dāng)ω＝2.8時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng).系統(tǒng)的平面相圖，三維相圖，波形圖如圖11所示.

圖11 ω＝2.8時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)Fig.11 Chaotic

4 結(jié)論

⑴含間隙同步錐齒輪在鎖定后，系統(tǒng)由于受到外部環(huán)境溫度的影響，系統(tǒng)中將會(huì)出現(xiàn)著周期運(yùn)動(dòng)、混動(dòng)運(yùn)動(dòng)等現(xiàn)象.系統(tǒng)依次經(jīng)歷單倍周期，分岔為兩倍周期，之后分岔為多倍周期；隨著外激勵(lì)的變化，多倍周期又回到兩倍周期，最后系統(tǒng)再次進(jìn)入混沌.

⑵通過分析齒輪鎖死后間隙結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的幾種形式的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，對(duì)于通過選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)來減小甚至消除這種顫振有一定的參考意義.

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Received 21 March 2014，revised 20 April 2014.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11290152，11272008）

?Corresponding author E-mail：yangchunli1988@126.com

KINETIC ANALYSIS OF NON-SMOOTHAFTER THE SYNCHRONOUS STRAIGHT BEVEL GEARS WITH CLEARANCE BEING LOCKED*

Li Chunyang?Zhang Wei
（College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

This paper focuses on the influence of joint clearance on the satellite dashes when the space environment alternates between cool and hot.Since the whole truss structure is complex and has many kinds of clearance，this paper only studied the nonlinear dynamical behavior of synchronous straight bevel gears which have clearance after the synchronous straight bevel gears is locked.The first model is Hertz contact force model；the second one is coefficient of restitution model；the last one is nonlinear spring-damping model.Then the physical model was simplified，the dynamic one was obtained，and the dynamic equation with the nonlinear spring-damping model was established.Due to the existence of segmentation in the dynamic equations，direct solve analytically is difficult，so this paper used numerical simulation method to analyze the model.From the analysis，it is obtained that the system of synchronous straight bevel gears with clearance will appear complex nonlinear phenomena such as Single-periodic，period-doubling bifurcation and chaotic responses.

clearance，collision，period-doubling bifurcation，chaotic responses

10.6052/1672-6553-2015-029

2014-03-21收到第1稿，2014-04-20收到修改稿.

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11290152、11272008）

?通訊作者E-mail：yangchunli1988@126.com