譚芳芳,劉樹德

(安徽工程大學(xué)機電學(xué)院,安徽蕪湖 241000)

利用不動點定理研究一類橢圓型方程的奇攝動邊值問題

譚芳芳,劉樹德

(安徽工程大學(xué)機電學(xué)院,安徽蕪湖 241000)

研究了一類半線性二階橢圓型方程的奇攝動邊值問題．利用合成展開法構(gòu)造出問題的零次形式近似,并應(yīng)用橢圓型算子的最大值原理和改進的不動點定理證明解的存在性及解的漸近性質(zhì)．

奇攝動;邊值問題;橢圓型方程;合成展開法;不動點定理

在微分方程定解問題的研究中,不動點原理是證明解的存在性及唯一性的一個強有力的工具．1974年,Harten van[1]把不動點原理應(yīng)用到非線性橢圓型方程的奇攝動問題中,隨后Geel[2]用改進的形式研究了非線性雙曲型方程的奇攝動問題．Jager de和江福汝[3]綜合闡述了奇攝動理論和方法,應(yīng)用橢圓型算子的最大值原理和改進的不動點定理廣泛研究各類奇攝動問題．

在文獻[3]的基礎(chǔ)上討論一類半線性二階橢圓型方程的奇攝動邊值問題,利用合成展開法[4-8]構(gòu)造出問題的零次形式近似,應(yīng)用橢圓型算子的最大值原理和改進的不動點定理證明解的存在性,并對近似解作出漸近估計．

引理1[3](橢圓型算子的最大值原理)設(shè)

式中a,b,c,d,e,f都是有界區(qū)域Ω?R2上的連續(xù)函數(shù),滿足b2－4ac＜0且a(x,y)＞0,f(x,y)≤0．若存在兩次連續(xù)可微函數(shù)Φ(x,y)和Ψ(x,y),使得

并在Ω的邊界?Ω上滿足|Φ|≤Ψ,則在ˉΩ＝Ω∪?Ω上成立|Φ|≤Ψ．

通常稱Ψ(x,y)為閘函數(shù)．

引理2[3](Harten不動點定理)設(shè)(N,‖·‖1)是賦范線性空間,(B,‖·‖)是Banach空間,F是N到B的非線性映射,F[0]＝0,且F可分解為

式中,L是F在p＝0的線性化算子,L和Ψ滿足如下兩個條件:

(i)L是雙射,其逆L－1連續(xù),即存在常數(shù)l＞0使

其中ΩN(ρ)＝{p|p∈N,‖p‖1≤ρ},m(ρ)當(dāng)ρ→0時單調(diào)減少,且

1 構(gòu)造形式近似式

考慮如下形式的半線性橢圓型方程的奇攝動邊值問題

式中,ε＞0是小參數(shù),n≥0是自然數(shù),Ω是具有光滑邊界的有界區(qū)域,g,φ為其變元的充分光滑函數(shù),且在上g(x,y)＞0．

顯然退化方程

在?Ω的一個充分小的內(nèi)鄰域U中引入局部坐標(biāo)(ρ,σ),將U表示為

使得在U中(x,y)與(ρ,σ)之間構(gòu)成一一對應(yīng),且對應(yīng)表達式為

此處x＝x(σ),y＝y(tǒng)(σ),0≤σ≤σ0為?Ω的參數(shù)表示[3]．為了簡單起見,我們?nèi)杂?/p>

將式(3),式(4)代入式(1),得到

其中

將式(6)代入式(1),式(2),則零次近似v0滿足下面的邊值問題

式中,ˉφ(σ)＝φ(x(σ),y(σ))．且邊界層函數(shù)v0(τ,σ)應(yīng)滿足

由式(7)可知,當(dāng)v0＞0時此時v作為τ的函數(shù)是上凹的;而當(dāng),此時v作00為τ的函數(shù)是上凸的．而limv0(τ,σ)＝0,所以只要不為零,函數(shù)v0(τ,σ)對τ≥0不變號;于是當(dāng)隨τ增大而單調(diào)減小;當(dāng)v0(τ,σ)＜0時,v0(τ,σ)隨τ增大而單調(diào)增大．于是對v0(τ,σ)＞0的情形,由v0(τ,σ)＞0及有從而

將上式兩邊從τ到＋∞積分,得到

再將它從0到τ積分,推出

同理,對v0(0,σ)＜0的情形也有類似結(jié)果．故只要v0(0,σ)≠0,就有

令

則~u(x,y)為邊值式(1),式(2)的一個零次近似,且滿足

及

式中,ψ(ρ)∈C∞[0,ρ0]是適當(dāng)?shù)慕財嗪瘮?shù),滿足

再令

將它代入式(1),式(2),則余項R(x,y)滿足

2 解的存在性及漸近性質(zhì)

顯然F[0]＝0,F在p＝0的線性化算子為

于是

取

其范數(shù)分別定義為

首先,對任意的χ∈B,考慮線性邊值問題

可取Φ(x,y)＝L－1[χ]及閘函數(shù)Γ(x,y)＝l－1‖χ‖,其中l(wèi)(0＜l＜1)為常數(shù),則容易得到

及

式中,ΩN(~ρ)≡{p:p∈N,‖p‖1≤~ρ},C＞0為常數(shù)．記m(~ρ)＝C~ρ．這意味著引理2中的條件(ii)滿足．

由于式(11)的右邊是O(ε)?χ,故從引理2推出,對?χ∈B:存在p∈N使

且

即存在R(x,y)滿足式(11),式(12),且

綜上所述,我們得到如下定理．

定理 設(shè)Ω是具有光滑邊界的有界區(qū)域,ε＞0為小參數(shù),g,φ為其變元的充分光滑函數(shù),且在上g(x,y)＞0．則邊值問題式(1),式(2)在上存在解u＝uε(x,y)且當(dāng)ε→0時

[1] Harten van A．Singular perturbation problems for nonlinear elliptic second order equations[J]．North-Holland Math．Studies,1974,13:181-195．

[2] Geel R．Nonlinear initial value problems with a singular perturbation of hyperbolic type[J]．Proc．Roy．Soc．of Edinburgh, section(A),1979,89:333-345．

[3] Jager de,E M,Jiang Furu．The Theory of Singular Perturbation[M]．Amsterdam:North-Holland Publishing Co．,1996．

[4] 劉樹德,魯世平,姚靜蓀,等．奇異攝動邊界層和內(nèi)層理論[M]．北京:科學(xué)出版社,2012．

[5] 劉樹德,孫建山,謝元靜．一類奇攝動擬線性邊值問題的激波解[J]．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報,2012,32(2):312-319．

[6] Y H Feng,S D Liu．Spike layer solutions of some quadratic singular perturbation problems with high-order turning points[J]．Math．Appl．,2014,27(1):50-55．

[7] 馬晴晴,劉樹德．具有高階轉(zhuǎn)向點的奇攝動二次問題的激波解[J]．?dāng)?shù)學(xué)雜志,2014,27(1):50-56．

[8] 劉樹德,葉珊珊,王丹鳳．具有非單調(diào)過渡層性質(zhì)的奇攝動半線性邊值問題[J]．工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2014,31(6):872-878．

Singularly perturbed boundary value problems for elliptic equations via the fixed point theorem

TAN Fang-fang,LIU Shu-de
(College of Mechanical and Electrical Engineering,Anhui Polytechnic University,Wuhu 241000,China)

Singularly perturbed boundary value problems for a class of semi-linear second-order elliptic equations are studied．The formal approximation of the problem is constructed by using the method of composite expansions,and the existence and asymptotic behavior of solutions are proved by Harten＇s fixed point theorem．

singular perturbation;boundary value problem;elliptic equations;the method of composite expansions;the fixed point theorem

O175．25

A

1672-2477(2015)04-0090-05

2015-03-10

國家自然科學(xué)基金資助項目(11301007)

譚芳芳(1979-),女,湖南祁東人,助教,碩士．