吳 旭,魏利勝

(安徽工程大學(xué)電氣工程學(xué)院,安徽蕪湖 241000)

網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性分析

吳 旭,魏利勝?

(安徽工程大學(xué)電氣工程學(xué)院,安徽蕪湖 241000)

研究了網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)序列的統(tǒng)計(jì)特性．分析過程中,分別采用基于譜密度構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量方法、周期圖法、JB檢驗(yàn)方法研究了網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)序列的平穩(wěn)性、周期性、正態(tài)性．最后,基于校園網(wǎng)應(yīng)用層獲得時(shí)延數(shù)據(jù)并通過MATLAB仿真．結(jié)果表明,網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的、不含有周期項(xiàng),且呈反正態(tài)性的．

譜密度;周期圖法;JB檢驗(yàn)法

隨著網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域,網(wǎng)絡(luò)時(shí)延所帶來的問題不容忽視,它不僅使控制系統(tǒng)傳遞信息滯后,同時(shí)也降低了系統(tǒng)的性能甚至影響其穩(wěn)定性[1-2]．研究網(wǎng)絡(luò)時(shí)延,分析其統(tǒng)計(jì)特性,有利于我們對(duì)不同條件下的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延建立更適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,提高時(shí)延預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性,這對(duì)未來網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的普及具有十分重要的意義．

目前,對(duì)于有關(guān)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延問題,主要采用確定延時(shí)的方法[2],但時(shí)延通常是時(shí)變的,這種方法浪費(fèi)資源,甚至有時(shí)不具有可行性．針對(duì)時(shí)變時(shí)延,主要采用不確定系統(tǒng)法[3]、時(shí)滯系統(tǒng)法[4]等方法進(jìn)行處理,這些方法都具有較大的保守性,不能依據(jù)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延的實(shí)際情況進(jìn)行分析和建模．

本文基于時(shí)間序列的方法詳細(xì)地研究了網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性．分別采用基于譜密度構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量的方法[5]、周期圖法[6]及JB檢驗(yàn)法[7]分析其平穩(wěn)性、周期性和正態(tài)性,為以后在不同的實(shí)際情況下建立適合的時(shí)延模型奠定基礎(chǔ)．

1 網(wǎng)絡(luò)時(shí)延的平穩(wěn)性檢驗(yàn)

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)性分析的首要問題是平穩(wěn)性分析,而進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)是為了判別數(shù)據(jù)序列是否具有不隨時(shí)間原點(diǎn)的推移而變化的特征．如果數(shù)據(jù)序列是平穩(wěn)的,且各態(tài)歷經(jīng),則該數(shù)據(jù)序列就可用單個(gè)樣本平均替代總體平均來表示各種統(tǒng)計(jì)特性,這極大地方便了我們進(jìn)一步處理數(shù)據(jù)．通常情況下,無法直接判斷出數(shù)據(jù)序列是否具有平穩(wěn)性,所以需要選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行判斷．

對(duì)于網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)序列,假設(shè)x1,x2,…,xn是其一個(gè)長(zhǎng)度為N的樣本,N足夠大,將該序列分成s個(gè)子序列,每個(gè)子序列的長(zhǎng)度均為M,且足夠的大．記為:

式中,xij＝x((i－1)·M＋j);i＝1,2,…,s;j＝1,2,…,M;N＝s·M．

目前,檢驗(yàn)過程平穩(wěn)性的方法即為檢驗(yàn)均值的平穩(wěn)性,而檢驗(yàn)均值的平穩(wěn)性主要是檢驗(yàn)數(shù)據(jù){Xi}的均值函數(shù)是否為常數(shù),那么,檢驗(yàn)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)序列是否具有平穩(wěn)性就可轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)其均值函數(shù)是否是常數(shù)．對(duì)于平穩(wěn)序列的p階AR模型可以表示如下:

式中,系數(shù)?i,i＝1,2,…,p若是絕對(duì)可和的,且條件和不等于0,則當(dāng)N→∞時(shí)2πg(shù)(0))[8]．其中,g(0)表示數(shù)據(jù)序列在0點(diǎn)的譜密度,即:

通過式(2)計(jì)算得到的g(0)估計(jì)量是易變不相合的,為了得到其一個(gè)漸近無偏相合估計(jì),可采用加窗周期圖的譜估計(jì),即:

式中,f(k)表示時(shí)窗函數(shù)．

根據(jù)3σ檢驗(yàn)法則:

根據(jù)德莫佛-拉普拉斯中心極限定理,有p～N(a,a(1－a)/s),其中,p表示的頻率．于是可構(gòu)造出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:

綜上所述,網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)的具體步驟為:①提出檢驗(yàn)假設(shè)H0:網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)序列具有平穩(wěn)性;②構(gòu)造并計(jì)算統(tǒng)計(jì)量,即用網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)計(jì)算式(4)的值;③給定一個(gè)顯著性水平:α＝0．05,查表得其一側(cè)分位點(diǎn):uα＝1．96;④比較|U|,uα大小,若|U|＞uα,則拒絕假設(shè)H0,否則接受假設(shè)H0．

2 網(wǎng)絡(luò)時(shí)延的周期性檢驗(yàn)

進(jìn)行周期性檢驗(yàn)是為了判別平穩(wěn)數(shù)據(jù)序列中除了隨機(jī)量外是否還具有周期分量的統(tǒng)計(jì)特征．首先,可以直接觀察網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)時(shí)延數(shù)據(jù)序列的功率譜密度函數(shù),判斷出該序列是否含有周期分量．若序列有隱含周期項(xiàng),再用周期圖法對(duì)該序列進(jìn)行分析．現(xiàn)假設(shè)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)時(shí)延數(shù)據(jù)具有隱含周期項(xiàng),其函數(shù)可表示為:

式中,A1表示振幅;ω1表示頻率;φ1表示相位．

則網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)函數(shù)可表示為:

式中,w(n)表示隨機(jī)噪聲序列,均值為零,方差為δ2w;其自相關(guān)序列可用式ΦW＝δ2wI表示,I表示N階單位矩陣．

將s(n)、y(n)和w(n)分別用矢量表示,如下:

式中,Ac1表示正弦波的復(fù)數(shù)振幅:Ac1＝A1exp(jφ1);e1表示信號(hào)矢量:e1＝[1,exp(jω1),…,exp(jω1)]．

假設(shè)s(n)已知,w(n)是復(fù)高斯白噪聲,Y的概率密度函數(shù)可表示為:

式中,H表示共軛轉(zhuǎn)置．

為估計(jì)出隱含周期項(xiàng)的A1、ω1和φ1值,需對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行最大似然估計(jì)(MLE),即求式(6)中A1、ω1和φ1最大化解,也就是求式L＝(Y－S)H(Y－S)相對(duì)于A1和ω1最小化解．

在數(shù)據(jù)序列的周期圖中,縱軸最大值對(duì)應(yīng)到橫軸上的頻率值即為ω1的最大似然估計(jì)值,記為1,代入式L＝(Y－S)H(Y－S)中并進(jìn)行最小化求解可得:

3 網(wǎng)絡(luò)時(shí)延的正態(tài)性檢驗(yàn)

進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)是為了檢驗(yàn)多數(shù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是否具有正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)特性．因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)是復(fù)雜的、隨機(jī)的,且受到多種因素的影響,所以在分析網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)正態(tài)特性時(shí)需要判斷它的概率分布．一般情況下,我們不可能知道網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)真實(shí)的概率分布,所以需要估計(jì)和檢驗(yàn)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)的分布．目前,正態(tài)檢驗(yàn)的方法很多,其中JB檢驗(yàn)(Jarque-Bera檢驗(yàn))應(yīng)用最為廣泛,它是一種基于偏度和峰度統(tǒng)計(jì)量的綜合檢驗(yàn)法．

對(duì)于隨機(jī)變量X,設(shè)其期望為μ,方差為σ2,它的k階中心距可表示為:

式中,p(x)表示概率密度函數(shù);k表示大于1的整數(shù)．

那么,它的k階標(biāo)準(zhǔn)矩可表示為:

利用變量X的標(biāo)準(zhǔn)矩定義偏度和峰度．偏度即是變量X的3階標(biāo)準(zhǔn)矩距,峰度即是變量X的4階標(biāo)準(zhǔn)矩,可分別表示為:

偏度和峰度分別度量了隨機(jī)變量X以均值為中心分布的對(duì)稱性和尖銳性．當(dāng)序列漸進(jìn)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí),有:S＝0,K＝3．

對(duì)于不含疏失誤差項(xiàng)的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù),為了檢驗(yàn)其是否具有正態(tài)性,給出對(duì)應(yīng)形式的偏度和峰度,分別為:

當(dāng)n→∞時(shí),可以求得:E(S)＝0,Var(S)＝6,E(K)＝3,Var(K)＝24,于是構(gòu)造出JB統(tǒng)計(jì)量如下所示:

由上可知,若網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)序列的JB統(tǒng)計(jì)量漸進(jìn)服從自由度為2的卡方分布,則其是正態(tài)分布的;反之,則是反正態(tài)的．

綜上所述,網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)正態(tài)性檢驗(yàn)的具體步驟為:①提出檢驗(yàn)假設(shè)H0:網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)正態(tài)分布;②構(gòu)造并計(jì)算JB統(tǒng)計(jì)量,即用網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)計(jì)算式(15);③查找卡方分布表,得出臨界值:χ2(2)＝5．991;④比較JB統(tǒng)計(jì)量與臨界值的大小,若χ2＞χ2(2),則拒絕假設(shè)H0,否則接受假設(shè)H0．

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4．1 網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)的測(cè)量

為了分析網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性,首先必須獲得網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)．建立一個(gè)基于校園網(wǎng)應(yīng)用層的測(cè)試平臺(tái)如圖1所示,并從該平臺(tái)上測(cè)得足夠多的時(shí)延數(shù)據(jù)．

選用校園網(wǎng)公用以太網(wǎng),采用TCP/IP協(xié)議檢驗(yàn)系統(tǒng)的延時(shí)特性,并在具有較大的負(fù)載時(shí)測(cè)量．由圖1可知,T1、T1′分別表示客戶機(jī)發(fā)送和接收數(shù)據(jù)延時(shí);T2、T2′分別表示服務(wù)器發(fā)送和接收數(shù)據(jù)延時(shí);T3表示TCP/IP協(xié)議執(zhí)行延時(shí);T4和T5分別表示客戶機(jī)發(fā)送和接收時(shí)以太網(wǎng)的延時(shí)．網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)延時(shí)則可表示為:T＝T1＋T2＋T1′＋T2′＋4T3＋T4＋T5．

在實(shí)驗(yàn)中,客戶機(jī)和服務(wù)器分別采用時(shí)間和事件驅(qū)動(dòng)．客戶機(jī)每0．5 s發(fā)送長(zhǎng)度為36字節(jié)的數(shù)據(jù)包．為了降低軟件延時(shí)的影響,服務(wù)器收到該數(shù)據(jù)包后不予任何處理即返回．因?yàn)閿?shù)據(jù)包中存在時(shí)間標(biāo)簽,當(dāng)返回的數(shù)據(jù)包被客戶機(jī)收到后,將數(shù)據(jù)包中的時(shí)間標(biāo)簽與當(dāng)前時(shí)間相比較,即可計(jì)算出數(shù)據(jù)包延時(shí)．

為保證測(cè)量獲得準(zhǔn)確的數(shù)據(jù),在客戶端的VC程序中調(diào)用Query Performance Frequency()函數(shù)可以獲得計(jì)算機(jī)內(nèi)部的時(shí)鐘頻率f,然后調(diào)用Query Performance Counter()函數(shù),獲得數(shù)據(jù)發(fā)送前的計(jì)數(shù)值n1,當(dāng)客戶機(jī)接收到返回的數(shù)據(jù)后,再次調(diào)用Query Performance Counter()函數(shù),獲得當(dāng)前的計(jì)數(shù)值n2．此時(shí),網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)延時(shí)則可表示為:T＝f(n2－n1)．

4．2 網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)的仿真

通過校園網(wǎng)應(yīng)用層的測(cè)試平臺(tái)獲得了足夠多的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù),在MATLAB中進(jìn)行編程,具體時(shí)延測(cè)量結(jié)果如圖2所示．由圖2可知,測(cè)量數(shù)據(jù)主要分布在0～20 ms之間,極少數(shù)的測(cè)量數(shù)據(jù)超出該范圍．這些數(shù)據(jù)可能是由于某些原因造成的誤差,所以我們假設(shè)大于20 ms的測(cè)量數(shù)據(jù)為疏失誤差,將其剔除后獲得新的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)序列如圖3所示．

對(duì)于剔除疏失誤差項(xiàng)的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)序列平穩(wěn)性的檢驗(yàn),先將該數(shù)據(jù)分為10個(gè)子序列,每個(gè)子序列的長(zhǎng)度均為150．再在顯著性水平α＝0．05下,采用三角窗時(shí)窗函數(shù),計(jì)算式(4),得到:|U|＝≈1．923 3＜1．96,所以接受原假設(shè)．最后可得到結(jié)論:網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)序列是平穩(wěn)的．

周期性檢驗(yàn)時(shí),首先繪出剔除誤差項(xiàng)的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)的功率譜密度函數(shù),觀察它的功率譜密度圖．如果功率譜圖中出現(xiàn)明顯的尖峰現(xiàn)象,表明數(shù)據(jù)中含有很強(qiáng)的周期分量,反之則沒有．校園網(wǎng)絡(luò)的時(shí)延數(shù)據(jù)功率譜密度如圖4所示．由圖4可知,除ω＝0點(diǎn)外,網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)的功率譜密度函數(shù)未出現(xiàn)明顯的尖峰現(xiàn)象,那么,我們認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)序列中不含有周期分量,則不用再對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行去周期項(xiàng)處理．

最后,利用JB檢驗(yàn)法對(duì)網(wǎng)絡(luò)延時(shí)數(shù)據(jù)的正態(tài)性進(jìn)行檢驗(yàn)．仿真獲得該延時(shí)數(shù)據(jù)的偏度約為1．351,峰度約為6．716,χ2≈1 319．299?5．991．比較卡方表獲得結(jié)論:網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)不具有正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)特性．

為了驗(yàn)證本文正態(tài)檢驗(yàn)的有效性,繪出原始網(wǎng)絡(luò)延時(shí)數(shù)據(jù)分布直方圖如圖5所示．由圖5可知,原始的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)主要分布在0～10 ms之間,約85%,其中,分布在0～2 ms、2～4 ms、4～6 ms、6～8 ms分別約為19%、21%、22%、23%,呈現(xiàn)出緩慢上升的趨勢(shì);約14%的數(shù)據(jù)分布在10～16 ms之間,6～8 ms間的數(shù)據(jù)是8～10 ms間的數(shù)據(jù)一倍多;分布在10～12 ms、12～14 ms、14～16 ms間的數(shù)據(jù)分別約為3%、2%、1%,這部分呈現(xiàn)下降的趨勢(shì);剩余的測(cè)量數(shù)據(jù)僅約為1%．從整體上看,圖5所示的直方圖呈不對(duì)稱分布,不符合正態(tài)性對(duì)稱分布的特征．由此,不難發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)不呈正態(tài)分布,證明了JB檢驗(yàn)法檢驗(yàn)結(jié)果的正確性．

5 結(jié)論

對(duì)照時(shí)間序列的分析方法,分析了網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)特性．對(duì)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)序列平穩(wěn)性的分析采用基于譜密度的方法．比較自相關(guān)函數(shù)、偏相關(guān)函數(shù)等平穩(wěn)性判別法,該方法比較客觀;比較單位根等檢驗(yàn)法,該方法的計(jì)算量較?。畬?duì)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)序列周期性的分析采用周期圖的方法．與常用的相關(guān)分析等方法相比,周期圖法不需要計(jì)算序列的自相關(guān)函數(shù),運(yùn)算效率得到了很大提升,且能識(shí)別出數(shù)據(jù)序列中的隱含周期函數(shù)項(xiàng)的周期、幅值與相位．對(duì)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)序列正態(tài)性的分析采用JB檢驗(yàn)法．對(duì)于大樣本檢驗(yàn),JB檢驗(yàn)法具有客觀、運(yùn)算簡(jiǎn)單、檢驗(yàn)結(jié)果精確的優(yōu)點(diǎn)．仿真結(jié)果表明,網(wǎng)絡(luò)時(shí)延數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的、不含有周期項(xiàng)的、反正態(tài)的．同時(shí),文章所述檢驗(yàn)方法也適用于檢驗(yàn)其他大樣本序列．

[1] 郭詩朦．基于時(shí)間序列方法的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延預(yù)測(cè)與改進(jìn)型廣義預(yù)測(cè)控制算法在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的應(yīng)用[D]．北京:北京交通大學(xué),2013．

[2] 孔金生,趙靜．網(wǎng)絡(luò)延時(shí)對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的影響及其控制對(duì)策[J]．河南理工大學(xué)學(xué)報(bào),2006,25(4):310-312．

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[6] 何銳,陳拴發(fā),段冰．基于周期圖法的路面不平度隨機(jī)過程數(shù)值分析[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報(bào),2011,32(4):35-37．

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[8] P Hall,C C Heyde．M artingale Lim it Theory and Its A pplication[M]．New York:Academic Press,1980．

Statistical characteristics of network delay analysis

WU Xu,WEI Li-sheng?
(College of Electrical Engineering,Anhui Polytechnic University,Wuhu 241000,China)

The statistical characteristics of the network delay is researched．In the process of analysis,its stability,periodicity and normality are analysized respectively by the method of constructing statistic based on spectral density,the cycle diagram method and the JB test method．Finally,the delay data is obtained based on the application layer of the campus network．Simulation results show that the data of the network delay is smooth,aperiodic but not in normal distribution．

spectral density;cycle diagram method;JB test

TP273

A

1672-2477(2015)04-0043-06

2015-02-02

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61203033);安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(1208085QF124);國(guó)家大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)基金資助項(xiàng)目(3110201204)

吳 旭(1990-),男,江蘇儀征人,碩士研究生．

魏利勝(1978-),男,安徽廬江人,副教授,碩導(dǎo)．