劉藝昕， 余志先

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

1 問題的提出

研究格上時(shí)滯單種群模型

式中，D，d 分別表示成熟種群的擴(kuò)散系數(shù)和死亡率，D＞0，d＞0；時(shí)滯τ 是此種群的成熟時(shí)間，τ≥0；非線性函數(shù)b（u）為出生函數(shù).

若出生函數(shù)b∈C1（R＋）滿足條件：

（H1）b′（0） ＞d，b′（u ）≥0，?u∈（0 ，K ）有b′（0） u ≥ b （u ）＞du 及?u ∈ （K ，＋∞）有b （u ）＜du；

（H2）b′（K ）＜d 和b（0） ＝dK－b （K ）＝0；

（H3）b′（0）u－b（u）≤Mu1＋v對(duì)于所有u∈（0 ，K ），有M ＞0和v∈（0 ，1］；

（H4）對(duì) 所 有u1，u2∈ （0 ，K ）和L ＞0，｜b′（u1）－b′（u2）｜≤L｜u1－u2｜v.

Ma等［1］在上述條件下，運(yùn)用上下解和單調(diào)迭代的方法得到了行波解的存在性，并進(jìn)一步研究其唯一性和穩(wěn)定性.對(duì)于方程（1），其傳播現(xiàn)象就是研究連接兩個(gè)非負(fù)平衡態(tài)u1＝0 與u2＝K ＞0的行波解un（t）＝U（n＋ct）的存在性，其中，U（ξ）滿足

和邊界條件

根據(jù)文獻(xiàn)［1］的結(jié)果可知，這個(gè)行波解的指數(shù)漸近行為是僅當(dāng)c＞c＊時(shí)被給出，而行波解的唯一性是在漸近條件下得到的.很自然地，會(huì)考慮下面的問題：當(dāng)c＝c＊時(shí)，行波的漸近行為是怎樣的，本文不僅會(huì)回答這些問題，而且得到了當(dāng)c≥c＊時(shí)，所有非負(fù)行波解的漸近行為.為了說明結(jié)論，將假設(shè)條件（H3′）：b∈C2（［0 ，K ］）替 代（H3）和（H4）.易 見b∈C2（［0 ，K ］）蘊(yùn)含（H3）和（H4）成立.

a. 如 果c ≥c＊，與存在.

b.如果c＝c＊，存在正數(shù)一個(gè)λ1（c＊），使得和存在，其中，λ1（c＊）是Δ （λ ，c） ＝cλ－D［eλ＋e－λ－2］的二重根.

在定理1中，得到了c＝c＊時(shí)的行波解的漸近行為，因此，完善了文獻(xiàn)［1］中的結(jié)果.在文獻(xiàn)［1］中，作者僅給出了存在某行波解滿足漸近行為，在本文的結(jié)果中，指出所有的行波解具有指數(shù)漸近行為.

2 行波解的漸近性

Ikehara定理的漸近理論在文獻(xiàn)［7］中用來確定非局部擴(kuò)散系統(tǒng)行波解的漸近行為，可參見文獻(xiàn)［8－13］.現(xiàn)將通過Ikehara定理的漸近理論來判定行波解的指數(shù)漸近行為.首先敘述如下Ikehara定理的漸近理論.

引理1［7］令是一個(gè)正的單調(diào)遞減函數(shù).假設(shè)l（ ）λ 可表示為，且e（λ ） 在－α≤Reλ＜0上是解析的，其中，k≥－1，則

由 遞 推 法，對(duì) 所 有 的 m ∈ ?＋，得 到，這 與U （－ ∞）＝0 矛 盾，因 此，U（ξ） ＜K，ξ∈?.

其次，證明U（ξ） ＞0，ξ∈?.如果存在ξ2，使得，那么，它是一個(gè)最小值，且0.由方程（2），有，這表明了.由遞推法，可以得到U（ξ2＋m）＝0，對(duì)所有的m∈?＋，這與U（＋∞）＝K 矛盾，于是，U（ξ） ＞0，ξ∈?.

引理4 假 設(shè)（H1），（H2）和（H3′）成 立，另 外，對(duì)ξ∈?，U（ξ）是非負(fù)的，則?ξ∈?，.

根據(jù)Lebesgue的控制收斂定理，當(dāng)η→－∞時(shí)，有

并且

對(duì)不等式（4）從－∞到ξ 進(jìn)行積分，再根據(jù)式（5）和式（6），對(duì)任何ξ＜ξ′，有

引理5 假設(shè)引理4的條件成立，那么，存在一個(gè)正的常數(shù)γ，有并且.

通過引理4的證明過程和對(duì)不等式（7）從－∞到ξ 進(jìn)行積分，有

因此

因?yàn)?，V（ξ） 是非負(fù)的，得到

事實(shí)上，對(duì)任何的r＞0和ξ＜ξ′，由不等式（9）可以得到

因此，存在r0＞0和，使得.

由于h（ξ） 對(duì)所有ξ∈［ξ′－r0，ξ′］是有界的，那么，不等式（10）表明了對(duì)任何ξ≤ξ′，h（ξ） 是有界的，即當(dāng)ξ→－∞時(shí)，

引理5表明，當(dāng)0＜Reλ＜γ 時(shí)，

現(xiàn)證明定理1.

因?yàn)?/p>

所以

由引理2，當(dāng)ξ→－∞時(shí)，得到

在方程（11）中的右邊對(duì)于λ 在0＜Reλ＜2γ是有定義的.現(xiàn)在運(yùn)用文獻(xiàn)［14］中的Laplace變換的性質(zhì).因?yàn)?，，存在一個(gè)正常數(shù)κ，使得對(duì)于0＜Reλ＜κ，L（λ ） 是解析的，并且L（λ ） 有一個(gè)奇點(diǎn)在λ＝κ.因此，當(dāng)在0＜Reλ＜λ1（c） 上是有定義的.

考慮c≥c＊和.改寫方程（11）為

和

和對(duì)c＝c＊，有

因此，對(duì)于c＞c＊，有

類似可以證明，當(dāng)c＝c＊時(shí)結(jié)論也成立.所以，定理1得證.

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