江昌龍

（黃山學(xué)院 信息工程學(xué)院，安徽 黃山245041）

0 引 言

文獻(xiàn)[1]研究了一種稱作為帶有V型槽的超聲波電容傳感器，傳感器如圖1（a），傳感單元如圖1（b）所示的，圖中是放大后的尺寸，實(shí)際尺寸是在微米數(shù)量級(jí)的。此傳感器的傳感單元通過發(fā)射超聲波并接收反射波，通過時(shí)間差來對(duì)障礙物的距離計(jì)算和定位，發(fā)射和接收超聲波的時(shí)候，都是要通過介質(zhì)膜片的振動(dòng)來實(shí)現(xiàn)的，而膜片的振動(dòng)是由傳感器中兩電極之間的電場(chǎng)變化引起的。在傳感器的設(shè)計(jì)中為提高靈敏度和精度需要知道對(duì)傳感器傳感單元包括電容、電極電荷密度等在內(nèi)的靜電場(chǎng)的精確計(jì)算，才能對(duì)膜片的振動(dòng)彎曲作出正確的分析計(jì)算，為設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

圖1 靜電超聲傳感器模型及傳感單元結(jié)構(gòu)

對(duì)傳感器實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果[2]表明，理論計(jì)算還遠(yuǎn)沒有達(dá)到要求。在各種理論計(jì)算方法中[3-4]，文獻(xiàn)[4]采用了平面極坐標(biāo)系下的分離變量法計(jì)算該傳感器單元的靜電容，雖然分析了傳感單元內(nèi)實(shí)際電場(chǎng)、電荷分布的特點(diǎn)，但是該算法計(jì)算氣隙部分的頂角處的電容時(shí)取的是一個(gè)扇形半徑，這對(duì)于電荷集中的“脊”部分電容誤差是很大的。為探討更好更有說服力的電容計(jì)算，本文通過保角變換法[5]給出另一種算法。

1 問題模型

分析圖1（b）中傳感器傳感單元的電場(chǎng)及電荷分布特點(diǎn)，在“脊”部分場(chǎng)強(qiáng)和電荷分布密度都比較大，而在氣隙中間部分場(chǎng)強(qiáng)和電荷分布密度都比較小，如圖2所示，并建立復(fù)平面z平面。為計(jì)算該傳感器傳感單元的靜電容，考慮到傳感單元的對(duì)稱性，取一半作為研究對(duì)象。設(shè)電介質(zhì)厚度為h，電介質(zhì)介電常數(shù)為εr(εr＞1)，將其做等效處理，即等效為空氣的厚度為h/εr。由于兩電極之間電介質(zhì)比較薄，所以在傳感器傳感單元的“脊”部分可看作是平行板電容器，剩余部分是一個(gè)梯形電容器，整個(gè)傳感器單元相當(dāng)于這兩部分電容并聯(lián)，如圖3所示，整個(gè)傳感單元的總電容為

圖2 傳感單元電場(chǎng)電荷分布特點(diǎn)

2 求解計(jì)算

設(shè)傳感單元的幾何尺寸標(biāo)注在圖3當(dāng)中，其中a=h/εr。平行板電容器EFGH單位長度的電容很好計(jì)算，計(jì)算式為，現(xiàn)在主要是梯形電容器ABCD的電容計(jì)算，根據(jù)形狀特點(diǎn)，我們做如下幾種形式的保角變換。

圖3 傳感單元電容分解

在梯形電容器ABCD的截面內(nèi)，以兩極板CD和BA的延長線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O'，以極板DC的方向?yàn)閥'軸，以垂直極板DC的方向?yàn)閤'軸，從而建立一個(gè)復(fù)平面z'平面，如圖4所示。從z平面到z'平面的坐標(biāo)變換關(guān)系為

圖4 復(fù)平面坐標(biāo)系

作第一次變換

將z平面的梯形區(qū)域變換到ζ1平面的下半平面，如圖5所示，被變換的區(qū)域在圖5中用陰影部分表示。4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)變換到：A1(-4a4)，B1(-4(a+b)4)，C1((a+b)4)，D1(a4)

在ζ1平面內(nèi)的兩極板之間的區(qū)域還是不方便求解，我們需要將電場(chǎng)區(qū)域變成一個(gè)圓環(huán)，也就是要使同一條電場(chǎng)線在各位置處的極徑相等，為此再作第二次變換

變換式中θ1為ζ1平面內(nèi)各點(diǎn)的極角，θ為z平面內(nèi)各點(diǎn)的極角。如圖6所示，在ζ2平面內(nèi)4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：A2(-a4)，B2(-(a+b)4)，C2((a+b)4)，D2(a4)

這樣的話就將兩極板之間的電場(chǎng)區(qū)域變?yōu)橐粋€(gè)半圓環(huán)區(qū)域。最后再作變換

圖5 第一次保角變換

圖6 第二次保角變換

將ζ2平面內(nèi)的圓環(huán)區(qū)域的電場(chǎng)變換到ζ 平面內(nèi)的平行板區(qū)域A3B3C3D3，A3B3C3D3相當(dāng)于一個(gè)平行板電容器，如圖7所示。4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)：A3(4lna,π)，B3(4ln(a+b)，π)，C3(4ln(a+b)，2π)，D3(4lna，2π)

圖7 第三次保角變換

綜合（3）、（4）、（5）3個(gè)式子得到總變換：

將（6）式分開表示為

由（2）式，得圖4中的坐標(biāo)系O'x'y'與圖2中的坐標(biāo)系Oxy之間的坐標(biāo)變換關(guān)系為

將其代入（7） 得到ζ 平面與z平面的坐標(biāo)變換式：

3 結(jié) 果

3.1 電容的計(jì)算

平行板電容器A3B3C3D3的電場(chǎng)只集中在兩平板之間的區(qū)域，沒有邊緣效應(yīng)。由于保角變換不改變電容，故原梯形電容器在其單位長度上的電容為：

這樣整個(gè)傳感器單元的總電容：

這個(gè)結(jié)果與文獻(xiàn)中[4]的結(jié)果是一致的。

3.2 電勢(shì)和電場(chǎng)的計(jì)算

由平板電容器的電勢(shì)分布并結(jié)合（8）式得到梯形電容器ABCD在Oxy坐標(biāo)系中電勢(shì)分布和電場(chǎng)分布：

電勢(shì)為u的等勢(shì)線方程：

各點(diǎn)總場(chǎng)強(qiáng)大小：

位置x0處的電場(chǎng)線方程：由得(a+b+x)2+y2=(a+b+x0)2

3.3 極板電荷密度的計(jì)算

極板電荷密度：

[1]葛立峰.微氣隙結(jié)構(gòu)靜電超聲傳感器的理論模型[J].科學(xué)通報(bào)，1997，42（22）：2387-2390。

[2]PenttiMattila，F(xiàn)abio Tsuzuki，Heli ??t?j?，and Ken Sasaki，Eleetroaeoustic Model for Electrostatic Ultrasonie Transdueers with V -Grooved BackPlates [J]，IEEE transactions on ultrasonies，F(xiàn)erroelectries and frequeney control，1995，42（1）：1-7.

[3]Li-Feng Ge，Eleetrostatic airborne ultrasonic transdueers:modeling and charaeterization [J]，IEEEtransactions on ultrasonics，ferroeleetriesand frequeney control，1999，46 （5）：1120-1127.

[4]操文祥.V型槽靜電超聲傳感器靜電場(chǎng)不均勻性研究[J].傳感器世界，2006(3)：6-8。

[5]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1998：423-458.