盧維學(xué),楊世娟

（黃山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 黃山245021）

1 引 言

財(cái)政收入表現(xiàn)為政府部門在一定時(shí)期內(nèi)所取得的貨幣收入，是政府為履行其職能、實(shí)施公共政策和提供公共服務(wù)的需要而籌集的一切資金的總和。財(cái)政收入與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)之間的關(guān)系是宏觀經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的重要問(wèn)題之一。一般而言，經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)會(huì)帶動(dòng)財(cái)政收入的增長(zhǎng)。我國(guó)要想保持財(cái)政收入穩(wěn)定增長(zhǎng)，必須鼓勵(lì)、支持和引導(dǎo)大中小企業(yè)的發(fā)展，增加稅源。然而，財(cái)政收入并非越多越好，不協(xié)調(diào)的財(cái)政收入會(huì)抑制經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)，只有具備與經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展的財(cái)力，政府才能更好的履行其職能，提供更多的公共服務(wù)，改善經(jīng)濟(jì)發(fā)展所需的硬件設(shè)施，從而促進(jìn)經(jīng)濟(jì)又好又快地發(fā)展。毋庸置疑，分析財(cái)政收入與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)之間的定量關(guān)系對(duì)財(cái)政政策的制定具有較高的參考價(jià)值。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)眾多學(xué)者從理論和實(shí)證分析上對(duì)財(cái)政收入與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)之間的關(guān)系進(jìn)行了研究和探索。研究思路主要有：

1.利用因素分析法[1]直接建立二者間的回歸模型，如賈繼花[2]綜合利用因素分析法和回歸分析法,對(duì)山東省財(cái)政收入與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)之間的關(guān)系作了詳細(xì)分析；

2.利用協(xié)整理論[3]建立財(cái)政收入與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的長(zhǎng)期均衡模型來(lái)分析二者的長(zhǎng)期變動(dòng)關(guān)系，如吉亞輝、朱正取[4]通過(guò)分析甘肅省1978-2006年的財(cái)政收入和GDP的變動(dòng)趨勢(shì)，建立二者間的協(xié)整和誤差修正模型。

以上兩種思路主要都是事先設(shè)定模型形式，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，從而建立二者間的關(guān)系。事實(shí)上這兩種思路所建立的模型都是參數(shù)回歸模型。但參數(shù)回歸模型建立的前提是各項(xiàng)假設(shè)條件都要成立，隨機(jī)誤差為正態(tài)分布等，若模型及參數(shù)的假定條件與實(shí)際背離，那么推斷與預(yù)測(cè)就會(huì)有較大的偏差，擬合效果會(huì)很差。而非參數(shù)回歸所需的假定條件要弱得多，不需要事先設(shè)定函數(shù)形式，且模型約束較少，對(duì)解釋變量和響應(yīng)變量的分布形式?jīng)]什么限制。因此，非參數(shù)回歸具有更大的適應(yīng)性，尤其在解釋變量與響應(yīng)變量的函數(shù)關(guān)系形式不確定時(shí)。本文將采用非參數(shù)回歸建立我國(guó)財(cái)政收入與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)之間的關(guān)系。

2 非參數(shù)回歸模型

2.1 模型介紹

這里主要考察d=1，X為非隨機(jī)的情形。設(shè)從總體(X,Y)中隨機(jī)抽取一組樣本(X1,Y1)，(X2,Y2)，…(Xn,Yn)，記εi(i=1,2…n)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)波動(dòng)項(xiàng)，且滿足E(εi)=0,Var(εi)=δ2＜+∞，此時(shí)的回歸模型為：

當(dāng)m(x)的函數(shù)形式已知，僅需估計(jì)函數(shù)中未知參數(shù)時(shí)，此時(shí)為參數(shù)回歸模型。不假設(shè)m(x)是某種函數(shù)形式，是對(duì)一般函數(shù)類型進(jìn)行討論，構(gòu)造回歸函數(shù)m(x)的估計(jì)量。

2.2 權(quán)函數(shù)估計(jì)

權(quán)函數(shù)在核估計(jì)[5]中起光滑的作用，即消除擾動(dòng)的隨機(jī)因素，使所得曲線反映變量之間的實(shí)際經(jīng)濟(jì)關(guān)系。對(duì)于給定的樣本(X1,Y1)，(X2,Y2)，…(Xn,Yn)，權(quán)函數(shù)估計(jì)就是對(duì)回歸函數(shù)m(x)進(jìn)行估計(jì)，設(shè)Wni(x)=Wni(x;X1,X2,…Xn)是依賴于x和X1,X2,…Xn的函數(shù)，則m(x)的非參數(shù)回歸估計(jì)量m＾n(x)可表示成下述形式：

其中Wni(x)稱為權(quán)函數(shù)，滿足=1。權(quán)數(shù)Wni(x)利用了解釋變量的信息，且由解釋變量的數(shù)值來(lái)確定每個(gè)Yi的權(quán)數(shù)的大小。

2.3 N-W核權(quán)函數(shù)回歸估計(jì)

核估計(jì)是權(quán)函數(shù)估計(jì)的一種方法，在于找到核權(quán)函數(shù)作為(3)中的權(quán)函數(shù)。最常見(jiàn)的是Nadaraya和Watson在1964年提出的一類核權(quán)函數(shù)回歸估計(jì)。設(shè)f(x)是X的密度函數(shù)，f(x,y)是X、Y的聯(lián)合密度函數(shù)，f(y|x)=f(x,y)/f(x)為給定X=x條件下Y的密度函數(shù)，則有

記hx=＾hn，權(quán)重，可以看出Wni(x)取值只與X的分布有關(guān)，稱m＾n(x)為N-W估計(jì)。則Nadaraya-Watson核權(quán)函數(shù)回歸估計(jì)表達(dá)式為：

在此，核函數(shù)選擇標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)，

2.4 窗寬的選擇

N-W核權(quán)函數(shù)回歸估計(jì)的核心問(wèn)題就是窗寬的選擇。一方面窗寬越大,核估計(jì)的方差會(huì)變小,但同時(shí)核估計(jì)的偏差也會(huì)增大，導(dǎo)致密度曲線估計(jì)過(guò)于平滑，失去某些細(xì)節(jié)；另一方面,窗寬越小,核估計(jì)的偏差越小,但同時(shí)核估計(jì)的方差也會(huì)變大，導(dǎo)致密度曲線估計(jì)線欠平滑,產(chǎn)生不規(guī)則估計(jì)。因此，選擇恰當(dāng)?shù)拇皩捠荖-W核權(quán)函數(shù)回歸估計(jì)的關(guān)鍵。

實(shí)際應(yīng)用中，選擇窗寬的方法主要有經(jīng)驗(yàn)法則（Rule of thumb）、直接插入法（direct plug in,DPI）、最小平方交叉實(shí)證法 （Least-squares crossvalidation,CV）和懲罰函數(shù)法（penalizing function）。

交叉實(shí)證法[6]是由Stone在1974年提出的，其基本思想是留下一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為估計(jì)的核實(shí)數(shù)據(jù)，而利用剩下的所有點(diǎn)來(lái)估計(jì)并建立模型，即在每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)x=Xi，首先，在樣本中剔除觀測(cè)值點(diǎn)(Xi,Yi)，用剩余的n-1個(gè)點(diǎn)在x=Xi處進(jìn)行核估計(jì)：（其中,最后，在平均平方誤差（ASE）值達(dá)到的最小條件下選擇合適的窗寬hn，即使(Xi)]2最小的hn就是最佳的窗寬。本文試圖采用最小平方交叉實(shí)證法（CV）和經(jīng)驗(yàn)選擇方法，根據(jù)擬合效果綜合考慮優(yōu)劣來(lái)選擇合適的窗寬。

3 實(shí)證分析

3.1 樣本的選定

選取1978-2013年我國(guó)財(cái)政收入與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)數(shù)據(jù)，來(lái)源于《2014年中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》。在具體變量選擇上，財(cái)政收入使用財(cái)政收入指標(biāo)，經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)指標(biāo)則采用國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值。以1978年數(shù)據(jù)作為基期，算出財(cái)政收入增長(zhǎng)率（FinanceRate）和GDP增長(zhǎng)率（GDPRate）。從財(cái)政收入增長(zhǎng)率和GDP增長(zhǎng)率隨時(shí)間變化的趨勢(shì)圖（圖1）發(fā)現(xiàn)：二者各自隨時(shí)間變化的規(guī)律不明顯；在整體上，二者變化波動(dòng)幅度不同且波動(dòng)時(shí)效不一致，GDP增長(zhǎng)率的變化總是快于財(cái)政收入增長(zhǎng)率，但二者基本上是同向變動(dòng)的，首先明確兩者間確實(shí)存在某種關(guān)系。

用GDP增長(zhǎng)率解釋財(cái)政收入增長(zhǎng)率，建立二者之間的參數(shù)回歸方程與非參數(shù)回歸方程，目的在于將兩種方法進(jìn)行對(duì)比。數(shù)據(jù)處理運(yùn)用Eviews5.0和R軟件。

圖1 財(cái)政收入增長(zhǎng)率與GDP增長(zhǎng)率時(shí)間變化趨勢(shì)圖

3.2 模型建立與求解

3.2.1 參數(shù)回歸模型

首先，采用普通最小二乘法（OLS）建立國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)率 （GDPRate） 與財(cái)政收入增長(zhǎng)率（FinanceRate）的線性回歸方程：

從方程系數(shù)的顯著性πi 檢驗(yàn)看，各項(xiàng)系數(shù)的πi值均大于臨界值1.695，故系數(shù)是顯著的；從方程整體顯著性F檢驗(yàn)看，其P-Value=0.007331＜0.05，應(yīng)拒絕原假設(shè)，故方程的線性關(guān)系是顯著成立的。但可決系數(shù)R2很小，說(shuō)明方程擬合數(shù)據(jù)的程度不高，這也可以從二者的散點(diǎn)圖（圖2）看出。

圖2 財(cái)政收入增長(zhǎng)率與GDP增長(zhǎng)率的散點(diǎn)圖及線性回歸擬合

3.2.2 非參數(shù)回歸N-W核估計(jì)模型

由圖2可以看出財(cái)政收入增長(zhǎng)率與GDP增長(zhǎng)率之間不具有明確的線性關(guān)系，也沒(méi)有確定的函數(shù)關(guān)系。故采用非參數(shù)估計(jì)方法建立財(cái)政收入與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的回歸模型，并將其與參數(shù)回歸模型（6）進(jìn)行比較。在（5）式中令x為GDP增長(zhǎng)率，y為財(cái)政收入增長(zhǎng)率。由此得到y(tǒng)關(guān)于x的N-W核權(quán)函數(shù)回歸：

上式中核函數(shù)K(·)取標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)。由交叉實(shí)證法得出的窗寬hn=3.045629，從圖3可以看出此窗寬下的N-W核權(quán)函數(shù)回歸大致能擬合分散的各點(diǎn)，但擬合曲線比較光滑，對(duì)某些細(xì)節(jié)解釋不充分。根據(jù)散點(diǎn)圖及經(jīng)驗(yàn)方法，取窗寬為1.98和1.67，從圖3看這兩個(gè)窗寬值下的回歸曲線擬合效果比交叉實(shí)證法得到的回歸曲線效果要好，綜合考慮后窗寬h=1.98。圖4將線性回歸直線與非參數(shù)回歸所得的曲線放在同一坐標(biāo)軸上，便于觀察并得出結(jié)論。

圖3 非參數(shù)回歸估計(jì)擬合圖

圖4 線性回歸與非線性回歸效果比較圖

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)1978-2013年我國(guó)財(cái)政收入增長(zhǎng)率與國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)的關(guān)系研究，可以發(fā)現(xiàn)二者同增同減，確實(shí)存在某種關(guān)系，但線性關(guān)系不明顯。從線性回歸模型和非參數(shù)回歸模型的分析結(jié)果看出GDP增長(zhǎng)率對(duì)財(cái)政收入增長(zhǎng)率的影響在經(jīng)濟(jì)發(fā)展的不同時(shí)期有不同的特點(diǎn)，并非簡(jiǎn)單的線性模型能解釋清楚，非參數(shù)回歸模型的擬合效果要優(yōu)于線性回歸。這是因?yàn)橛闷胀ㄗ钚《朔ü烙?jì)要符合嚴(yán)格的假定，而影響財(cái)政收入增長(zhǎng)率波動(dòng)性的因素很多。核估計(jì)的方法取決于數(shù)據(jù)本身及它們的參與程度，不需要嚴(yán)格的假設(shè)條件限制，故有更廣泛的應(yīng)用空間。

[1]李竹渝,魯萬(wàn)波,龔金國(guó).經(jīng)濟(jì)、金融計(jì)量學(xué)中的非參數(shù)估計(jì)技術(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2006:98-178.

[2]賈繼花.財(cái)政收入與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)相關(guān)關(guān)系的分析[J].山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2002(4):34-38.

[3]湯銀才.R語(yǔ)言與統(tǒng)計(jì)分析[M]，北京：高等教育出版社,2008:229-271.

[4]吉亞輝,朱正取.甘肅省財(cái)政收入與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的實(shí)證分析[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào),2009(3)：129-132.

[5]徐靜,張瑛.非參數(shù)回歸的核估計(jì)法在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用[J].科技信息,2008(25):189-190.

[6]李艷娟.核估計(jì)量與窗寬選擇[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào),2006(6):478-480.