☆謝登峰 唐劍嵐

（廣西師范大學數學與統(tǒng)計學院，廣西桂林541004）

運用幾何畫板提效解題教學*——以動態(tài)幾何題中重疊圖形面積的計算為例

☆謝登峰 唐劍嵐

（廣西師范大學數學與統(tǒng)計學院，廣西桂林541004）

動態(tài)幾何題是中考的熱點題型，“動”已成為中考眩目的亮點。但由于動態(tài)幾何題的教學難度較大，學生往往十分畏懼解答這類題型，教師在教學解題思路時也受到限制。而幾何畫板具有數學視覺化和動態(tài)化的功能，能夠提升此類問題的教學效果，有助于培養(yǎng)學生的分析能力和想象能力。本文以動態(tài)幾何題中重疊圖形面積的計算為例，探討利用幾何畫板如何提升解題教學的效率。

幾何畫板；數學解題；動態(tài)幾何題；重疊圖形

一、多元表征，效果涇渭分明

重疊圖形面積的計算問題，知識綜合性強，條件不明顯，結構相對復雜。采用傳統(tǒng)教學方式對此類問題條件的標注和推理過程的呈現比較死板而滯后，且展示效果模糊，不利于反復呈現。而利用幾何畫板的標注、動畫、移動、軌跡功能，不僅可以鮮明表征各種條件、結論，還可以動態(tài)顯示各種數量關系，表征方式多樣，顯示效果突出。

例1：如圖1，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3 3，點P是邊BC上的動點（點P不與點B，點C重合），過點P作直線PQ∥BD，交CD邊于Q點，再把△PQC沿著動直線PQ對折，點C的對應點是R點，設CP的長度為x，△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y。

（1）求∠CQP的度數；

（2）當x取何值時，點R落在矩形ABCD的AB邊上；

（3）①求y與x之間的函數關系式；

②當x取何值時，重疊部分的面積等于矩形面積的7/27。

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圖1　

此題涉及圖形的運動、軸對稱、直角三角形、二次函數等數學知識。解決此題的突破點是把軸對稱問題化歸為運動問題，難點是尋找Rt△QRP與矩形ABCD重疊部分圖形形狀變化的臨界點。根據題意，需要作出Rt△QCP的軸對稱圖形Rt△QRP。在傳統(tǒng)教學方式中，教師使用尺規(guī)作圖法，不僅耗費時間，而且不便于展示Rt△QRP的多種可能性，為尋找圖形變化的臨界點，教師一般會頻繁提示，不斷重復，造成了課堂的低效。而使用幾何畫板，教師通過簡單操作就可以動態(tài)展示圖形臨界情況，并且通過屬性設置，還可以用顏色區(qū)分變化前后的圖形。使用多種表征方式刺激學生的視覺，增強了區(qū)分度，顯示效果更加形象生動。

如圖2、圖3所示，根據題意構造矩形ABCD，AB=9，AD=3 3。構造線段CB邊上的動點P，點P為主動點。過點P作PQ平行DB，雙擊PQ，作出點P關于PQ的反射點R，很便捷地作出Rt△QCP的軸對稱圖形Rt△QRP，拖動點P，不同的位置形象地體現了折疊的各種可能性。

圖2　

圖3　

圖4　

學生能較直觀地看到圖形變化的分界點，從而促進學生逆向思考分界點的位置，再通過計算可快速得出自變量的取值范圍為0＜x≤2 3和2 3＜x＜3 3。

相比傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖法的教學，使用幾何畫板能更容易地找到動點P的臨界點，再通過度量此時線段CB的長度，可以輕松估算出x的值，還可以通過設置臨界點前后圖形的不同顏色，使呈現的畫面效果涇渭分明。

二、“無”中生“有”，結論如影隨形

重疊圖形的面積計算問題涉及運動、軌跡、函數、最值、方程等較為抽象、復雜的概念，各概念間的關系也較為含蓄。傳統(tǒng)處理方法常常力不從心，而幾何畫板的合理應用，能做到“無”中生“有”，直觀揭示隱含條件，并能使多元隱匿的關系直觀化、動態(tài)化、明朗化，幫助學生全面地理解題意。

例2：如圖4所示，菱形ABCD的邊長為6cm，∠B= 60°。從初始時刻開始，點P、Q同時從A點出發(fā)，點P以1cm/s的速度沿A→C→B的方向運動，點Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D的方向運動，當點Q運動到D點時，P、Q兩點同時停止運動，設P、Q運動的時間為x秒時，△APQ與△ABC重疊部分的面積為y平方厘米。

（這里規(guī)定：點和線段是面積為O的三角形）解答下列問題：

（1）點P、Q從出發(fā)到相遇所用時間是幾秒？

（2）點P、Q從開始運動到停止的過程中，當△APQ是等邊三角形時x的值是幾秒？

（3）求y與x之間的函數關系式。

本題涉及到圖形運動、面積重疊、直角三角形、相似三角形、函數等相關知識，包含動點P、Q的相遇時間、等邊三角形出現的階段、分段函數的三種位置關系等結論。如果教師僅憑板書、尺規(guī)作圖等方法講解，在短時間內難以讓學生發(fā)現這些結論。而使用幾何畫板可以輕松彌補以上短板。

如圖5、圖6、圖7、圖8所示，通過拖動點Q，引導學生直觀感知點P和Q隨著時間x的增加在C點相遇，從而易知時間相同，用點P的路程除以速度輕松算出時間為6秒；繪制點Q的軌跡，使點Q運動軌跡隨時顯現，從圖6、圖7的圖像中可以清晰發(fā)現重疊面積的變化經歷了三個過程，自變量x的取值區(qū)間分別是0≤x≤3、3＜x＜6、6≤x≤9，并且面積y的函數解析式也是不同的。

如圖8，點Q在ABC運動時，可以看到∠PAQ始終小于60°，只有當6＜x≤9時，才會出現角∠PAQ=90°的情況。形象的動畫可以直指問題核心，幾何畫板讓畫面真正動起來，避免了死板的作圖和分析，可以大大節(jié)省講授時間，學生也容易理解，大大地提高了課堂效率。

圖5　

圖6　

圖7　

圖8　

三、“動”“靜”結合，感悟數學思想

數學課程標準實施后，數學的思想和方法成為了數學課程的重要內容，為了加強數學思想方法的教學，必須創(chuàng)設思想方法教學的條件。利用傳統(tǒng)方法進行數學思想方法的教學時，總會遇到較多困難，如作圖低效、畫面單調晦澀，不能激發(fā)學生的興趣等。而利用幾何畫板進行教學，不僅可以創(chuàng)設數學思想方法教學的環(huán)境（如數形結合），充分展示數學的思想與方法，揭示數學規(guī)律，把握數學的精髓，更容易讓學生感悟問題中蘊含的豐富的數學思想［2］。

例3：如圖9，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°。點E、F同時從B點出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動。已知F點移動速度是E點移動速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG。設E點移動距離為x（x＞0）。

（1）△EFG的邊長是____（用含有x的代數式表示），當x=2時，點G的位置在____；

（2）若△EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y，求：

①當0＜x≤2時，y與x之間的函數關系式；

②當2＜x≤6時，y與x之間的函數關系式；

（3）探求（2）中得到的函數y在x取何值時，存在最大值，并求出最大值。

圖9　

圖10　

如圖10所示，拖動點F，度量線段BE的長度即自變量x的值，當值是2cm時，從圖形上看出點G與點D重合，通過推理計算得出答案，體現了數形結合和一般到特殊的思想。通過動畫演示，可以看出重疊部分圖形面積的變化，依次經歷了等邊三角形→四邊形→30°角的直角三角形三個過程，逆向思考可以得出需要分三類情況討論，度量和計算驗證可以得出自變量x的范圍分別是0＜x≤2、2＜x＜3、3≤x≤6三種情況，體現了運動與變化的思想，分類討論的思想等。

如圖11，利用幾何畫板追蹤動點E的運動軌跡功能，可以發(fā)現重疊部分面積是由小到大再變小，存在最大值，從坐標系可以清晰看到當自變量2＜x＜3時，有最大值。用兩個三角形面積之差表示重疊部分的四邊形的面積，列出二次函數，求出最值。此題體現了運動與變化的思想、數形結合思想、函數思想等。

圖11　

此類題目蘊含運動與變化的思想、一般到特殊的歸納思想、化歸思想、數形結合思想、函數與方程的思想、分類討論的思想等。傳統(tǒng)的教學模式囿于作圖過程繁瑣、表現形式單一等因素的限制，難以吸引學生的注意力，反而成為學生形象思維發(fā)展到抽象思維的羈絆。而幾何畫板可以動態(tài)演示變化過程，追蹤軌跡，展示靜態(tài)圖像，動靜結合，相得益彰，學生更易于在數形結合中感悟豐富的數學思想。

總之，平面幾何圖形重疊圖形面積計算問題具有較多難點，恰當應用幾何畫板，不僅可以輕松突破這些難點，還可以促進學生從元分析的視角理解和應用有關知識解決問題［3］。另外，根據筆者多年教學的經驗，學生更喜歡使用幾何畫板這種有“科技含量”的課堂，更樂于參與這樣的教學活動，所以，幾何畫板是高效課堂不可缺少的“利器”。

［1］唐劍嵐.計算機輔助數學教學原理與實踐［M］.北京：清華大學出版社，2012：33.

［2］邢方.多媒體信息表征呈現形式對學習效果的影響研究［J］.中小學信息技術教育，2014，（15）：130-131.

［3］王麗娜.元分析視角：支持數學問題解決的技術工具研究［J］.中小學信息技術教育，2015，（12）：65-68.

［4］王波.用幾何畫板的軌跡功能探討數學問題的解法［J］.數學通報，2008，（11）：19-22.

［5］歐慧謀.動態(tài)視覺化技術及其對數學概念教學的作用［J］.中國教育技術裝備，2011，（27）：37-39.

*本文是2013年度廣西高等教育教學改革工程項目（2013JGZ113）、廣西教育科學“十二五”規(guī)劃廣西普通高中課程改革專項課題（2013ZJJ048）的部分成果。

［編輯：陳鉞］

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1671-7503（2015）21-0057-03