李海洪，岳 林，王德友，胡 偉，王 磊

（1.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，南京210016；2.中航工業(yè)沈陽發(fā)動機(jī)設(shè)計(jì)研究所，沈陽110015）

0 引言

20世紀(jì)30年代以來，國內(nèi)外學(xué)者一直在研究可靠的葉片振動測量技術(shù)，并取得了一定的成果。該技術(shù)主要包括接觸式和非接觸式測量方法，前者為電阻應(yīng)變片法，但該方法所測葉片數(shù)目有限，難以做到實(shí)時監(jiān)測同級的所有葉片的振動情況；基于葉尖定時方法的非接觸旋轉(zhuǎn)葉片測振技術(shù)克服了傳統(tǒng)應(yīng)變片法安裝復(fù)雜、可靠性低、壽命短等缺點(diǎn)，廣泛地應(yīng)用于葉片模態(tài)分析、故障診斷及預(yù)測等領(lǐng)域，但是常用的葉尖定時方法[1]基于葉片單自由度(single-dof)模型，實(shí)際采集的現(xiàn)場數(shù)據(jù)含有大量噪聲且葉片間可能存在失諧[6]和耦合[7]。其中耦合包括氣動[8]和機(jī)械耦合[10]，由護(hù)罩阻尼、氣動阻尼、葉盤阻尼以及葉片和葉盤之間的相互作用產(chǎn)生。

由于失諧和耦合的影響[11]，激勵了所有組件的模態(tài)，會使每個共振區(qū)出現(xiàn)多個不同值的振動峰，所以實(shí)際葉片振動是非常復(fù)雜的多自由度系統(tǒng)。當(dāng)耦合振動數(shù)據(jù)的2個振動峰相隔較近時，用基于單自由度模型的分析方法辨識耦合數(shù)據(jù)只能選取1個峰進(jìn)行曲線擬合，可能由于選取的共振區(qū)域不完整而影響曲線擬合結(jié)果的精確度。如果選取2個峰進(jìn)行單自由度曲線擬合，只能擬合其中的1個峰，無法同時辨識2個峰的振動參數(shù)。而曲線擬合結(jié)果誤差大小，直接影響后面葉尖定時算法的參數(shù)辨識的精確度。因此，上述方法不適用。為了同時精確識別相鄰2個峰的振動參數(shù)需要建立至少2自由度（2-dof）葉片振動模型[14]，進(jìn)行曲線擬合。

本文采用基于2自由度模型的曲線擬合方法，得到葉片耦合振動2個峰的初始相位等參數(shù)，用相位遍歷法辨識出葉片的振動階次和頻率。

1 葉尖定時耦合振動辨識算法原理

歐陽濤[15]對基于單自由度的葉尖定時振動辨識算法原理進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)。單葉片單自由度的單頻振動位移方程為

式中：A0為外界力幅產(chǎn)生的位移；ω 為葉片的振動頻率；φ 為初始相位；C 為直流分量；H（ω）為幅頻響應(yīng)；φ（ω）為相頻響應(yīng)。

H（ω）和φ（ω）分別為

式中：fn為葉片的固有頻率；ξ 為阻尼系數(shù)。

對于同步振動來說，ω=Nefv。其中Ne為共振階次，fv為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速頻率。根據(jù)葉尖定時傳感器的測量原理，轉(zhuǎn)子每旋轉(zhuǎn)1周，傳感器只能采集到某一葉片的1個振動信號。假設(shè)傳感器的安裝角度為θ，則單葉片到達(dá)傳感器的時間ti為

式中：i為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，i=1，…，N。

將式（2）～（4）代入式（1），并簡化可得

式中：η'=Q（fn/ω-ω/fn）；Amax=A0Q，為共振幅值；Q=為品質(zhì)因子；φ=Neθ+φ0，為初始相位；Ne與fn表達(dá)形式為Ne/fn，二者等同于1個參數(shù)，令Ωn=fn/Ne，則式（5）可轉(zhuǎn)化為

式中：Ωn為中心共振頻率（共振時的轉(zhuǎn)速頻率）。

式（6）中的A0、Q、φ、Ωn、C 等參數(shù)為因變量，轉(zhuǎn)速頻率fv為自變量。根據(jù)非線性最小二乘擬合法中具有可靠性的Levenberg-Marquardt法（LM）求出式（6）中的5個未知參數(shù)。通過簡單的計(jì)算得出最大共振幅值A(chǔ)max、ξ、Ωn、初始相位φ、C。

基于2自由度模型的曲線擬合法可以選取相鄰2個振動峰進(jìn)行曲線擬合，也就是把2個單自由度曲線擬合目標(biāo)方程的表達(dá)式疊加

假設(shè)n（n≥4）型傳感器相對于0號傳感器的安裝角度依次為θ0、θ1、θ2…θn-1，其中（θ0=0），令葉片經(jīng)過0號傳感器時的時刻t0=0，經(jīng)過其他傳感器的時間ti=θi/fv；同步振動中ω=Nefv，其中Ne為共振階次，所以傳感器測得的相對于0號傳感器的振動相位差為

式中：Δφ0=0。

計(jì)算各傳感器相對于0號傳感器的振動相位差Δφi（i=1，2…，n-1），由于角度存在360°的周期性，需要將相位差Δφi值規(guī)整到[0，360]，向量表示ΔΦ=[Δφ0Δφ1Δφ2…Δφn-1]T。假設(shè)葉片實(shí)際的振動階次為Ne，對于其整階次振動，Ne為正整數(shù)，并在一定的范圍內(nèi)取值，依次將此范圍內(nèi)的Ne代入式（8），得到Δφik，且規(guī)整到[0，360]，得到對應(yīng)的相位差向量ΔΦk=[Δφ0kΔφ1kΔφ2k…Δφ(n-1)k]T，并把得到的相位差ΔΦk與傳感器物理安裝角度的相位差ΔΦ 進(jìn)行比較，求得均方根誤差Sk，表示跟蹤估計(jì)值偏離實(shí)際測量值的大小?；?自由度模型的葉尖定時參數(shù)辨識算法，選取2個峰進(jìn)行曲線擬合得到2組相位，進(jìn)行階次跟蹤取Sk最小時的Nek為實(shí)際的振動倍頻Ne，分別取2個峰對應(yīng)的中心共振頻率Ωn1、Ωn2，計(jì)算其對應(yīng)的振動 頻 率 fn1=NeΩn1和fn2=NeΩn2。算法流程如圖1所示。

為了表示上述葉尖定時參數(shù)辨識方法的可信度，引入明顯度ΔS%對辨識結(jié)果可信度進(jìn)行評價[15]

圖1 算法流程

式中：Skmax、Skmin1Skmin分別為均方根誤差Sk的最大值、次小值和最小值，ΔS%越大表示階次辨識可信度越大。

2 仿真模型建立和算法驗(yàn)證

2.1 耦合仿真數(shù)據(jù)

Mercadal[16]描述了不同的葉片耦合模型，最常用的模型是n 葉片模型，每個葉片代表1個自由度，通過彈簧和阻尼元件耦合，如圖2所示。G.Dimitridis[17]在葉片振動數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，基于Matlab中的仿真平臺Simulink建立了1個4葉片測振仿真模型。

圖2 葉片振動模型

耦合參數(shù)ki(i+1)、ci(i+1)都不為0的情況下，產(chǎn)生葉尖耦合振動數(shù)據(jù)。為了產(chǎn)生單倍頻降速同步有耦合仿真數(shù)據(jù)，采用變速掃頻激勵，見式（10）。仿真數(shù)據(jù)參數(shù)fn1=fn3=175Hz，fn2=fn4=180Hz，ξ1=ξ3=0.41%，仿真時間為100s，加30%白噪聲，分別產(chǎn)生傳感器等間隔角為10°、15°、20°、25°的葉片2的1~8倍頻的單倍頻有耦合降速同步仿真數(shù)據(jù)。

式中：Fn,i為激振力幅；Ne為振動階次；T 為仿真時長；φn,j為初始相位。

按照上述參數(shù)，當(dāng)傳感器等間隔角度為10°時，葉片2的第1、3階有耦合仿真信號和轉(zhuǎn)速變化如圖3所示。

2.2 算法的數(shù)值仿真

在不同傳感器安裝角度下測得的第1~8階的單倍頻有耦合降速同步仿真數(shù)據(jù)中選取相同數(shù)據(jù)段，分別進(jìn)行基于單自由度和2自由度模型的參數(shù)辨識。當(dāng)傳感器等間隔角為10°時，葉片2的第1~8階有耦合振動數(shù)據(jù)基于2自由度模型的曲線擬合結(jié)果如圖4所示。

圖3 葉片2的有耦合振動信號和轉(zhuǎn)速變化

圖4 葉片2的第1~8階振動信號基于2自由度模型的曲線擬合結(jié)果

從圖4中可見，基于2自由度模型的曲線擬合可以同時擬合相鄰2個峰。由于測量誤差和噪聲的影響，擬合均方根誤差（RMSE）在0.010~0.015范圍內(nèi)，表明基于2自由度模型的曲線擬合結(jié)果準(zhǔn)確?；?自由度模型的葉尖定時算法辨識的2個峰的頻率結(jié)果見表1～4。

表1 傳感器安裝角10°時振動頻率辨識結(jié)果

表2 傳感器安裝角15°時振動頻率辨識結(jié)果

表3 傳感器安裝角20°時振動頻率辨識結(jié)果

表4 傳感器安裝角25°時振動頻率辨識結(jié)果

辨識結(jié)果的相對誤差ΔE 為

從表1~4中可見，基于2自由度模型的葉尖定時算法辨識傳感器，在不同安裝角度下測得的葉片2的單倍頻降速同步有耦合仿真數(shù)據(jù)的2個峰振動頻率的相對誤差ΔE 都小于1%，在誤差允許范圍內(nèi)，說明該算法可以準(zhǔn)確辨識葉片2個共振峰的振動頻率?；趩巫杂啥?、2自由度模型的振動參數(shù)辨識明顯度比較結(jié)果如圖5所示。

從圖5中可見，傳感器安裝間隔角度越大，即分布范圍越廣，辨識的明顯度越高，結(jié)果可信度越高；在相同傳感器安裝角度下，基于單自由度模型的葉尖定時參數(shù)辨識方法的明顯度小于基于2自由度模型的。所以，基于2自由度模型的葉尖定時參數(shù)辨識方法辨識結(jié)果更可信。

圖5 基于2種自由度模型的振動參數(shù)辨識明顯度比較

3 結(jié)論

（1）采用基于2自由度模型的葉尖定時算法可以同時辨識出葉片耦合振動相鄰2個峰的振動階次和頻率等參數(shù)。運(yùn)用仿真數(shù)據(jù)對該算法進(jìn)行驗(yàn)證，得出辨識振動階次和頻率的相對誤差都小于1%，表明了該算法可行，且具有一定的工程應(yīng)用價值。

（2）葉片耦合使葉片的振動頻率、幅值、阻尼等參數(shù)發(fā)生變化，但葉片耦合振動對振動參數(shù)產(chǎn)生的影響還需進(jìn)一步研究。

[1]Heath S.A new technique for identifying synchronous resonance using tip timing[J].Journal of Engineering for Gas Turbine and Power，2000，122（10）：219-225.

[2]Carrington I B，Wright JR，Cooper JE，et al.A comparison of blade tip timing data analysis methods[J].Journal of Aerospace Engineering，2001，215（5）：301-312.

[3]Gallego-Garrido J，Dimitriadis G，Wright J R.A class of methods for the analysis of blade tip timing data from bladed assemblies undergoing simultaneous resonances-Part I:theoretical development[J].International Journal of Rotating Machinery，2007，4（4）:1-9.

[4]Joung K K，Kang S C，Paeng K S，et al.Analysis of vibration of the turbine blades using non-intrusive stress measurement system[C]//ASME 2006 Power Conference,Georgia:Power Division,2006:391-397.

[5]王磊，胡偉，王德友.旋轉(zhuǎn)葉片整階次振動雙參數(shù)分析與仿真[J].航空發(fā)動機(jī)，2009，35（2）：50-53.WANG Lei，HU Wei，WANG Deyou.Two-parameter analysis and simulation of integer order vibration for rotor blade[J].Aeroengine，2009，35（2）：50-53.(in Chinese)

[6]Whitehead D S.The maximum factor by which forced vibration of blades can increase due to mistuning[R].ASME 96-GT-125.

[7]Schaber U，Mayer J F，Stetter H.Coupled blade bending and torsional shaft vibration in turbomachinery[C]//ASME 1993 International Gas Turbine and Aeroengine Congress and Exposition，Cincinnati,Ohio,USA：International Gas Turbine Institute，1993：24-27.

[8]Wagner JT.Coupling of turbomachine blade vibrations through the rotor[J].Journal of Engineering for Power，1967，89（4）：502-512.

[9]Miguel A B，Mihir Sen.Synchronization of coupled self-excited elastic beams[J].Journal of Sound and Vibration，2009，324（1）：209-220.

[10]Dye R C F，Hery T A.Vibration amplitudes of compressor blades resulting from scatter in blades natural frequencise[J].Journal of Engineering for Power，1969，91，（3）：182-187.

[11]Castanier M P，Pierre C.Modeling and analysis of mistuned bladed disk vibration:status and emerging directions[J].Journal of Propulsion and Power，2006，22（2）：384-396.

[12]Ottarsson G，Pierre C.On the effects of inter blade coupling on the statistics of maximum forced response amplitudes in mistuned bladed disks[C]//Proceedings of the 36th Structural Dynamics and Materials Conference，Michigan:American Institute of Aeronautics and Astronautics，1995:3070-3078.

[13]El-Bayoumy L E，Srinivasan A V.Influence of mistuned on rotor-blade vibrations[J].AIAA Journal，1974，13（4）：460-464.

[14]Schlagwein G，Schaber U.Non-contact blade vibration measurement analysis using a multidegree of freedom model[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,2006，220（6）：611-618.

[15]歐陽濤.基于葉尖定時的旋轉(zhuǎn)葉片振動檢測及參數(shù)辨識技術(shù)[D].天津：天津大學(xué)，2011.OUYANG Tao.Vibration detection and parameter identification technology of rotating blade based on blade tip timing[D].Tianjin:Tianjin University，2011.(in Chinese)

[16]Mercadal M.Damage identification by NSMSblade resonance tracking in mistuned rotors[C]//Aerospace Conference,IEEE Proceedings，Big Sky，MT：Institute of Electrical and Electronic Engineers，2001:3263-3277.

[17]Dimitridis G，Carrington I B，Wright J R，et al.Blade-tip timing measurement of synchronous vibration of rotating bladed assemblies[J].Mechanical System and Signal Processing，2002，16（4）：599-622.