肖思宇 馬殿光 張漢花 姚 辰 唐厚君

（上海交通大學(xué)電氣工程系 上海 200240）

1 引言

磁耦合諧振式（Coupled Magnetic Resonance,CMR）技術(shù)是 2006年在美國物理學(xué)工業(yè)物理論壇上被第一次提出的，隨后通過理論分析證實(shí)了該種無線電能傳輸方式的可行性。2007年美國 MIT的物理研究小組以“耦合模理論”為理論依據(jù)，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了具有相同諧振頻率的兩個(gè)諧振體可以通過磁耦合形式實(shí)現(xiàn)電能的無線傳輸，并可以獲得較高的傳輸效率[1]。

CMR技術(shù)采用諧振線圈間磁場的耦合，通過發(fā)射線圈和接收線圈的共振來實(shí)現(xiàn)能量的無線傳輸。當(dāng)發(fā)射線圈和接收線圈達(dá)到諧振狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)可經(jīng)由損耗最低的路徑將電能從供電端傳輸?shù)绞茈姸?，最大程度地確保能量傳輸?shù)男?。根?jù)近區(qū)磁場的特點(diǎn)，在近區(qū)場內(nèi)具有相同諧振頻率的振蕩體會發(fā)生波耦合，實(shí)現(xiàn)能量在兩個(gè)諧振體之間的傳輸。由于諧振體的共振波長遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于振蕩器尺寸，能量傳輸幾乎不受附近物體的影響，能量在傳輸過程中損失很小，也不會對周圍環(huán)境產(chǎn)生影響，因此 CMR技術(shù)是一種高效、可靠的無線電能傳輸方式。

但是，由于磁耦合諧振式無線電能傳輸系統(tǒng)在設(shè)計(jì)時(shí)存在理論偏差和實(shí)際損耗，其傳輸效率會隨著傳輸距離的增大而急劇減小，因此進(jìn)一步研究磁耦合諧振式傳輸系統(tǒng)的傳輸特性對于如何提升供電端與受電端的耦合程度、設(shè)計(jì)最優(yōu)的線圈結(jié)構(gòu)以提高傳輸效率有著重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。

本文針對耦合諧振式無線電能傳輸系統(tǒng)進(jìn)行了研究與設(shè)計(jì)。采用耦合模理論對系統(tǒng)建模，利用COMSOL軟件對磁耦合諧振式系統(tǒng)的線圈結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真，研究了線圈結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)傳輸效率的影響，并提出了在固定線圈距離時(shí)線圈參數(shù)優(yōu)化的方案。

2 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

2.1 耦合模公式的推導(dǎo)

將單個(gè)諧振線圈等效為一個(gè) LC串聯(lián)回路，如圖1所示。

圖1 諧振線圈等效電路Fig.1 Equivalent circuit of the resonance coil

由歐姆定律可得電壓電流表達(dá)式：

將一階微分方程式（1）與式（2）互相代入，可得關(guān)于電壓和電流的二階微分方程：

式中，i為諧振電路電流；v為電感的端電壓；ω0=為諧振角頻率。

在考慮系統(tǒng)損耗的情況下，引入系統(tǒng)損耗后有[2]

式中，Γ為損耗系數(shù)。

可得耗散功率W的表達(dá)式：

2.2 兩諧振體系統(tǒng)耦合模型

假設(shè)耦合諧振式無線電能傳輸中，兩個(gè)諧振體的諧振頻率分別為ω1和ω2，則在不計(jì)損耗的情況下該系統(tǒng)的耦合模型可用下述方程組表示[2]

式中，κ12和κ21為線圈1與線圈2之間的耦合系數(shù)，當(dāng)ω1且ω2時(shí)系統(tǒng)為弱耦合，此時(shí)相比而言較小，僅當(dāng)ω1與ω2接近時(shí)耦合才會影響a1、a2的變化（ a1、a2的含義與式（6）中類似）。

在系統(tǒng)能量守恒時(shí)，κ12和κ21存在相互約束的關(guān)系。由于系統(tǒng)能量變化率為零，故有

式中，a*為a的共軛；κ?為κ的共軛；Re()為實(shí)部運(yùn)算符；Im()為虛部運(yùn)算符。

由于 a1和 a2的實(shí)部和虛部為非特定值，故耦合系數(shù)滿足表達(dá)式：

假設(shè)諧振體2初始沒有能量，則根據(jù)式（8），從諧振體1耦合到諧振體2的平均功率表達(dá)式為

又當(dāng)互感系數(shù)為M時(shí)，從諧振體1耦合到諧振體2的諧振功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值可表示為

比較式（10）和式（11），可得耦合系數(shù)的表達(dá)式為

現(xiàn)考慮一般情況，即有輸入源、負(fù)載、異物擾動(dòng)以及損耗的環(huán)境，由式（7）經(jīng)過變換可得源端和負(fù)載端的耦合模型表達(dá)式為

式中，as、ad為發(fā)射端、負(fù)載端的模式幅值復(fù)變量；Γd [e]為考慮異物擾動(dòng)下的接收線圈損耗率（包括輻

射損耗Γrad和吸收損耗Γabs），故有Γd[e]=+，類似有帶擾動(dòng)的源損耗率為Γs[e]；κsd[e]和κds[e]為考慮擾動(dòng)因素時(shí)的發(fā)射/接收端耦合系數(shù)；us為電源對系統(tǒng)的影響；Γwork為負(fù)載損耗率；

定義有效功率傳輸效率：

3 系統(tǒng)仿真

3.1 線圈結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)傳輸效率的影響

（1）線圈繞制方式對耦合系數(shù)的影響

a）半徑為R=30 mm的圓形線圈間的耦合系數(shù)

改變圓形線圈間每匝線圈的間距，得到線圈耦合因數(shù)的變化規(guī)律，如圖2所示。圓形線圈達(dá)到的最大線圈耦合因數(shù)為0.195，此時(shí)對應(yīng)的間距為18 cm。

b）相同面積下矩形線圈間的耦合因數(shù)（60 mm×60 mm）

改變矩形線圈每匝線圈的間距，線圈耦合系數(shù)的變化如圖3所示。矩形線圈所達(dá)到的最大線圈耦合因數(shù)為0.194，此時(shí)對應(yīng)的間距為23 cm。

圖2 圓形線圈耦合系數(shù)隨每匝線圈間距的變化Fig.2 Circular coil coupling coefficient changes with the spacing of each turn of the coil

圖3 單矩形線圈耦合系數(shù)隨每匝線圈間距的變化Fig.3 Single rectangular coil coupling coefficient changes with the spacing of each turn of the coil

c）相同面積情況下，雙矩形線圈間的耦合因數(shù)在保持面積相同的條件下，將單個(gè)矩形線圈分為2個(gè)矩形線圈，如圖4所示。此時(shí)線圈間的耦合因數(shù)最大為0.062。

圖4 雙矩形線圈耦合系數(shù)隨每匝線圈間距變化Fig.4 Double rectangular coil coupling coefficient changes with the spacing of each turn of the coil

由此可知，相同面積情況下，圓形線圈與矩形線圈間的耦合強(qiáng)度相差不大，但將整體區(qū)域劃分后再繞制線圈會急劇減小線圈間的耦合強(qiáng)度。此外矩形線圈在拐角處電流密度分布不均勻，會增大線圈的損耗參數(shù)。因此，采用圓形線圈可以提高線圈間的耦合強(qiáng)度，同時(shí)能夠減小線圈損耗，是一種優(yōu)化的線圈繞制方式。

（2）線圈排布寬度對耦合系數(shù)的影響

當(dāng)收發(fā)線圈距離 D=40 mm，線圈半徑為R=30 mm，線圈匝數(shù)為5時(shí)，逐漸改變同一平面內(nèi)每匝線圈之間的間距，可得兩線圈之間耦合因數(shù)的變化規(guī)律，如圖5所示。

圖5 圓形線圈耦合系數(shù)隨線圈間距變化Fig.5 Circular coil coupling coefficient changes with the coil spacing

由圖可見，當(dāng)線圈距離和半徑固定時(shí)，線圈間的耦合系數(shù)隨每匝線圈間距的增大先增大后減小，即存在最優(yōu)的線圈間距使得線圈間的耦合強(qiáng)度最大在本例中，當(dāng)線圈各匝之間的間距為12 mm時(shí)，耦合強(qiáng)度最大。

（3）線圈半徑對耦合系數(shù)的影響

由圖6可知，線圈間的耦合系數(shù)隨著半徑的增大而增大。但線圈耦合強(qiáng)度隨半徑增大而增大的速率逐漸減緩，即半徑對線圈耦合強(qiáng)度的影響越來越小。由圖7可知，線圈半徑越大，耦合系數(shù)隨線圈距離變化越平緩，系統(tǒng)傳輸距離也越大。

圖6 線圈耦合系數(shù)隨線圈半徑變化Fig.6 Coil coupling coefficient changes with the coil radius

圖7 不同半徑下線圈耦合系數(shù)隨線圈距離變化Fig.7 Different radius coil coupling coefficient changes with the coil distance

3.2 距離固定時(shí)兩線圈系統(tǒng)的效率優(yōu)化方案

當(dāng)傳輸距離固定為40 mm時(shí)，對系統(tǒng)進(jìn)行線圈優(yōu)化設(shè)計(jì)的步驟為：

（1）線圈半徑的優(yōu)化

圖8 固定線圈匝數(shù)對線圈半徑的優(yōu)化Fig.8 Optimization of radius for fixed turns of the coil

圖9 線圈半徑固定時(shí)對線圈匝數(shù)的優(yōu)化Fig.9 Optimization of turns for fixed turns of the coil

增大收發(fā)線圈半徑，并匹配電路的諧振電容，使得線圈諧振頻率固定為1 MHz，由上圖可知，當(dāng)線圈半徑R=35 mm時(shí)，系統(tǒng)的傳輸效率最高，約為72%。

（2）線圈匝數(shù)的優(yōu)化

固定線圈半徑為35 mm，增加收發(fā)線圈的匝數(shù)，并匹配電路的諧振電容，使得線圈諧振頻率固定為1 MHz，得到系統(tǒng)傳輸效率隨線圈匝數(shù)變化的趨勢如圖9所示。由圖可知，當(dāng)線圈匝數(shù)為15時(shí)，系統(tǒng)傳輸效率最高。

（3）線圈匝間距的優(yōu)化

固定線圈半徑為R=35 mm，線圈匝數(shù)為15，改變每匝線圈間的間距，得到系統(tǒng)效率的變化趨勢如圖10所示。由圖可知，每匝線圈間距的改變對系統(tǒng)傳輸效率的影響不是很明顯，系統(tǒng)效率隨線圈排布間距先增大后減小。當(dāng)整體排布寬度為14 mm時(shí)，系統(tǒng)傳輸效率最大。

圖10 固定線圈匝數(shù)、半徑對線圈排布間距優(yōu)化Fig.10 Optimization of coil arrangement pitch for fixed coil turns and radius

4 結(jié)論

本文在 COMSOL仿真平臺下，詳細(xì)研究了線圈參數(shù)（線圈繞制方式，線圈半徑，每匝線圈的間距等）對系統(tǒng)傳輸效率的影響規(guī)律。主要結(jié)論如下：

（1）相同面積時(shí)，采用圓形線圈可以增大耦合系數(shù)，降低線圈自身損耗，從而提高系統(tǒng)傳輸效率。將線圈分開繞制會明顯降低線圈間的耦合系數(shù)。

（2）系統(tǒng)傳輸效率隨著線圈半徑的增大會先增大后減小，存在最優(yōu)化的線圈半徑使得系統(tǒng)效率最大。當(dāng)線圈半徑和匝數(shù)固定時(shí)，改變每匝線圈間的間距也會影響系統(tǒng)的傳輸效率。隨著每匝線圈間距的增大，傳輸效率先增大后減小。

（3）當(dāng)線圈間的距離固定時(shí)，線圈參數(shù)的優(yōu)化方案為：先優(yōu)化線圈半徑，再優(yōu)化線圈匝數(shù)，最后優(yōu)化線圈的匝間距。當(dāng)傳輸距離為40 mm時(shí)，通過優(yōu)化可以將系統(tǒng)效率由原來的35%提高到 72%左右。

[1] Kurs A,Karalis A,Moffatt R,et al.Wireless power transfer via strongly coupled magnetic resonances[J].Science,2007,317(5834):83-86.

[2] H.A.Haus.Waves and Fields in Optoelectronics[M].Prentice-Hall,New Jersey,1984:197-216.

[3] Karalis A,Joannopoulos J D,Solja?i? M.Efficient wireless non-radiative mid-range energy transfer[J].Annals of Physics,2008,323(1):34-4.