蓋京波，孔耀

（哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

基于物理特性參數(shù)的可靠性評估

蓋京波，孔耀

（哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

在運用科學的評估方法進行裝備任務(wù)可靠性評估時，針對大型機械裝備在有限的試驗時間內(nèi)難以得到足夠的失效數(shù)據(jù)，甚至沒有失效數(shù)據(jù)的問題，基于物理特性參數(shù)進行任務(wù)可靠性評估成為行之有效的途徑。簡述了基于物理特性參數(shù)任務(wù)可靠性評估的基本流程，探討了基于Kendall相關(guān)系數(shù)的系統(tǒng)非線性相關(guān)性分析方法和基于核回歸的輸入輸出變量回歸關(guān)系建模方法，并給出了基于核回歸的輸出參數(shù)條件概率分布理論和裝置任務(wù)可靠性評估方法。以某大型復(fù)雜機械液壓裝置為例，通過監(jiān)測裝備的性能參數(shù)變化，使用可靠度的計算方法，實現(xiàn)了裝置任務(wù)可靠性水平評估的目的。

數(shù)理統(tǒng)計學；可靠性評估；物理特性參數(shù)；Kendall相關(guān)性分析；核回歸建模

0 引言

機械裝置，特別是一些國防裝備，在國民經(jīng)濟發(fā)展中發(fā)揮重要的作用，對國防力量的建設(shè)始終擔負著重要的角色。機械裝置的發(fā)展水平直接影響經(jīng)濟建設(shè)的發(fā)展水平以及國家現(xiàn)代化建設(shè)的安全。而機械裝置發(fā)展水平高低的一個重要指標是裝置的任務(wù)可靠性水平。在國防裝備的復(fù)雜機械液壓系統(tǒng)中，可將系統(tǒng)的各種性能監(jiān)測參數(shù)分為輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)。由于復(fù)雜機械液壓裝置的運行過程涉及到各種機械傳動和液壓傳動方式，因而輸入變量與輸出變量之間也呈現(xiàn)出復(fù)雜的相關(guān)性。大型復(fù)雜機械液壓高可靠性裝備任務(wù)可靠性評估過程往往伴隨著物理特性監(jiān)測參數(shù)的變化。因此，基于物理特性參數(shù)進行任務(wù)可靠性評估成為行之有效的途徑。

目前，可靠性評估主要有兩種方法:一是傳統(tǒng)的基于數(shù)理統(tǒng)計的可靠性評估方法［1］，其評估的基礎(chǔ)是試驗或使用的時間（次數(shù)）與發(fā)生故障之間的關(guān)系。這就要求對系統(tǒng)或設(shè)備進行大樣本的統(tǒng)計試驗，導(dǎo)致試驗周期長、費用高；另一種是近幾年開始逐步應(yīng)用的基于物理特性或基于性能退化的可靠性評估方法［2-7］，其評估的基礎(chǔ)是裝備性能或物理特性參數(shù)變化的失效機理。對于高可靠性長壽命的產(chǎn)品而言，即使經(jīng)過相當長的試驗時間仍然可能出現(xiàn)無失效數(shù)據(jù)的情況，利用物理特性監(jiān)測參數(shù)進行任務(wù)可靠性評估不僅可以節(jié)省高昂的試驗費用，而且有利于系統(tǒng)維修計劃的優(yōu)化。

基于物理特性分析的可靠性評估方法主要是通過對裝備的主要物理特性的試驗數(shù)據(jù)進行詳細研究，系統(tǒng)分析這些測試數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，以達到裝置可靠性評估的目的。為此，本文提出的基于物理特性參數(shù)的裝置可靠性評估流程，如圖1所示。

圖1 基于物理特性參數(shù)裝置可靠性評估流程Fig.1 Reliability assessment process based on the physical parameters

1 基礎(chǔ)理論

1.1 基于Kendall系數(shù)的相關(guān)性分析

分析變量之間的線性相關(guān)性常用矩相關(guān)系數(shù)，而機械液壓系統(tǒng)涉及復(fù)雜的動力學結(jié)構(gòu)，使得輸入變量與輸出變量之間具有復(fù)雜的非線性相關(guān)性，此時，需要利用Kendall-τ相關(guān)系數(shù)來描述輸入變量X與輸出變量Y之間的非線性相關(guān)關(guān)系［8］。Kendall-τ相關(guān)系數(shù)描述的是一般意義的相關(guān)性，即若X增加時，Y有增加的趨勢，此時稱X與Y為正相關(guān)。若當X增加時，Y有減少的趨勢，則稱X與Y負相關(guān)。

Kendall-τ相關(guān)系數(shù)的定義為:假設(shè)（X，Y）的一個容量為n的樣本（X1，Y1），（X2，Y2），…，（Xn，Yn），成對數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），為其樣本的觀測值，統(tǒng)計值

稱為Kendall-τ相關(guān)系數(shù)，其中sgn（·）為符號函數(shù)。

令

總體參數(shù)

式中:P1為M＞0的概率；P2為M＜0的概率。

τ是θ無偏估計。令

顯然-n（n-1）/2≤q≤n（n-1）/2，即-1≤τ≤1.

實際上，上述θ值的正負與大小說明了Y隨X的增加而相應(yīng)增加或減少的關(guān)系。因為，若θ值大于0，則表明M＞0的概率大于M＜0的概率，即X與Y同步增加或同步減少的可能性更大；反之，若θ值小于0，則表明M＞0的概率小于M＜0的概率，反映了X增加而Y減少，或X減少而Y增加這種關(guān)系的可能性更大。θ值越接近1，說明X與Y同步增加或同步減少的關(guān)系越強烈；θ值越接近-1，則反映了X增加而Y減少，或X減少而Y增加的相關(guān)關(guān)系越強烈。顯然，θ值越接近0，則說明X與Y的相關(guān)關(guān)系越弱。一般說來，對于相關(guān)系數(shù)［3］，若|τ|＜0.3，關(guān)系極弱，認為不相關(guān)；0.3≤|τ|＜0.5，低度相關(guān)；0.5≤|τ|＜0.8，中度相關(guān)；0.8≤|τ|＜0.95，高度相關(guān)；|τ|≥0.95，存在顯著相關(guān)性。

初步確定相關(guān)程度后，需要進行顯著性水平檢驗。在大樣本條件下，當兩變量之間獨立時，Kendall-τ相關(guān)系數(shù)漸進服從正態(tài)分布，可利用正態(tài)分布的性質(zhì)對其進行顯著性檢驗，小樣本條件下的Kendall-τ相關(guān)系數(shù)的分布是不確定的，可以通過C++或Eviews進行算法設(shè)計，得到Kendall-τ相關(guān)系數(shù)準確的顯著性水平［8］。所以，可以從n對實際觀測數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中任取兩對構(gòu)成符號函數(shù)，取法總數(shù)為N=C2n，而且符號函數(shù)給出了M＞0的個數(shù)與M＜0的個數(shù)之差，故根據(jù)用頻率估計概率的原理，用Kendall-τ相關(guān)系數(shù)作為θ的估計，能夠很好地描述X與Y之間的相關(guān)關(guān)系。

1.2 基于核回歸的變量回歸關(guān)系建模

回歸模型是描述系統(tǒng)輸入與輸出參數(shù)之間因果關(guān)系的常用模型［9-12］。在傳統(tǒng)的回歸模型中，

往往假定m（x）有某種特定的數(shù)學形式，如線性型m（x）=b0+b1x，并假定誤差y-m（x）=ε的分布為正態(tài)分布，如常見的線性回歸模型:

式中:b0、b1、σ2未知，且與x無關(guān)。

對于復(fù)雜的機械裝置而言，其系統(tǒng)復(fù)雜的動力學特性與試驗、使用工況的復(fù)雜性，導(dǎo)致輸入輸出變量之間往往不滿足線性關(guān)系，即回歸函數(shù)非線性。此時，采用基于線性回歸模型和最小二乘法得出的估計不一定好用。因此，考慮采用基于核函數(shù)的非線性回歸技術(shù)，該方法無需假設(shè)數(shù)據(jù)的參數(shù)模型，沒有隱含的約束，大大減少了計算量，解決了復(fù)雜機械裝置輸入輸出變量之間的因果關(guān)系建模問題。

考慮回歸函數(shù)m（x）的估計問題，若在樣本值（xi，yi），i=1，2，…，n中有k個xi恰好等于指定的x0，則將這些挑出來，記為xi1，xi2，…，xik，這時回歸函數(shù)m（x）的一個自然估計便是對應(yīng)于xis的那些yis，s=1，2，…，k值的算術(shù)平均值，即

實際上，一般不會有太多的恰好等于指定的x0，有時甚至一個都沒有。如此，找一個充分小的數(shù)hn＞0，考慮x1，x2，…，xn恰好落在［x0-hn，x0+hn］中的那些xi1，xi2，…，xik，從而用yi1，yi2，…，yik的平均值作m（x）的估計。

若令

則

注意到Wng與x及x1，x2，…，xn有關(guān)，故Wng可稱為yi的權(quán)，更確切的說是在整個樣本值中相對于x點的權(quán)，它反映了在估計m（x）時，樣本值（xi，yi）作用的大小。將其一般化，設(shè)

是選定的n個依賴于x0和x1，x2，…，xn的函數(shù)，則（7）式稱為回歸函數(shù)m（x）的權(quán)函數(shù)估計，｛Wng｝稱為權(quán)函數(shù)。如何選取權(quán)函數(shù)以解決回歸建模，目前使用較多的方法是核函數(shù)法。即先選定一維實函數(shù)K（y），一般地，為概率密度函數(shù)，且窗寬hn＞0，然后令

在核函數(shù)窗寬的選取中，窗寬hn的選擇影響核回歸的精度，窗寬hn取的太小會增加隨機的影響，使核密度曲線產(chǎn)生很多突出點。反之，窗寬hn取的太大，核密度函數(shù)將會過度平均化。因此，需要選取合適的窗寬找到這個合適的“契合點”。

基于積分均方誤差的最優(yōu)化窗寬［13］為

窗寬的表達式依賴于f（x），但f（x）的表達式未知，一般將其作假設(shè)N（μ，σ2），得到窗寬的表達式為

在實際的工程計算中，一般是根據(jù)工程經(jīng)驗結(jié)合核函數(shù)的相關(guān)數(shù)學理論確定窗寬，擬合圖像后再進一步調(diào)整。

1.3 輸出變量條件概率分布理論

設(shè)輸入變量為X，輸出變量為Y，X與Y之間的核回歸模型為

式中:ε～N（0，σ2）.則當取定X=X0時，Y為正態(tài)分布隨機變量，且Y的條件均值E（Y|X0）和條件方差D（Y|X0）分別為

當Y的設(shè)計要求值為YU時，由變量Y所決定的單次成功條件概率（X=X0）為

2 任務(wù)可靠性評估方法

基于物理特性參數(shù)任務(wù)可靠性評估的具體流程為:

1）根據(jù)歷次系統(tǒng)試驗記錄的性能數(shù)據(jù)，采用非線性相關(guān)性分析方法——Kendall相關(guān)系數(shù)法，辨識出輸入變量與輸出變量之間的相關(guān)性程度。

2）對存在較強相關(guān)性的輸入輸出變量進行回歸分析，采用非參數(shù)回歸分析方法——核回歸建模方法，確定輸入輸出變量之間的因果關(guān)系定量模型。

3）在核回歸模型的基礎(chǔ)上，以參數(shù)的設(shè)計要求為輸入?yún)?shù)，確定輸出參數(shù)的條件概率分布。

4）在輸出變量條件概率分布的基礎(chǔ)上，根據(jù)各輸出變量相應(yīng)的設(shè)計要求值，評估復(fù)雜機械液壓裝置的任務(wù)可靠性。

裝置的任務(wù)可靠度是指在給定的輸入邊界條件，完成其規(guī)定任務(wù)的概率［14］?？紤]到復(fù)雜機械液壓裝置實際使用中工況的復(fù)雜性，一般將輸入變量分為若干等級，在各等級下分別評估裝置的任務(wù)可靠度。在輸入變量沒有達到裝置的使用極限及塑性變形內(nèi)，輸入?yún)?shù)的各等級下的任務(wù)是獨立的。裝置由各輸入變量決定的任務(wù)可靠度評估的具體步驟如下:

步驟1 將裝置某輸入變量等級Vi所對應(yīng)的區(qū)間看作均勻分布的取值區(qū)間，從該均勻分布中隨機抽樣N0次，得到的輸入變量樣本數(shù)據(jù)記為，r= 1，2，…，N0.

步驟5 將步驟1～4重復(fù)進行n次，即可得到Vi下單次任務(wù)可靠度的l個估計值，將這l個估計值的均值作為的點估計值，將這l個估計值按小到大的順序排列，給定置信度0.95，則排在第［（α/2）·l］為區(qū)間估計的左端點，排在第l-［（α/2）·l］的數(shù)為區(qū)間估計的右端點

步驟6 N0次任務(wù)要求下對應(yīng)等級Vi的任務(wù)可靠度為

步驟7 N0次任務(wù)中出現(xiàn)不滿足設(shè)計要求的平均次數(shù)的上限為

3 實例分析

3.1 輸入變量與輸出變量之間的Kendall相關(guān)性分析

在某大型裝置的試驗過程中，系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)包括質(zhì)量、嚙合速度、能量等，系統(tǒng)的輸出參數(shù)包括最大負加速度、主液壓缸壓力、油溫等。根據(jù)Kendall相關(guān)系數(shù)的系統(tǒng)非線性分析方法，該裝置的輸入變量與輸出變量之間的Kendall相關(guān)性分析結(jié)果如表1所示。

表1 某型裝置輸入與輸出變量相關(guān)性分析結(jié)果Tab.1 Correlation analysis results of input and output variables of a device

通過Kendall相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗，對于關(guān)鍵輸出參數(shù)最大負加速度Y1而言，與之最相關(guān)的輸入?yún)?shù)為嚙合速度X1；對于關(guān)鍵輸出參數(shù)主液壓缸壓力Y2而言，與之最相關(guān)的是輸入?yún)?shù)為能量X2；對于主液壓缸溫差Y3而言，3個輸入?yún)?shù)均與之沒有顯著的相關(guān)性。

3.2 輸入與輸出變量核回歸模型

由核回歸理論，基于所有有效的試驗數(shù)據(jù)，取窗寬h1=10，得到嚙合速度X1與最大負加速度Y1的回歸模型為

式中:x為待預(yù)測點的速度；y1（x）為待預(yù)測點的最大負加速度；n為累積有效試驗次數(shù)；｛（x1i，y1i），i= 1，2，…，n｝為試驗獲得的速度與加速度的數(shù)據(jù)對；h1為核函數(shù)的窗寬，這里取h1=10；核函數(shù)

基于所有有效試驗數(shù)據(jù)，得到嚙合速度v與最大負加速度m1（v）的回歸關(guān)系，其典型值如表2所示。

表2 最大負加速度核回歸結(jié)果Tab.2 Kernel regression results of maximum negative acceleration

根據(jù)觀測樣本數(shù)據(jù)和回歸模型的預(yù)測值，得到最大負加速度的殘差序列

由最大負加速度殘差序列，可得到參數(shù)σ1的估計值為

同理，由核回歸理論，基于所有有效的試驗數(shù)據(jù)，取窗寬h2=400，得到能量X2與主液壓缸壓力Y2的回歸模型為

式中:x為待預(yù)測點的能量；y2（x）為待預(yù)測點的主液壓缸壓力；n為累積有效試驗次數(shù)；｛（x2i，y2i），i= 1，2，…，n｝為試驗獲得的能量與主液壓缸壓力的數(shù)據(jù)對；核函數(shù)

基于所有有效試驗數(shù)據(jù)，得到能量e與主液壓缸壓力m2（e）的回歸關(guān)系，其典型值如表3所示。

根據(jù)觀測樣本數(shù)據(jù)和回歸模型的預(yù)測值，得到主液壓缸壓力的殘差序列為

表3 主液壓缸壓力核回歸結(jié)果Tab.3 Kernel regression results of main hydraulic cylinder pressure

由主液壓缸殘差序列，可得到參數(shù)的估計值為

3.3 給定輸入變量下單次成功概率評估

由表2可知，當嚙合速度v=60 km/h時，最大負加速度的期望值為m1（v）=1.048 6 g，其標準差為σ1=0.245 8 g.若最大負加速度的設(shè)計要求值為a≤2.5 g.

于是，由（16）式得在速度v=60 km/h時的單次成功概率為

同理可得到給定各嚙合速度等級下由最大加速度決定的單次成功概率，如表4所示。

表4 單次成功概率Tab.4 Single success probability

由表3可知，當極限能量e=4 300 t·m時，主液壓缸壓力的期望值為m2（e）=37.93 MPa，其標準差為σ2=1.235 6 MPa.若主液壓缸壓力設(shè)計要求值為pp≤50 MPa，根據(jù)正態(tài)分布理論，計算下式:

可見，在正常能量下，主液壓缸壓力超過設(shè)計值的概率基本為0，基本不會出現(xiàn)主液壓缸壓力超標的情況。

3.4 裝置任務(wù)可靠性評估

考慮到裝置實際使用過程工況的復(fù)雜性，將嚙合速度劃分為60～70 km/h，70～80 km/h，80～90 km/h，90～95 km/h等4個等級，將能量劃分為2500～3000 t·m，3 000～3 500 t·m，3 500～4 000 t·m，4 000～4 300 t·m等4個等級。

根據(jù)裝置任務(wù)可靠度評估方法，可得到各速度等級及能量等級下對應(yīng)的正態(tài)分布參數(shù)的估計值。分別見表5和表6.

各嚙合速度等級下最大負加速度任務(wù)可靠度的點估計和區(qū)間估計（n=100），見表7.

表5 參數(shù)估計結(jié)果Tab.5 Parameter estimates

表6 參數(shù)估計結(jié)果Tab.6 Parameter estimates

表7 任務(wù)可靠度（α=0.95）Tab.7 Mission reliability（α=0.95）

同理，可計算各能量等級下的對應(yīng)下主液壓缸壓力任務(wù)可靠度的點估計與區(qū)間估計基本為1，基本不會出現(xiàn)壓力超標現(xiàn)象。

4 結(jié)論

針對大型復(fù)雜高可靠性要求的機械設(shè)備提出了一種基于物理特性參數(shù)的可靠性評估方法。該方法充分利用系統(tǒng)的各種性能監(jiān)測參數(shù)，根據(jù)相關(guān)性分析及核回歸建模方法，給出了可靠度的計算方法，實現(xiàn)了可靠性評估的目的，對其他相似產(chǎn)品的可靠性評估也有著積極的借鑒意義。

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Reliability Assessment Based on Physical Parameters

GAI Jing-bo，KONG Yao
（College of Aerospace and Civil Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，Heilongjiang，China）

A scientific evaluation method used to evaluate mission reliability is difficult to get enough failure data in limited testing time for the large mechanical equipment，or even get no failure data.Reliability assessment based on physical parameters has become an effective way.The reliability assessment process based on physical parameters is briefly described.The system nonlinear correlation analysis method based on the Kendall correlation coefficient and the relation between input and output variables based on kernel regression modeling method are discussed.The output parameters of the conditional probability distribution theory based on kernel regression and device reliability evaluation methods are given.A large complex mechanical hydraulic equipment is evaluated，which monitors the performance parameters in order to use the reliability calculation method to achieve the mission reliability assessment.

mathematical statistics；reliability evaluation；physical parameter；Kendall correlation analysis；kernel regression modeling

TB114.3；O213.2

A

1000-1093（2015）06-1104-06

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.06.020

2014-07-21

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項基金項目（HEUCF130208）

蓋京波（1976—），男，副教授，碩士生導(dǎo)師。E-mail:gaijingbo@hrbeu.edu.cn