劉浩敏

(中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009)

0 引 言

現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中，戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈(TBM)以其速度快、突防能力強(qiáng)、破壞能力大等特點(diǎn)成為重要的威懾力量和縱深打擊力量，因此，如何有效攔截彈道導(dǎo)彈已成為各軍事大國(guó)關(guān)注的焦點(diǎn)?？栈磳?dǎo)因具有部署靈活、響應(yīng)速度快、攔截空域廣等優(yōu)點(diǎn)而倍受關(guān)注，如美國(guó)正在開展其空基反導(dǎo)作戰(zhàn)平臺(tái)—網(wǎng)絡(luò)機(jī)載防御單元(NCADE)的研究，目前已取得了階段性成果。此外，我國(guó)和俄羅斯也正在積極開展相關(guān)研究工作［1－5］。

彈道導(dǎo)彈從發(fā)射到命中目標(biāo)整個(gè)過程一般可分為三個(gè)階段，即上升段、中段和再入段。處于中段的彈道導(dǎo)彈位于大氣層外，一般無機(jī)動(dòng)能力，對(duì)此階段的彈道導(dǎo)彈進(jìn)行攔截具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，因此，為攔截器設(shè)計(jì)一種精確的中制導(dǎo)律至關(guān)重要。

目前，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者在攔截制導(dǎo)律的研究方面作了大量研究。Ryoo 等人針對(duì)攔截動(dòng)力學(xué)這一特殊仿射系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一種特殊控制李亞譜諾夫函數(shù)(CLF)，運(yùn)用Sontag 控制理論給出了一種最優(yōu)攔截制導(dǎo)律［6］，通過進(jìn)一步研究該制導(dǎo)律的求解過程可以發(fā)現(xiàn)，要想實(shí)現(xiàn)目標(biāo)攔截，即當(dāng)相對(duì)距離r →0 時(shí)，攔截器需要極大的能量，這在攔截末端一般很難實(shí)現(xiàn)。Massoumnia 在文獻(xiàn)［7］中提出了一種基于固定推進(jìn)時(shí)間的最優(yōu)中制導(dǎo)律，在動(dòng)力學(xué)推導(dǎo)過程中，作者通過忽略攔截器和目標(biāo)之間的重力差得到了一種簡(jiǎn)化的解析相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)而運(yùn)用最優(yōu)性原理解決了最優(yōu)中段攔截問題。Newman 基于零控脫靶量(ZEM)的相關(guān)理論，根據(jù)不同的相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型給出了多種中制導(dǎo)律［8］，其中多數(shù)以非解析的形式給出，從而對(duì)彈載計(jì)算機(jī)的計(jì)算速度提出了較高要求。

本文在前人研究成果的基礎(chǔ)之上，首先采用忽略攔截器和目標(biāo)之間重力差多項(xiàng)式的近似處理方法，給出一種簡(jiǎn)化的彈－目相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型;其次，基于簡(jiǎn)化的彈－目相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，運(yùn)用LQR理論設(shè)計(jì)一種解析、閉環(huán)的燃耗最優(yōu)中制導(dǎo)律，并根據(jù)給定的初始條件對(duì)所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證。

1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

首先給出地心慣性坐標(biāo)系的定義:坐標(biāo)系原點(diǎn)取為地球中心，Ze軸沿地球自轉(zhuǎn)軸，Xe軸和Ye軸位于地球赤道平面內(nèi)，與Ze軸組成右手坐標(biāo)系，其中，Xe軸指向春分點(diǎn)［9］。在該坐標(biāo)系下，導(dǎo)彈和目標(biāo)之間的相對(duì)幾何關(guān)系如圖1 所示。

圖1 導(dǎo)彈目標(biāo)相對(duì)幾何關(guān)系

圖中，RM和RT分別為攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)在地心慣性系下的位置矢量;VM和VT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)在慣性系下的速度矢量;R 和V 分別為目標(biāo)相對(duì)攔截導(dǎo)彈的位置矢量和速度矢量。根據(jù)空間兩質(zhì)點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，在地心慣性坐標(biāo)系下有如下兩式成立:

其中，μ 為地球引力常數(shù)，其值為3.986 × 105km3/s2;rM和rT分別為RM和RT的大小;aC為作用于導(dǎo)彈上的控制加速度矢量。

根據(jù)式(1)～(2)，可以很容易給出大氣層外導(dǎo)彈和目標(biāo)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

其中，R = RT－RM。

研究式(3)發(fā)現(xiàn)，右端第二項(xiàng)RM的系數(shù)為導(dǎo)彈和目標(biāo)之間的重力差，在實(shí)際攔截過程中，隨著導(dǎo)彈和目標(biāo)的逐漸接近，該重力差項(xiàng)的值越來越小，其對(duì)制導(dǎo)控制過程的影響越來越小。針對(duì)此重力差多項(xiàng)式，Newman 在文獻(xiàn)［8］中給出了線性化、常數(shù)化等四種近似處理方案，考慮到中制導(dǎo)精度要求相對(duì)末制導(dǎo)低，本文采用了將重力差項(xiàng)常數(shù)化為0 的方案。

由此，可得到近似簡(jiǎn)化的彈－目相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

2 基于LQR 的最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

根據(jù)目前較常見的反導(dǎo)方案，一般采用多級(jí)助推火箭，分初始制導(dǎo)段、中制導(dǎo)段和末制導(dǎo)段三個(gè)階段以實(shí)現(xiàn)對(duì)大氣層外的來襲彈道導(dǎo)彈進(jìn)行有效攔截。初始制導(dǎo)段，根據(jù)GPS 提供的目標(biāo)信息，第一級(jí)助推火箭將攔截器送到預(yù)定軌道高度，并使導(dǎo)彈具備一定的軌道速度;中制導(dǎo)段，第二級(jí)助推火箭將攔截器送到距離目標(biāo)約10 km 遠(yuǎn)的位置，此時(shí)，攔截器探測(cè)裝置開始工作并截獲目標(biāo)，動(dòng)能攔截器彈離彈體。最后，動(dòng)能攔截器通過自主探測(cè)裝置實(shí)時(shí)獲得目標(biāo)，并通過飛控單元實(shí)時(shí)解算出制導(dǎo)指令，直至殺傷來襲目標(biāo)。

根據(jù)攔截飛行方案，中制導(dǎo)律應(yīng)實(shí)現(xiàn)末段攔截的初始制導(dǎo)環(huán)境，即使攔截導(dǎo)彈在中制導(dǎo)末段具有一定距離(Rf)和一定的相對(duì)速度(Vf)，從而確保攔截導(dǎo)彈具有足夠的能量撞毀目標(biāo)，最終實(shí)現(xiàn)動(dòng)能攔截的目的。此外，考慮到攔截導(dǎo)彈攜帶燃料的有限性，制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)應(yīng)考慮燃耗最優(yōu)。本節(jié)將在前面給出的簡(jiǎn)化彈－目運(yùn)動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用LQR 最優(yōu)理論對(duì)滿足上述中制導(dǎo)要求的中制導(dǎo)律進(jìn)行設(shè)計(jì)。

取兩飛行器的相對(duì)位置矢量和相對(duì)速度矢量為參考狀態(tài)，導(dǎo)彈的控制加速度矢量為控制輸入，即X = ［R3×1V3×1］T，u = aC，則相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程(4)可改寫為如下形式:

其中，

現(xiàn)在，最優(yōu)控制的設(shè)計(jì)問題就轉(zhuǎn)化為在［0，∞］上求取反饋控制u*=－KX，使性能指標(biāo)取極小。

對(duì)于式(5)和(6)定義的LQR 問題，根據(jù)最優(yōu)性原理可知，存在使上述系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制u*=－R－1BTPX，其中，矩陣P = PT＞0滿足如下Riccati 方程:

求解發(fā)現(xiàn)，上述方程存在負(fù)值根，考慮到被控對(duì)象的實(shí)際意義，舍棄負(fù)值解，得正值解為

式中，

由此，可以得到最優(yōu)狀態(tài)制導(dǎo)律為

針對(duì)上述LQR 最優(yōu)制導(dǎo)律，結(jié)合攔截實(shí)際過程，現(xiàn)做如下兩點(diǎn)說明:

(1)對(duì)于攔截問題，攔截過程不可能持續(xù)無限長(zhǎng)時(shí)間，否則視為攔截失敗。式(6)中對(duì)積分時(shí)間取了無窮大，在工程上實(shí)際為一個(gè)動(dòng)態(tài)過程的結(jié)束，且系統(tǒng)穩(wěn)定要求末端狀態(tài)趨近于零［10］。

(2)LQR 狀態(tài)反饋控制u*=－KX 使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，且使系統(tǒng)最終穩(wěn)定在Xf= 0 點(diǎn)。顯然，狀態(tài)Xf= 0 不滿足動(dòng)能攔截條件。為了實(shí)現(xiàn)“定點(diǎn)、定速”這個(gè)攔截條件，可將期望的末段狀態(tài)事先考慮到初始狀態(tài)中，這樣得出的控制指令u*實(shí)際上跟蹤的軌跡就是期望軌跡，從而可實(shí)現(xiàn)“定點(diǎn)、定速”攔截制導(dǎo)要求。

3 仿真算例

為了對(duì)本文給出的制導(dǎo)律進(jìn)行驗(yàn)證，以Matlab/Simulink 為仿真平臺(tái)，參考文獻(xiàn)［8］中給出的一組彈－目初始條件，如表1 所示，建立空基反導(dǎo)數(shù)字仿真模型對(duì)本文提出的中制導(dǎo)律進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證，如圖2 所示。為了實(shí)現(xiàn)“定點(diǎn)、定速”攔截目標(biāo)，假設(shè)攔截末端導(dǎo)彈和目標(biāo)的期望相對(duì)速度和相對(duì)距離分別為1 km/s 和10 km(此數(shù)據(jù)可以根據(jù)實(shí)際要求設(shè)定)，根據(jù)上一節(jié)說明(2)，在進(jìn)行具體數(shù)字仿真時(shí)，目標(biāo)的初始速度和初始距離應(yīng)考慮上述中制導(dǎo)期望末端條件。仿真結(jié)果如圖3 ～5 所示。

表1 中制導(dǎo)攔截初始條件(地心慣性系)

圖2 空基反導(dǎo)數(shù)字仿真模型

圖3 彈－目運(yùn)動(dòng)軌跡仿真曲線

圖4 彈－目相對(duì)位置和相對(duì)速度仿真曲線

從仿真結(jié)果可以看出，對(duì)于給定的攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)初始條件，本文提出的制導(dǎo)律可以在較短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)定速的中制導(dǎo)攔截要求，進(jìn)一步證明了本文第2 節(jié)對(duì)彈－目相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)近似處理的合理性。

此外，根據(jù)圖5 所示攔截加速度仿真結(jié)果，由于處于中段的彈道導(dǎo)彈速度較高，要想對(duì)其進(jìn)行有效攔截需要較高的攔截條件，即較大的動(dòng)力系統(tǒng)支撐和較高的攔截初始速度及可靠的飛控系統(tǒng)保障。

圖5 攔截導(dǎo)彈三個(gè)方向加速度曲線

4 結(jié) 論

本文基于簡(jiǎn)化的彈－目相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，運(yùn)用LQR 理論設(shè)計(jì)了一種新的能量最優(yōu)、解析、閉環(huán)的攔截中制導(dǎo)律。為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的有效性，根據(jù)給定的彈－目初始條件，通過數(shù)字仿真對(duì)其有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律既能滿足空基反彈道導(dǎo)彈“定點(diǎn)、定速”的精度要求，也能滿足能耗最優(yōu)的要求，具有一定的理論研究和實(shí)際參考價(jià)值。

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