唐長(zhǎng)慶，田寶國，王　棟（海軍航空工程學(xué)院.研究生管理大隊(duì)；.基礎(chǔ)部，山東煙臺(tái)264001）

?

循環(huán)競(jìng)爭(zhēng)博弈的線性控制

唐長(zhǎng)慶a，田寶國b，王棟b
（海軍航空工程學(xué)院a.研究生管理大隊(duì)；b.基礎(chǔ)部，山東煙臺(tái)264001）

摘要：研究了最近鄰空間循環(huán)競(jìng)爭(zhēng)博弈對(duì)應(yīng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程及其控制動(dòng)力學(xué)，通過相應(yīng)的數(shù)值模擬，得到常參量控制和單變量線性控制的結(jié)果，針對(duì)各種螺旋波漂移現(xiàn)象，由數(shù)值計(jì)算得到螺旋波波頭的漂移軌跡，以及平均漂移速率的時(shí)間曲線，并進(jìn)一步擬合得出整個(gè)漂移過程的平均速率隨控制參量變化的函數(shù)。

關(guān)鍵詞：循環(huán)競(jìng)爭(zhēng)博弈；斑圖；線性控制；螺旋波漂移

循環(huán)競(jìng)爭(zhēng)是自然界和人類社會(huì)普遍存在的一種現(xiàn)象。有關(guān)循環(huán)競(jìng)爭(zhēng)博弈及其擴(kuò)散的理論與模擬研究結(jié)果表明，物種個(gè)體的空間分布與擴(kuò)散均出現(xiàn)復(fù)雜的斑圖涌現(xiàn)現(xiàn)象[1-4]，例如，在某些條件下出現(xiàn)不規(guī)則斑塊，而在其他條件下出現(xiàn)靶波、行波以及各種螺旋波及其擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象[5-8]。螺旋波在各種可激發(fā)系統(tǒng)和種群動(dòng)力學(xué)中相當(dāng)普遍，如Belousov-Zhabotinsk反應(yīng)[9-10]、心臟組織[11]、種群動(dòng)力學(xué)[12]和移動(dòng)的循環(huán)競(jìng)爭(zhēng)種群[1]。螺旋波在種群動(dòng)力學(xué)中很重要，特別是在隨機(jī)相互作用的循環(huán)競(jìng)爭(zhēng)種群中，生物多樣性可以通過相互纏繞的螺旋波來得到維持和保持穩(wěn)定[1，3]。

考慮到現(xiàn)實(shí)情況的復(fù)雜性，例如，由于地理?xiàng)l件的影響，使得物種捕食、繁殖等活動(dòng)強(qiáng)度沿地理分布逐漸衰減或增強(qiáng)，這些因素的影響可以通過對(duì)反應(yīng)擴(kuò)散方程添加控制項(xiàng)來進(jìn)行研究。本文就是通過在反應(yīng)擴(kuò)散方程基礎(chǔ)上加入控制項(xiàng)，來研究上述因素對(duì)循環(huán)競(jìng)爭(zhēng)博弈及其擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的影響，研究的情況包括常參量控制和單變量線性控制。

1　反應(yīng)擴(kuò)散方程與控制動(dòng)力學(xué)

根據(jù)T. Reichenbach等的工作[1，3]，只考慮最近鄰相互作用模式下的循環(huán)競(jìng)爭(zhēng)博弈，研究其熱力學(xué)極限情況。反應(yīng)擴(kuò)散方程組如下：式（1）中：ρA(,,t )、ρB(,,t )、ρC(,,t )分別為物種A、B、C所占的比例；μ為消滅率；σ為繁殖率；d為正常擴(kuò)散系數(shù)。給式（1）加上控制項(xiàng)f，控制項(xiàng)加在方程右端除擴(kuò)散項(xiàng)外的所有其他項(xiàng)上，得：

在以下的反應(yīng)擴(kuò)散方程數(shù)值模擬過程中，均采用256×256網(wǎng)格，邊長(zhǎng)為1，最小時(shí)間間隔Δt=0.1，使用無流邊界條件，采用的數(shù)值模擬方法為隱式歐拉法。

2　線性控制與螺旋波漂移

控制項(xiàng)表示為式中：L=256；b1、b2是可調(diào)參量。當(dāng)b2=0時(shí)，即為常參量控制。

在數(shù)值模擬過程中，選擇合適參量值，會(huì)出現(xiàn)3物種空間分布與擴(kuò)散對(duì)應(yīng)的單臂螺旋波。通過仿真模擬發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b2=0且04.3時(shí)，會(huì)出現(xiàn)2個(gè)以及更多數(shù)量的螺旋波，并且是不穩(wěn)定的。圖1 a）~d）給出了b1=1.0、b1=2.0和b1=4.0情況下螺旋波波頭的軌跡曲線以及b1=4.0時(shí)3物種的分布斑圖，圖1 c）~d）中螺旋波波頭沿右偏上直線方向移動(dòng)，其軌跡為不規(guī)則曲線。

圖1　螺旋波波頭的軌跡曲線與3物種的分布斑圖Fig.1 Trajectorcurve of spiral wave tip and the distribution spot pattern of the three species

當(dāng)b2≠0時(shí)，選擇單臂螺旋波穩(wěn)定漂移為判據(jù)，可以得到控制參量b1與b2的關(guān)系曲線，如圖2所示。

圖2　控制參量b1、b2的關(guān)系曲線Fig.2 Relation curve of control parameter b1and b2

圖2中虛線所示曲線是對(duì)b1與b2的關(guān)系擬合出來的，擬合所得函數(shù)如下：

由式（4）可知，虛線所示曲線是一拋物線。

圖2中陰影部分（包括曲線）為單臂螺旋波穩(wěn)定漂移的參量區(qū)域，其范圍為0.4≤b1≤4.6、0

圖3 a）~c）從左至右分別對(duì)應(yīng)b1=1.0、b1=3.2、b1=3.9時(shí)3物種的自組織斑圖。在單臂螺旋波不穩(wěn)定區(qū)，會(huì)有2個(gè)物種逐漸消失，最終只留下1個(gè)物種；或者，先是由單臂螺旋波分裂為多臂螺旋波，經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間演化，最終只有1個(gè)物種存留下來，哪1個(gè)物種能夠存活是隨機(jī)的。圖3 d）為b1=2.0且b2=3.0時(shí)對(duì)應(yīng)的自組織斑圖。

從螺旋波的漂移過程可以得知，b1是全局性控制項(xiàng)，它影響的是種群在整個(gè)空間的繁殖率和消滅率，其越大螺旋波的波長(zhǎng)越??；b2是空間梯度控制項(xiàng)，主要影響的是物種在各個(gè)位置處的繁殖率和消滅率，其越大螺旋波波頭漂移的速率越大。

圖3　不同控制參量下形成的自組織斑圖Fig.3 Self-organizing spot pattern formed under different control parameters

為了清楚地描述螺旋波的漂移軌跡，我們?nèi)∫惶厥馇闆r進(jìn)行研究，取b1=2.0，使b2由0遞增，即f沿軸正方向線性增加，新的繁殖率與消滅率同樣隨坐標(biāo)線性增加。模擬代數(shù)最大為105，進(jìn)行數(shù)值模擬，得到各種情況下螺旋波波頭漂移的軌跡曲線與3物種的分布斑圖，分別見圖4 a）~e）。

圖4　螺旋波波頭的軌跡曲線與3物種的分布斑圖Fig.4 Trajectorcurve of spiral wave tip and the distribution spot pattern of the three species

由圖4 a）~e）可知，螺旋波波頭的漂移方向是沿一傾斜直線，即沿坐標(biāo)、減?。ㄗ笃拢┑闹本€方向，但具體軌跡是沿傾斜直線方向的不規(guī)則曲線，b2值越大，平均飄移速率越大，針對(duì)參量b2的取值，以3 000代為時(shí)間間隔計(jì)算得到螺旋波波頭漂移的平均速率-v、-v，見圖5 a）。由圖5 a）發(fā)現(xiàn)-v、-v圍繞相應(yīng)的均值呈波動(dòng)變化，進(jìn)一步可求出整個(gè)漂移期間的平均速率值，得到平均速率與參量b2的關(guān)系曲線，見圖5 b）。

圖5　螺旋波波頭漂移的平均速率曲線Fig.5 Average velocitcurve of spiral wave tip drift

對(duì)圖5 b）中平均速率-v、-v與參量b的關(guān)系曲線

2進(jìn)行擬合，得到擬合函數(shù)關(guān)系式：，可見，-v≈2-v。

3　結(jié)論

由以上研究結(jié)果可以得知，加入控制項(xiàng)后螺旋波會(huì)出現(xiàn)漂移，在控制項(xiàng)f中，參量b1是全局性控制項(xiàng)，其越大螺旋波的波長(zhǎng)越??；b2是空間梯度控制項(xiàng)，其越大螺旋波波頭漂移的速率越大。通過大量的數(shù)值模擬，得到了單變量線性控制情況下單臂螺旋波穩(wěn)定漂移的b1與b2關(guān)系圖，以及螺旋波波頭的漂移軌跡及其平均速率-v、-v關(guān)系曲線。

參考文獻(xiàn)：

[1]REICHENBACH T，MOBILIA M，F(xiàn)REE. Mobilitpromotes and jeopardizes biodiversitin rock-paper-scissors games[J]. Nature，2007，448：1046.

[2]REICHENBACH T，MOBILIA M，F(xiàn)REE. Noise and correlations in a spatial population model with cclic competition[J]. Phsical Review Letters，2007，99：238105.

[3]REICHENBACH T，MOBILIA M，F(xiàn)REE. Self-organization of mobile populations in cclic competition[J]. Journal of Theoretical Biolog，2008，254：368.

[4]REICHENBACH T，F(xiàn)REE. Instabilitof spatial patterns and its ambiguous impact on species diversit[J]. Phsical Review Letters，2008，101：058102.

[6]BUDRENE E O，BERG H C. Dnamics of formation of smmetrical patterns bchemotactic bacteria[J]. Nature，1995，376：49.

[7]BEN JACOB E，SCHOCHET O，TENENBAUM A，et al. Generic modeling of cooperative growth patterns in bacterial colonies[J]. Nature，1994，368：46.

[9]ZAIKIN A N，ZHABOTINSKA M. Concentration wave propagation in two-dimensional liquid-phase selfoscillating sstem[J]. Nature，1970，225：535.

[10]WINFREE A T. Spiral waves of chemical activit[J]. Science，1972，175：634.

[11]DAVIDENKO J M，PERTSOV A V，SALOMONSZ R，et al. Stationarand drifting spiral waves of ecitation in isolated cardiac muscle[J]. Nature，1992，355：349.

[12]HASSELL M P，COMINS H N，MAR M. Spatial structure and chaos in insect population dnamics[J]. Nature，1991，353：255.

Linear Control Research of Ccle Competition Game

TANG Chang-qinga, TIAN Bao-guob, WANG Dongb
（Naval Aeronautical and Astronautical Universita. Graduate Students’Brigade; b. Department of Basic Sciences,antai Shandong 264001, China）

Abstrraacctt:: In this paper, the corresponding reaction-diffusion equation and control dnamics of the nearest-neighborspace cclical competition game was studied. Through the corresponding numerical simulation, the results of constant pa?rameter control and the linear single-variable control were got. To the varietof spiral wave drifting phenomenon, the tra?jectorof the spiral wave drifting and the average drifting velocitdistribution over time were obtained through the numeri?cal calculation, further the fitted function of average velocitchanging with control parameters in the whole drift process was got.

作者簡(jiǎn)介：唐長(zhǎng)慶（1989-），男，碩士生。

基金項(xiàng)目：學(xué)院基礎(chǔ)研究基金資助項(xiàng)目

收稿日期：2014-11-20；

DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2015.02.023

文章編號(hào)：1673-1522（2015）02-0197-04

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

中圖分類號(hào)：O231.1

修回日期：2015-01-14