李漢卿，姜彩良，華　光，聞克宇（.交通運輸部科學(xué)研究院，北京 0009；.鐵道部經(jīng)濟規(guī)劃研究院，北京 00038）

考慮風(fēng)險閾值的物流基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)布局模型

李漢卿1，姜彩良1，華光1，聞克宇2
（1.交通運輸部科學(xué)研究院，北京 100029；2.鐵道部經(jīng)濟規(guī)劃研究院，北京 100038）

在將類似問題總結(jié)為考慮風(fēng)險閾值的物流基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)布局模型（Logistics Infrastructure Network Model under the Risk Threshold:LINM-RT）的基礎(chǔ)上，把物流網(wǎng)絡(luò)上的設(shè)施分為兩種：“不可靠物流設(shè)施”和“可靠物流設(shè)施”。模型考慮了設(shè)施的最優(yōu)數(shù)量和布局方案，研究擬通過各個設(shè)施對消費者需求的配送情況和設(shè)施類型的不同給出不同設(shè)施的布局方案，分析中斷風(fēng)險概率和消費者的需求對布局產(chǎn)生的影響和表現(xiàn)。分析了在已知條件充足的情況下，如何將LINM-RT模型簡化為經(jīng)典的無設(shè)施容量限制設(shè)施布局問題模型，并用拉格朗日松弛算法快速地去求解LINM-RT模型。研究結(jié)果證明了風(fēng)險閾值的存在，用算例進一步說明在不同風(fēng)險概率下物流基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)布局選擇是不同的。

風(fēng)險閾值；供應(yīng)鏈風(fēng)險；物流網(wǎng)絡(luò)；拉格朗日算法；布局

0　引言

國內(nèi)外的學(xué)者們對于物流網(wǎng)絡(luò)布局都做了大量的研究。其中，國外學(xué)者對于離散布局問題的研究已由傳統(tǒng)的問題轉(zhuǎn)為可靠物流設(shè)施網(wǎng)絡(luò)布局問題，其中應(yīng)急物流系統(tǒng)是其重要的應(yīng)用領(lǐng)域。Daskin（1982）[1]，Ball和Lin等（1993）[2]的研究集中于當(dāng)中斷事件發(fā)生時，最大化期望需求的服務(wù)范圍。Drezner（2006）[3]的研究集中于通過最小化運輸成本的權(quán)重解決p中值問題（pMP）。本研究基于UFLP問題[4-5]（無容量限制的布局問題）提出了考慮風(fēng)險閾值的物流基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)布局模型（Logis?tics Infrastructure Network Model under the Risk Threshold：LINM-RT），模型布局的目標(biāo)是使物流基礎(chǔ)設(shè)施固定成本和運輸成本最小化。Snyder和Daskin（2006）[6]和Spdhi[7]也在UFLP問題的基礎(chǔ)上提出了可靠物流設(shè)施布局問題，他們使用混合整數(shù)規(guī)劃將運營成本和期望損失成本之間的關(guān)系推導(dǎo)了出來。他們的研究提出了隨機魯棒性模型將概率p考慮了進去，分析了不同風(fēng)險概率下使總成本最小化的情況。不同于其他研究的是，本研究考慮了可靠物流設(shè)施和不可靠物流設(shè)施混合的情況，而不是一味地加固為可靠物流設(shè)施。其次本研究通過公式推導(dǎo)證明了在一定情況下，中斷風(fēng)險發(fā)生概率不同，其供應(yīng)鏈布局策略不同，即中斷風(fēng)險閾值是存在的。

陳劍（2001）[8]和張菊亮（2008）[9]討論分析了一些典型的混合整數(shù)規(guī)劃模型和其考慮的約束條件，提出了供應(yīng)鏈模型優(yōu)化的框架和未來的研究趨勢。李彬（2013）[10]、龍靜（2014）[11]研究了靜態(tài)環(huán)境和需求不確定環(huán)境下的供應(yīng)鏈系統(tǒng)節(jié)點設(shè)施布局和容量的一體化決策問題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型使固定成本和運營成本最小，并提出求解用的Benders分解算法。分析了不同階段客戶需求分布和設(shè)施運營成本之間的關(guān)系，建立了設(shè)施布局的評價指標(biāo)體系。

本研究給出的供應(yīng)鏈風(fēng)險閾值定義為在中斷風(fēng)險下的物流網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)存在一個風(fēng)險概率數(shù)值或范圍，超過了這個數(shù)值或范圍，物流網(wǎng)絡(luò)布局最優(yōu)化設(shè)計策略將發(fā)生改變。研究將用公式推導(dǎo)來證明在本研究談?wù)摰膯栴}中風(fēng)險概率閾值是存在的，并通過隨機生成的風(fēng)險概率來模擬不確定的供應(yīng)鏈風(fēng)險場景，從而進一步將閾值明確為具體數(shù)值或相對準(zhǔn)確的范圍，并研究風(fēng)險閾值和物流網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，并從物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)施布局和需求分配的角度來試著減少企業(yè)在面臨中斷風(fēng)險時的損失。

研究中斷風(fēng)險下的物流基礎(chǔ)設(shè)施布局和需求分配。物流基礎(chǔ)設(shè)施布局問題已經(jīng)被國內(nèi)外很多學(xué)者研究，并且已經(jīng)應(yīng)用到政府或企業(yè)的實踐中。但是經(jīng)典的設(shè)施布局問題隱含性地假設(shè)了所有設(shè)施都不會出問題，而且是值得信賴的（reliable）。在此假設(shè)條件下建立設(shè)施布局的優(yōu)化布局模型是理想化的。本研究在隨機的中斷風(fēng)險下設(shè)計了一種具有防御風(fēng)險的魯棒性物流網(wǎng)絡(luò)模型。這里，不是所有的設(shè)施都假設(shè)是值得信賴的。本研究把供應(yīng)鏈上的設(shè)施分為兩種：“不可靠物流設(shè)施”和“可靠物流設(shè)施”?！安豢煽课锪髟O(shè)施”在這里受隨機中斷風(fēng)險的影響，它是不值得完全信賴的，會出現(xiàn)中斷的情況。“可靠物流設(shè)施”是帶防御中斷風(fēng)險機制的設(shè)施，它需要投入更多的錢去建設(shè)，本研究在這里假設(shè)這樣的設(shè)施是值得信賴的。

本研究將類似問題總結(jié)為中斷風(fēng)險下的考慮風(fēng)險閾值的物流基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)布局模型（Logistics In?frastructure Network Model under the Risk Thresh?old：LINM-RT）。該問題的研究將通過建立混合整數(shù)規(guī)劃模型并用拉格朗日松弛算法來解決。

1　模型建立

考慮風(fēng)險閾值的物流基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)布局模型（Logistics Infrastructure Network Model under the Risk Threshold：LINM-RT）是在隨機不確定的供應(yīng)鏈中斷風(fēng)險下，力求達到減少風(fēng)險事件對供應(yīng)鏈布局產(chǎn)生影響的優(yōu)化設(shè)計問題。LINM-RT的目標(biāo)是使供應(yīng)鏈上的物流基礎(chǔ)設(shè)施因為中斷事件而造成的維修成本和預(yù)期的運輸成本最小化。

1.1基本假設(shè)

本研究假設(shè)供應(yīng)鏈上N表示所有節(jié)點的節(jié)點集，j是其中的一個節(jié)點，且 j∈N，它既可以是消費者需求點又可以是物流設(shè)施建設(shè)的備選點。在每個節(jié)點上，本研究可以建造一個“不可靠設(shè)施”，成本為∫Uj，發(fā)生中斷事件的概率是qj(0∫Uj。需求點i最初都可以由不可靠物流設(shè)施或者可靠物流設(shè)施送貨，如果發(fā)生中斷事件，離需求點最近的可靠物流設(shè)施要為其提供備用貨物。每件貨物的運輸成本從節(jié)點i到節(jié)點j為；如果發(fā)生中斷事件，從節(jié)點i到節(jié)點j的運輸成本為。本研究假定≥，因為備用貨物的采購和生產(chǎn)一般都會比日常采購和生產(chǎn)多出應(yīng)急成本，也可以稱之為懲罰成本。當(dāng)有需求的點附近設(shè)施是可靠設(shè)施時，本研究認(rèn)為這種情況下由可靠物流設(shè)施給這個點進行初始配送和備貨配送的成本是一樣的，為。為了適應(yīng)目標(biāo)函數(shù)，本研究設(shè)=-，作為每件貨物運輸節(jié)約的成本。LINM-RT供應(yīng)鏈上的物流設(shè)施被認(rèn)為是有充足能力去滿足所有的需求配送的，并且供應(yīng)鏈上每個節(jié)點都對應(yīng)著一個需求hi。

1.2模型參數(shù)說明（見表1）

表1　模型參數(shù)表

1.3決策變量（見表2）

表2　模型決策變量表

2　網(wǎng)絡(luò)模型設(shè)計

2.1目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)上面的假設(shè)和各種參數(shù)和變量的設(shè)定，本研究建模如下：模型（1）包含五個部分。前兩個部分是建造

不可靠物流設(shè)施和可靠物流設(shè)施的固定成本。第三部分表示當(dāng)初始發(fā)貨可以滿足需求時的運輸成本（初始發(fā)貨的點可能是不可靠物流設(shè)施或可靠物流設(shè)施）。第四部分表示當(dāng)需要備用貨物來滿足需求時的運輸成本。第五部分為當(dāng)一個可靠物流設(shè)施點既為其中的需求點進行初始發(fā)貨又為受不可靠物流設(shè)施影響的需求點發(fā)送備用貨物時節(jié)約的運輸成本。

2.2約束條件

約束（2）供應(yīng)鏈上的物流設(shè)施會對每一個需求點進行服務(wù)，有的是初始配送滿足的需求，有的是備用貨物滿足的需求。約束（3）表示初始配送一定是一個已設(shè)立的物流設(shè)施完成的，而備用貨物的配送一定是可靠物流設(shè)施完成的。約束（4）說明任何配送所節(jié)約的成本都僅被認(rèn)為是當(dāng)一個可靠物流設(shè)施點既為其中的需求點進行初始發(fā)貨又為受不可靠物流設(shè)施影響的需求點發(fā)送備用貨物時節(jié)約的運輸成本。約束（5）表示為避免不必要的浪費，本研究不能在同一點上既建立可靠物流設(shè)施又建立不可靠物流設(shè)施。約束（6）說明在供應(yīng)鏈設(shè)施建設(shè)中，本研究至少建立一個可靠物流設(shè)施來抵御可能發(fā)生的風(fēng)險，給受中斷事件影響的需求點配送備用貨物。約束（7）和（8）是整數(shù)規(guī)劃的約束。

2.3改進的算法

LINM-RT模型可以使用CPLEX這樣的優(yōu)化軟件進行計算，但是計算時間和空間資源消耗隨著數(shù)據(jù)規(guī)模的增加而加大。由此考慮，本研究設(shè)計了一個基于拉格朗日松弛定理（LR）的算法。

本研究加入拉格朗日乘數(shù)l和μ使約束條件（2）松弛，則目標(biāo)函數(shù)變?yōu)椋?/p>

約束條件依舊為式（3）~式（8）。

本研究試著用X和Y將目標(biāo)函數(shù)最小化，用λ 和μ使函數(shù)最大化。目標(biāo)函數(shù)（1）進一步可以被改寫為：

其中：αij=(1-qj)hi-λi,βij=qjhi-μi,γij=qjhi

如果（10）中拉格朗日乘數(shù)λ和μ取固定值，它會為目標(biāo)函數(shù)（1）提供了一個下限。本文用如下步驟處理（10）。

步驟1：判斷不可靠設(shè)施在j點的值（例如，使XjU=1）。如果αij=(1-qj)hi-λi<0，本文可以設(shè)YiPj=1。因此，如果=1，那么獨有的固定設(shè)施成本為=∑i∈Nmin(0,αij)=∑i∈Nmin(0,(1-qj)hi-λi)。

ij

步驟4：在設(shè)置完選址變量后，本文得出∑j∈N≥1，計算下限的問題由選址變量來決定。如果∑j∈N=0，本文需要修改下面的選址決策，讓N1={j|

=1}，并且N0={j|=1}?，F(xiàn)在本文設(shè)V1=minj∈N{+-(+)}，并且 j1= arg minj∈N1{+-(+)}。相似地，設(shè)V0= minj∈No{+}，并且 j0=arg minj∈N0{}。最終，本文設(shè)：如果V1

一旦知道了選址決策變量的值，只需根據(jù)上述關(guān)系簡單地進行計算。計算上限步驟同計算上限步驟。

初始化：本研究初始化拉格朗日乘數(shù)λ和μ，得：

改進：國外學(xué)者Daskin（1995）都用標(biāo)準(zhǔn)梯度優(yōu)化對拉格朗日乘數(shù)每次迭代進行改進。下面就是改進后的迭代公式：

dλi(

n)和diμ(n)代表在第nth次迭代后λ和μ分別的方向，此時迭代步驟的規(guī)模為t(n)。特別地，

步驟0：本研究先計算了在第nth次迭代后的改進方向：

C是克羅德阻尼常數(shù)（Crowder damping con?stant）。本研究設(shè)C=0.3，==0(?i)。

步驟1：本研究接下來計算迭代步長（step size）t(n)：

α(n)是在第n次迭代下的常數(shù)，初始值為2.0，并當(dāng)24次連續(xù)迭代失敗后減半到達下限值。UB代表通過第n次迭代的上限值。ζ(n)代表第n次迭代的下限值。

步驟2：最終，本研究改進了式（11）中的λ 和μ。

3　中斷風(fēng)險閾值研究

在這一小節(jié)，將LINM-RT模型進行深入分析。通過推導(dǎo)證明發(fā)現(xiàn)在中斷風(fēng)險發(fā)生概率達到極值時，模型可以轉(zhuǎn)換為UFLP（Uncapacitated Fixed Charge Location Problem）問題，即無固定容量限制的布局問題。最終，發(fā)現(xiàn)了在一些情況下，中斷風(fēng)險概率存在閾值。

定理1.在LINM-RT模型中存在一個中斷風(fēng)險事件發(fā)生的概率閾值qˉth(<1)，如果qj≥qˉth，最優(yōu)方案是僅建立理論上能抵御中斷風(fēng)險事件的可靠物流設(shè)施。此時，模型最優(yōu)化布局正好與UFLP問題的布局一樣，設(shè)施成本為，距離為。

證明：上述模型的參數(shù)說明中已經(jīng)提到q是中斷風(fēng)險發(fā)生的概率。本研究可以假設(shè)一種情況S:(XU,XR,YP,YB,YS)，其中包含至少一處不可靠物流設(shè)施，變量XU,XR和YP,YB,YS分別代表優(yōu)化后的布局位置和配送方案。本研究再假設(shè)另一種情況:(0,XR,YB,YB,YB)。

ZSCRDP(S)是在S情況下LINM-RT問題的總成本。因為≥，并且，所以無論q取何值，都有：

j∈N滿足：

設(shè)ZUFLP(XR,YB)是UFLP的總成本，設(shè)施成本為，距離為。XR,YB是布局分配變量。這等同于ZSCRDP(0,XR,YB,YB,YB)。即：

ZSCRDP(XU,XR,YP,YB,YS)≥ZSCRDP(0,XR,YB,YB,YB)

X*,Y*是UFLP的最優(yōu)解，此時設(shè)施成本為，距離為。所以在LINM-RT模型中存在一個中斷風(fēng)險發(fā)生閾值qˉth(<1)，如果qj≥qˉth，此時式（12）說明了模型最優(yōu)化布局正好與UFLP問題的布局一樣，設(shè)施成本為，距離為（證明結(jié)束）。

推論1.中斷風(fēng)險概率閾值qˉth范圍為

綜上定理1和推論1，當(dāng)中斷風(fēng)險概率大于閾值時(qj≥qˉth)，最優(yōu)方案是將所有設(shè)施都變?yōu)閹в蟹烙鶛C制的可靠物流設(shè)施。一旦加固了所有的節(jié)點設(shè)施，LINM-RT模型中的網(wǎng)絡(luò)將成為一個理論上“無風(fēng)險”（risk free）的環(huán)境，這類問題也就可以直接轉(zhuǎn)化為UFLP問題來求解最優(yōu)化方案。

下面，本研究考慮當(dāng)中斷風(fēng)險概率很小時的情況。

證明：考慮一個可行的方案： (XU,XR,Yp, YB,YS)，其中包括了至少兩個能抵御中斷事件的可靠物流設(shè)施?？梢愿爬椤苆∈N=k(≥2)。還可以考慮另一個可行的方案，把S其中所有的可靠物流設(shè)施轉(zhuǎn)換成不可靠物流設(shè)施，只留下一個。（因為LINM-RT中可靠物流設(shè)施最少的數(shù)量是1個。）更精確地，設(shè)S?:(X?U,X?R,Y?p,Y?B,Y?S)，則有如下：

對于任意中斷風(fēng)險概率q，本研究都可以得出：

因為δ>0，可以找到一個概率q滿足ZSCRDP(XU,XR,YP,YB,YS)≥ZSCRDP(X?U,X?R,Y?P,Y?B,Y?S)，趨近于0。即在給定的S中，如果qj<，總存在一個風(fēng)險閾值，此時最優(yōu)化方案是精確地加固一個設(shè)施是其為理論上能抵御中斷事件的可靠物流設(shè)施。

接下來本研究考慮UFLP問題，把總成本設(shè)為ZUFLP(Xˉ,Yˉ)，其中設(shè)施成本為，距離為，=?+,Yˉ=??？梢哉业揭粋€中斷風(fēng)險概率q，則：

本研究可以通過求解賦權(quán)重心問題（1-medi?an location problem）來確定哪個設(shè)施需要被加固成為理論上能抵御中斷事件的可靠物流設(shè)施。因為設(shè)施加固費用是個常數(shù)，從正在運營的設(shè)施中找到一個設(shè)施進行加固，要保證在中斷風(fēng)險發(fā)生時總運輸成本最小。設(shè)N′為一個包括所有定理2中的節(jié)點的集合，本研究推出如下推論。

推論2：在定理2中的UFLP選擇一個設(shè)施進行加固的問題可以運用有如下賦權(quán)重心法來確定：

約束條件：

4　算例分析

本文模擬場景為大型企業(yè)在遇到中斷事件時，全國范圍內(nèi)供應(yīng)鏈選址策略的調(diào)整方案。數(shù)據(jù)選擇了中國263個大城市作為模型中的節(jié)點。中斷風(fēng)險概率qj被假定為獨立事件，且是隨機的，范圍被設(shè)為U~[0.01,0.2]之間。不可靠設(shè)施成本由固定成本和由該地區(qū)人口多少決定的可變成本決定。例如：=500000+1.7hj。每個節(jié)點的加固成本由中斷風(fēng)險發(fā)生概率的線性函數(shù)決定。例如，δj=-=5000000qj，這樣的城市發(fā)生中斷風(fēng)險概率越高就要花費更多去加固節(jié)點。在假設(shè)中，本文把加固成本定為不可靠設(shè)施固定成本的25%。任意兩城市之間的距離按照經(jīng)緯度來計算。本文設(shè)c=0.002為每一件貨物運送的單位距離成本。備貨運輸成本為=。算法用C++編碼，用IBM workstation進行計算（2.4GHz，雙核處理器，8GB內(nèi)存）。在運行12s進行265次迭代后，最優(yōu)化的擬合誤差在0.0008%（上限和下限值差的平均值）。方案中有12個不可靠設(shè)施和10個可靠設(shè)施（不可靠設(shè)施：鞍山，德惠，張家口，淄博，連云港，咸陽，綿陽，懷化，九江，金華，湛江，惠州；可靠設(shè)施：沈陽，石家莊，常州，運城，宜賓，拉薩，烏魯木齊，?？?，贛州，東莞）。初始既為可靠設(shè)施的點只被指派1次，初始為不可靠設(shè)施的點被指派2次。目標(biāo)函數(shù)最終計算成本為45 878 459元。本文也通過改變中斷風(fēng)險概率的方式驗證了定理1和2。圖1（a）是當(dāng)中斷風(fēng)險大時的計算結(jié)果（驗證定理1），圖1（b）是當(dāng)中斷風(fēng)險q小時的結(jié)果（驗證定理2）。本文分別設(shè)q=0.2和0.01，其他變量都無變化。通過兩個例子的比較，可以發(fā)現(xiàn)可靠設(shè)施的建設(shè)數(shù)量由中斷風(fēng)險概率q來決定。

圖1　定理驗證計算結(jié)果

5　結(jié)論

本研究通過建立混合整數(shù)規(guī)劃模型并用拉格朗日松弛算法對其進行求解。在模型中，本研究考慮了設(shè)施的最優(yōu)數(shù)量和布局方案，并且考慮了各個物流設(shè)施對消費者需求的配送情況。結(jié)論如下：

（1）建立LINM-RT模型并求解，研究設(shè)施的布局方案和不同類型設(shè)施之間的關(guān)系，分析中斷風(fēng)險概率和消費者的需求對布局產(chǎn)生的影響和表現(xiàn)。

（2）本研究分析了在已知條件充足的情況下，如何將LINM-RT模型簡化為經(jīng)典的UFLP設(shè)施布局問題模型。

（3）本研究用拉格朗日松弛算法快速地去求解LINM-RT模型，并證明風(fēng)險閾值的存在。

（4）本研究通過算例來模擬中斷風(fēng)險物流基礎(chǔ)設(shè)施的布局方案。

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Logistics Infrastructure Network Model under Risk Threshold

LI Han-qing1,JIANG Cai-liang1,HUA Guang1,WEN Ke-yu2
（1．China Academy of Transportation Sciences,Beijing 100029,China；2.Economic and Planning Research Institute,Ministry of Railway,Beijing 100038,China）

Related to the application of operations research and theoretical studies,a model of logistics infrastructure network design under risk threshold(Logistics Infrastructure Network Model under the Risk Threshold:LINM-RT)was proposed.The facilities on the logistics network were divided into two types"unreliable logistics facilities"and"reliable logistics facilities".Different facility layout plans were proposed through distribution of various facilities for consumer demand and different types of facili?ty.The impact and performance of disruption risk probability and consumer′s demand generated on site were analyzed.How to reduce LINM-RT model to the classic non-facility capacity constraints facility problem model and use Lagrangian to solve LINM-RT model quickly were analyzed.The results prove the existence of the risk threshold.With examples,it is illustrated that options of logistics infrastructure network layout under different probabilities of risk are different.

risk threshold;supply chain risk;logistics network;lagrangian algorithm;layout

F287.3

A

2095-9931（2015）01-0106-08

10.16503/j.cnki.2095-9931.2015.01.018 第1卷 第1期|2015年2月

2014-12-30