吳停停，費(fèi)為銀，梁 勇

奈特不確定下帶高水印激勵(lì)費(fèi)的對(duì)沖基金最優(yōu)投資問(wèn)題研究

吳停停，費(fèi)為銀?，梁 勇

（安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽蕪湖 241000）

研究了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格具有Knight不確定下對(duì)沖基金管理者的最優(yōu)投資決策問(wèn)題.對(duì)沖基金管理者以獲得的終端費(fèi)用（包括管理費(fèi)和業(yè)績(jī)費(fèi)）預(yù)期效用的最大化為目標(biāo)，此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)受G-布朗運(yùn)動(dòng)干擾.然后通過(guò)非線性期望下隨機(jī)分析和隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，推導(dǎo)出帶有特定邊界條件值函數(shù)的G-HJB方程，得出相應(yīng)的基金管理者最優(yōu)投資組合策略.

Knight不確定；最優(yōu)投資組合；對(duì)沖基金；高水??；G-HJB方程

由于1997年的亞洲金融危機(jī)和1998年美國(guó)的中長(zhǎng)期資本管理公司的瀕臨崩潰，對(duì)沖基金問(wèn)題已經(jīng)獲得了資金管理者們和投資者們極大的關(guān)注.對(duì)沖基金意為“風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖過(guò)的基金”，起源于50年代初的美國(guó)，其操作的宗旨在于利用期貨、期權(quán)等金融衍生產(chǎn)品以及對(duì)相關(guān)聯(lián)的不同股票進(jìn)行實(shí)買空賣、風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的操作技巧，在一定程度上可規(guī)避和化解證券投資風(fēng)險(xiǎn).但共同基金是參照基準(zhǔn)指標(biāo)分配投資給不同的部門、產(chǎn)業(yè)、證券，它追求相對(duì)于基準(zhǔn)和同行的相對(duì)收益.相比共同基金而言，對(duì)沖基金有很大的自由性和靈活性.業(yè)績(jī)費(fèi)和激勵(lì)費(fèi)是對(duì)沖基金重要的特征，高額的獎(jiǎng)勵(lì)費(fèi)用可以激勵(lì)基金經(jīng)理人獲得更高超額收益.

Guasoni［1］等研究了對(duì)沖基金管理者得到業(yè)績(jī)費(fèi)、管理費(fèi)及業(yè)績(jī)費(fèi)的多少與基金利潤(rùn)成比例，管理費(fèi)的多少與管理資產(chǎn)成比例.管理者們選擇常Merton證券投資組合，他們有不變風(fēng)險(xiǎn)厭惡及不變投資機(jī)會(huì)，在長(zhǎng)期期限內(nèi)使得費(fèi)用的預(yù)期效用最大化.對(duì)大部分管理者而言，這種類似獎(jiǎng)金的激勵(lì)費(fèi)僅當(dāng)回報(bào)率超過(guò)一些要求回報(bào)率或者高水?。℉WM）的時(shí)候才會(huì)被支付，這就是高水印條款的意義.Panageas［2］等研究了對(duì)沖基金管理者的投資選擇問(wèn)題.考慮了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性管理者使得未來(lái)費(fèi)用的當(dāng)前價(jià)值最大，而且對(duì)沖基金管理者是通過(guò)高水印合約被補(bǔ)償?shù)?而就對(duì)沖基金業(yè)績(jī)費(fèi)而言，Goetzmann［3］等指出對(duì)資金管理者來(lái)講，對(duì)沖基金業(yè)績(jī)費(fèi)是可以估價(jià)的，且代表了一種基于投資者資產(chǎn)的一個(gè)重要比例的權(quán)益.此外，Hodder［4］等探討了一個(gè)典型的對(duì)沖基金合約激勵(lì)的影響，其管理者擁有冪型效用.在1年時(shí)期下，這個(gè)管理者表現(xiàn)出的風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)是隨著基金價(jià)值急劇地改變而改變的.Lan［5］等認(rèn)為對(duì)沖擊基金管理者是通過(guò)管理資產(chǎn)上的管理費(fèi)用來(lái)補(bǔ)償?shù)?，且激?lì)費(fèi)伴隨著高水?。℉WM）.吳志彪［6］研究了高水條款對(duì)于對(duì)沖基金期權(quán)（在不影響理解的情況下，通稱高水標(biāo)條款的期權(quán)）定價(jià)的影響.謝飛［7］等通過(guò)研究正常時(shí)期和金融危機(jī)前后對(duì)沖基金規(guī)模與主要資產(chǎn)收益率的情況.

而在現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中，經(jīng)常會(huì)面臨兩種不確定，即：概率不確定和Knight不確定（模型不確定或者含糊）.Knight不確定是由于不完備的信息、不明確的數(shù)據(jù)及不精確的概率等引起，常常會(huì)和優(yōu)化問(wèn)題緊緊相連.Chen［8］等通過(guò)連續(xù)時(shí)間多先驗(yàn)效用跨期形式的刻畫，解釋了“風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)”（risk premium）和獨(dú)立“含糊溢價(jià)”（ambiguity premium）現(xiàn)象.第一次給出了劃分風(fēng)險(xiǎn)和含糊的標(biāo)準(zhǔn)，將諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者Lucas的理性期望資產(chǎn)定價(jià)模型發(fā)展為Chen-Epstein的資產(chǎn)定價(jià)模型.

對(duì)于Knight不確定環(huán)境下的最優(yōu)投資組合問(wèn)題也有學(xué)者做了一系列的研究.費(fèi)為銀［9］等研究了投資者在Knight不確定下帶有通脹的最優(yōu)消費(fèi)和投資決策，其中區(qū)別含糊與含糊態(tài)度.Fei［10］在區(qū)別含糊和風(fēng)險(xiǎn)的情形下，采用遞推多先驗(yàn)效用函數(shù)，研究帶有預(yù)期和含糊的最優(yōu)消費(fèi)和投資問(wèn)題.Fei［11］運(yùn)用α-極大極小期望效用（α-maxmin expected utility）模型來(lái)區(qū)別含糊（決策者的主觀信仰）和含糊態(tài)度（決策者的品味），研究最優(yōu)投資消費(fèi)問(wèn)題.Knight不確定的最優(yōu)消費(fèi)投資問(wèn)題在文獻(xiàn)［12-14］中得到進(jìn)一步研究.

但是，文獻(xiàn)［9-14］中的不確定性是資產(chǎn)價(jià)格預(yù)期收益率具有Knight不確定性，而G-Brown環(huán)境下資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率具有Knight不確定性，如何解決這類問(wèn)題是一個(gè)值得研究的課題.為此，Peng研究了非線性期望，特別是次線性期望，得出了非線性期望空間下的大數(shù)定律和中心極限定理，提出了最大化分布、G-標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布以及G-布朗運(yùn)動(dòng)，研究了G-伊藤積分、G-鞅、Jensen不等式以及相應(yīng)的隨機(jī)微分方程等.接著Fei在此基礎(chǔ)上提出G-Brown運(yùn)動(dòng)下的最大化原理和相應(yīng)的HJB方程，提出在金融市場(chǎng)中受到G-布朗運(yùn)動(dòng)干擾的隨機(jī)控制系統(tǒng)，對(duì)于描述真實(shí)世界的隨機(jī)性和模型不確定性是非常重要的.并建立了在模型不確定下連續(xù)時(shí)間的效用模型，提供了帶有模型不確定的隨機(jī)控制系統(tǒng)的框架以及其在最優(yōu)消費(fèi)和投資組合方面的應(yīng)用.而Fei研究了通脹環(huán)境下帶高水印激勵(lì)機(jī)制的對(duì)沖基金最優(yōu)投資決策問(wèn)題.文中對(duì)沖基金管理者以獲得的終端實(shí)際費(fèi)用（包括管理費(fèi)和業(yè)績(jī)費(fèi)）預(yù)期效用的最大化為目標(biāo)，其中實(shí)際費(fèi)用是名義費(fèi)用經(jīng)通脹折現(xiàn)所得，這就是與本文主要區(qū)別之處.

本文考慮了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)環(huán)境中資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率具有Knight不確定性的最優(yōu)投資組合問(wèn)題.建立了基金管理者在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資的模型，同時(shí)財(cái)富過(guò)程受到對(duì)沖基金激勵(lì)機(jī)制和高水印條款的影響，基金管理者以獲得的終端財(cái)富預(yù)期效用最大化為目標(biāo).然后通過(guò)非線性期望下隨機(jī)分析和隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法推導(dǎo)出帶有特定邊界條件的值函數(shù)的G-HJB方程（非線性期望下的HJB方程），得出對(duì)沖基金管理者最優(yōu)投資組合策略.

1　模型

首先給出次線性期望空間（Ω，H，E E）的概念.這里Ω是給定的狀態(tài)集合并且H是定義在Ω上的實(shí)值函數(shù)的一個(gè)線性空間，這個(gè)空間H可以被看做隨機(jī)變量的空間.由文獻(xiàn)可知，存在一個(gè)有界的、凸的且是閉子集Θ?Σ（d）使得

一個(gè)對(duì)沖基金管理者代表投資者進(jìn)行交易，而且這個(gè)投資者充分地投資在基金上.潛在意義上對(duì)沖基金管理者和投資者有不同的風(fēng)險(xiǎn)厭惡，且不考慮中期消費(fèi).管理者選擇基金投資策略使得他們來(lái)自累計(jì)費(fèi)用的期望效用最大化.當(dāng)他們有回報(bào)的時(shí)候，費(fèi)用只能被投資在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上.

對(duì)沖基金管理者在一個(gè)常利率為r的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)伴有超額期望回報(bào)率μ和波動(dòng)率γ的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上進(jìn)行交易.風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格St滿足.管理者得到兩種類型的費(fèi)用，其中，管理費(fèi)為基金資產(chǎn)Xt的φ比例，業(yè)績(jī)費(fèi)為超過(guò)高水印Xt?的交易利潤(rùn)α比例.基金持續(xù)記錄最大值定義為=這兩種類型的費(fèi)用是連續(xù)被扣除的，在一個(gè)小的時(shí)間區(qū)間dt內(nèi)，管理費(fèi)為φXtdt.業(yè)績(jī)費(fèi)是通過(guò)以下方式累積的：交易利潤(rùn)（超出高水印的部分）的每一美元可分為支付給管理者的α美元，余下的1-α美元被放回到基金中.因此，業(yè)績(jī)費(fèi)就等于高水印凈增加值倍.

假設(shè)管理者選擇投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的財(cái)富比例為π，于是基金資產(chǎn)Xt滿足

而從基金中扣除的費(fèi)用Ft要被放在基金管理者的賬戶中，但是它們只能被投資在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上，則支付給基金管理者的費(fèi)用Ft滿足

另外，對(duì)沖基金管理者和投資者有冪型效用函數(shù)，對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡分別是γM和γI.對(duì)沖基金管理者來(lái)自實(shí)際費(fèi)用的最大化預(yù)期效用為

而式（2）中的有限期限問(wèn)題沒(méi)有閉型解，這是因?yàn)樽顑?yōu)投資組合依賴于投資期、相對(duì)于高水印水平X?t的基金資產(chǎn)及累計(jì)費(fèi)用Ft.為了推導(dǎo)出一個(gè)明確的解，我們著眼于在一個(gè)長(zhǎng)期投資期的情形下進(jìn)行討論.在伴有杠桿約束、下方約束和交易成本的投資組合選擇中，這種方法被證明是有效的.同時(shí)我們可以觀察到，在式（2）中費(fèi)用的最大化預(yù)期效用和終端財(cái)富的最大化預(yù)期效用是等價(jià)的，且當(dāng)沒(méi)有管理費(fèi)，即φ= 0時(shí)，這個(gè)等價(jià)更加明顯.從而，可以利用隨機(jī)控制的方法解出滿足終端財(cái)富的最大化預(yù)期效用的最優(yōu)投資組合權(quán)重，這個(gè)最優(yōu)投資組合權(quán)重就等價(jià)于基金管理者投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的比例.

2　模型的解

運(yùn)用隨機(jī)控制標(biāo)準(zhǔn)啟發(fā)式解的方法，推導(dǎo)出管理者投資組合問(wèn)題的解.為方便起見，假設(shè)p=1-γM，則終端財(cái)富預(yù)期效用最大化為

式（3）的有利之處就是關(guān)于狀態(tài)變量對(duì)（Xt，X?t）的齊次性.考慮到這個(gè)問(wèn)題的動(dòng)態(tài)模型為

為解決式（3）最優(yōu)化問(wèn)題，首先由G期望中相關(guān)定理得出G-HJB方程（見Fei和Fei［16］），然后解出相應(yīng)的偏微分方程.因此，G-HJB方程為

這里的值函數(shù)是有齊次性的，即V（λx，λz，t）=λpV（x，z，t）.因此.通過(guò)求偏導(dǎo)，齊次性就意味著x Vx+z Vz=p V.因此，簡(jiǎn)化的值函數(shù)u（x，t）=p V（x，1，t）滿足系統(tǒng)

式（5）把u看作是3個(gè)變量的函數(shù)：剩余期限T-t及相對(duì)高水印的基金價(jià)值x.由于值函數(shù)u（x，T）通常是伴隨期限T成指數(shù)性增加，且要想找到長(zhǎng)期期限問(wèn)題的解，需要解決以下兩個(gè)問(wèn)題：①u（x，T）的增長(zhǎng)率g；②極限ω（x）=limT→∞e-gTu（x，T）.這個(gè)極限滿足式（5），除了終端條件u（x，T）=1.

為了找到長(zhǎng)期期限的解，猜測(cè)解的形式為u（x，t）=ce-pβtw（x），由條件u（t，0）=1可以確定c，最優(yōu)的β之后可以被選出來(lái).而且，ut=（-pβ）ce-pβtw（x），ux=ce-pβtwx，uxx=ce-pβtwxx.

則式（5）可變?yōu)?/p>

組合為

綜合以上分析，可以得到下面命題.

命題1 假設(shè)對(duì)沖基金管理者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)γM為常數(shù)，p=1-γM，那么基金管理者的最優(yōu)投資組合權(quán)重為

從命題1可以看出，當(dāng)不支付管理費(fèi)且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為零時(shí)，對(duì)沖基金管理者投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的權(quán)重受到支付給基金管理者業(yè)績(jī)費(fèi)的比例（α）和相應(yīng)的管理者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)（γM）的影響，其面對(duì)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率取最大可能值ˉσ2.

3　小結(jié)

研究在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率具有Knight不確定時(shí)，對(duì)沖基金管理者受到高水印業(yè)績(jī)費(fèi)激勵(lì)的對(duì)沖基金投資組合問(wèn)題.研究最大波動(dòng)率（ˉσ）和支付給管理者的業(yè)績(jī)費(fèi)（α）對(duì)對(duì)沖基金最優(yōu)投資策略的影響.

當(dāng)管理者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡γM＞1時(shí)，對(duì)沖基金管理者為低風(fēng)險(xiǎn)容忍投資者，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最大波動(dòng)率（ˉσ）越大會(huì)使得投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資比例（π）增大；風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最大波動(dòng)率（ˉσ）越小會(huì)使得投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資比例（α）減少，同時(shí)隨著支付給管理者的業(yè)績(jī)費(fèi)的比例（α）的加大，對(duì)沖基金管理者將減少在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資.當(dāng)管理者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡γM＜1時(shí)，對(duì)沖基金管理者為低風(fēng)險(xiǎn)容忍投資者，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最大波動(dòng)率（ˉσ）越大會(huì)使得投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資比例（π）減少；風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最大波動(dòng)率（ˉσ）越小會(huì)使得投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資比例（π）增加，同時(shí)隨著支付給管理者的業(yè)績(jī)費(fèi)的比例（α）的加大，對(duì)沖基金管理者將增加在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資.

通過(guò)對(duì)對(duì)沖基金的業(yè)績(jī)費(fèi)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)等相關(guān)因素進(jìn)行分析，得出了更具一般性的結(jié)論，對(duì)對(duì)沖基金策略分析具有現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義.

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Study of optimal portfolio of hedge fund with high water-mark incentive fees under knightian uncertainty

WU Ting-ting，F(xiàn)EI Wei-yin?，LIANG Yong
（College of Mathematics and Physics，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China）

This paper studies the strategy of the fund manager＇s portfolio as the volatility of the asset price has Knightian uncertainty.The hedge fund managers maximize the expected utility of the terminal fees including management fees.Performance fees and a risky asset are disturbed by a G-Brownian motion. Then the corresponding G-HJB（G-Hamilton-Jacobi-Bellman）equation of the value function with specific boundary conditions is deduced through the stochastic calculus and the stochastic dynamic programming method under nonlinear expectations，and the corresponding optimal portfolio strategy of the fund manager is obtained.

knight uncertainty；optimal portfolio；hedge fund；high water mark；H-HJB equation

O211.63；F224.11

A

1672-2477（2015）02-0084-05

2015-02-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71171003）

吳停停（1986-），女，安徽阜陽(yáng)人，碩士研究生.

費(fèi)為銀（1963-），男，安徽蕪湖人，教授，碩導(dǎo).