李剛

函數(shù)與方程思想，同分類討論、類比、化歸、數(shù)形結(jié)合等思想一起被列為高中數(shù)學的幾個重要的基本思想之一，函數(shù)與方程貫穿了整個高中數(shù)學的教學始終。無論是在求自變量值域、不等式求解、求極值、以及數(shù)列的問題中，函數(shù)與方程思想都發(fā)揮著重要的作用。通過對所給數(shù)量的關(guān)系仔細觀察、分析、判斷、發(fā)現(xiàn)數(shù)量間由此及彼的聯(lián)系，建立起函數(shù)模型，能夠更好地解決相關(guān)數(shù)學難題。函數(shù)與方程，二者相互聯(lián)系又相互轉(zhuǎn)化，辯證又統(tǒng)一地存在于高中數(shù)學教程中，在答題和解題技巧中發(fā)揮著不可或缺的作用。

數(shù)學教學函數(shù)思想函數(shù)與方程函數(shù)與方程是兩個不同的數(shù)學概念，二者緊密聯(lián)系，又不可分割。在高中數(shù)學中，函數(shù)與方程涉及到多個知識面的考查與運用，每年在高考中都占有固定的分額，是高考的必考和熱門項目。因此，學生在高中數(shù)學的學習中，必須熟練地掌握函數(shù)與方程和性質(zhì)與特性，靈活地運用函數(shù)與方程的思想到解題當中來，才能在這塊必考知識點上穩(wěn)操勝券。

在數(shù)學解題中，函數(shù)與方程思想可以將復雜的問題簡單化，巧妙轉(zhuǎn)化變量之間的關(guān)系，以函數(shù)圖形代替抽象數(shù)量關(guān)系，搭建解決抽象問題的橋梁?；睘楹?，化無限為有限，是函數(shù)與方程思想的精妙所在。

一、函數(shù)的思想

函數(shù)描繪了定量與變量間的抽象關(guān)系，函數(shù)思想即通過已知的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建相關(guān)的函數(shù)模型，并通過函數(shù)模型的建立來研究、分析問題，最終解決問題的數(shù)學思想策略。函數(shù)是一個工具，是描繪客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，在高中數(shù)學中，函數(shù)思想是高中數(shù)學教學的核心主線之一。函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性、函數(shù)的最值和圖像變換等性質(zhì)在解題應用中無處不在。利用函數(shù)思想，總是可以將紛雜的問題條理化，化繁為簡，化無形為有形，巧妙地將問題化解。

例如，2011年陜西省高考數(shù)學試卷中有這樣一道題目：

可見，熟練地了解一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，以及三角函數(shù)等各函數(shù)的特性，是利用函數(shù)思想解決問題的基本條件。在了解函數(shù)特性的基礎(chǔ)上，挖掘各變量的隱含條件，構(gòu)建出相關(guān)的函數(shù)模型，是解題的關(guān)鍵。

二、方程的思想

方程是建立等量的關(guān)系，并由這些已知的等價關(guān)系進行推斷，得出未知的解的過程。方程可以看作是函數(shù)值為零的特例，方程組的解可以看作是函數(shù)圖形的交點。方程的思想是利用方程的性質(zhì)來分析數(shù)學問題中的變量關(guān)系，構(gòu)建相關(guān)的方程或方程組，并利用其去研究、分析、解決問題的思想策略。作為一個數(shù)學思想，方程思想在數(shù)學發(fā)展史上有著重要的作用。與函數(shù)思想相比，方程思想是一種動中求靜的思想，在動態(tài)變量中研究等量關(guān)系，從而未知轉(zhuǎn)化為已知，解決相關(guān)難題。

利用方程思想，便是要在表面的關(guān)系中挖掘隱藏條件，尋找變量中的代數(shù)關(guān)系，建立方程組，解決方程中的未知變量。方程思想在代數(shù)、解析幾何中都有著廣泛的應用。數(shù)學教師在授課中要培養(yǎng)學生建立方程的思想意識，將方程思想運用到現(xiàn)實的數(shù)學問題當中去。

三、函數(shù)與方程思想的運用

函數(shù)與方程知識涉及的知識面廣、范圍大，在方程的求解、函數(shù)的值域、不等式和數(shù)列問題等知識點中都具有廣泛的應用：

1.方程的求解。有一些方程的求解，也即是函數(shù)圖象有相交點，方程求解的問題可頃刻間轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題了，這就是方程問題的函數(shù)化，其本質(zhì)也是數(shù)形結(jié)合思想，所以數(shù)學幾個基本思想在本質(zhì)上是相通的。

2.函數(shù)的定義域求解。函數(shù)本是描述變量與參量的一個數(shù)學模型，探索變量之間的取值范圍和最值是常見的運用函數(shù)方程思想的案例。在求解的過程中，充分利用函數(shù)特性，靈活轉(zhuǎn)換方程與函數(shù)的關(guān)系，才能準確求解。

3.幾何圖形的圖象關(guān)系。方程思想在解析幾何中處于主導地位，在求曲線方程，判斷直線與曲線，曲線與曲線的位置關(guān)系上，方程是重要的解題思想。有些直線與圓、曲線的位置關(guān)系，需要通過解二次元的方程得到求解，而有些求直線與曲線的最值問題時，往往也需要構(gòu)建函數(shù)，利用其性質(zhì)來求解。

4.不等式求解問題。在處理不等式的恒成立、求解問題時，通常采用建立相關(guān)函數(shù)，通過函數(shù)性質(zhì)確定變量的取值范圍與最值，從而解決問題。

5.數(shù)列問題。從映射、函數(shù)的觀點來看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集的函數(shù)，而數(shù)列的通項公式也即函數(shù)和解析式，所以說，數(shù)列問題的本質(zhì)仍然是函數(shù)問題，數(shù)列的問題也即函數(shù)的問題，運用函數(shù)來解決數(shù)列問題是首當其沖的不二選擇。

四、函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)換

函數(shù)與方程二者相互聯(lián)系，辯證統(tǒng)一，完美地棲身于高中數(shù)學的框架之中。函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題，方程問題亦可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，二者互為工具，互相轉(zhuǎn)化，而數(shù)形結(jié)合是實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)換的橋梁。把數(shù)量關(guān)系和幾何圖象結(jié)合起來，實現(xiàn)二者的靈活轉(zhuǎn)換，可以將抽象的數(shù)學難題輕松解決。學生在遇到相關(guān)難題時，要熟練掌握函數(shù)與方程思想的精髓，靈活運用二者的轉(zhuǎn)換關(guān)系，只有這樣，才能在考試中起到事半功倍的作用。

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