☉山東省沂南縣教育局　李樹臣

注重?cái)?shù)學(xué)實(shí)質(zhì)突出內(nèi)在聯(lián)系
——青島版義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)九年級上冊第二章“解直角三角形”介紹

☉山東省沂南縣教育局李樹臣

解三角形包括解直角三角形和解斜三角形兩類問題.對于解斜三角形，可以通過作斜邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.因此，解直角三角形在解三角形這一內(nèi)容中占有重要的地位.在生產(chǎn)、生活及相關(guān)學(xué)科中，我們經(jīng)常遇到測量和計(jì)算距離、高度、角度等實(shí)際問題.這些問題都可以歸結(jié)為求直角三角形中的邊或角的問題.因此，學(xué)習(xí)本章有著重要的理論價(jià)值和實(shí)用價(jià)值.

通過本章的學(xué)習(xí)以及運(yùn)用相關(guān)知識解決一些簡單的實(shí)際問題，可使學(xué)生進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合和模型思想，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值，開闊視野，發(fā)展能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

一、本章內(nèi)容概述與教學(xué)目標(biāo)

1.知識結(jié)構(gòu)

如圖1所示.

圖1

2.內(nèi)容概述

本章是在同學(xué)們學(xué)習(xí)了相似三角形、勾股定理和函數(shù)等有關(guān)知識的基礎(chǔ)上展開的，主要內(nèi)容是銳角三角比的概念以及利用銳角三角比解直角三角形.

本章包含五節(jié)，第一節(jié)主要研究正弦、余弦和正切的概念.教科書開始用“實(shí)驗(yàn)與探究”欄目創(chuàng)設(shè)了一個(gè)由四個(gè)問題構(gòu)成的問題情境.第一個(gè)問題是從學(xué)生熟悉的生活情境出發(fā)，以“平滑木板”為素材設(shè)計(jì)的.首先把木板的一端抬起，構(gòu)造定角A，用表格給出四組數(shù)據(jù)，然后計(jì)算五個(gè)比值.其目的是讓學(xué)生通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)：當(dāng)∠A的大小固定后，木板上任意一點(diǎn)距地面的高度與該點(diǎn)到A點(diǎn)的距離的比都等于同一個(gè)常數(shù).第二個(gè)問題是一般化的問題，我們將問題抽象為在任意銳角A的一邊上任取兩個(gè)點(diǎn)，目的是讓學(xué)生通過思考猜測到（如圖2），并利用相似三角形的性質(zhì)加以證明.同時(shí)還向?qū)W生暗示了：如果放到直角坐標(biāo)系中來考察的話，這個(gè)比便是∠A的終邊上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與這一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r的比值（如圖3）.這樣的設(shè)計(jì)對培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力是非常必要的.第三個(gè)問題起著過渡作用，目的是為引出三角比的概念降低“臺階”.學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：對確定的銳角A來說，比值k與點(diǎn)B′在AB邊上的位置無關(guān).第四個(gè)問題是為了讓學(xué)生認(rèn)識到比值k與∠A的大小是有關(guān)的：這個(gè)比值隨∠A的確定而確定，與點(diǎn)在∠A的終邊上的位置無關(guān).

圖2

圖3

學(xué)生在思考與解答完上面四個(gè)問題后，會得到這樣的認(rèn)知：∠A為Rt△ABC中一個(gè)確定的銳角，雖然Rt△ABC的大小可以變化，但它們都是相似的，所以∠A的對邊與斜邊的比值不變，即對于每一個(gè)銳角A，都有唯一確定的比值與之對應(yīng).這個(gè)唯一確定的比值就是一個(gè)新的知識，這時(shí)給出定義的時(shí)機(jī)已經(jīng)成熟，于是教科書中隨之給出∠A的正弦概念.

類似地，給出∠A的余弦和正切的概念，從而給出銳角三角比的概念.

第二節(jié)是利用銳角三角比的定義，探究幾個(gè)特殊角（30°、45°、60°）的三角比的求法，并運(yùn)用這些值進(jìn)行計(jì)算.教科書從學(xué)生熟悉的三角尺出發(fā)，引出求30°、45°、60°的三角比問題.首先用“實(shí)驗(yàn)與探究”設(shè)計(jì)了三個(gè)求這幾個(gè)特殊角的三角比的探索活動，在探求到它們的值之后，為便于學(xué)生記住這些特殊角的三角比的值，教科書用“觀察與思考”欄目，引導(dǎo)學(xué)生通過填表、觀察，找出它們之間的規(guī)律.然后通過兩個(gè)例題解決了兩方面的問題：一是已知特殊角，求其三角比；二是已知特殊角的三角比，求這個(gè)特殊角.最后給出了一個(gè)“挑戰(zhàn)自我”的問題，為學(xué)生研究銳角三角比提供了廣闊的思維空間，這個(gè)問題有利于激發(fā)學(xué)生自主探索數(shù)學(xué)問題的熱情.

第三節(jié)介紹了用計(jì)算器求銳角三角比的方法.

第四節(jié)主要研究了直角三角形中的邊角關(guān)系和解直角三角形的知識.教科書首先系統(tǒng)總結(jié)了直角三角形中五個(gè)元素（除直角外）之間的關(guān)系，然后提出了解直角三角形的概念，在此基礎(chǔ)上，以勾股定理和銳角三角比為工具，通過三個(gè)例題研究了三角形的解法.其中例1和例2研究的是直角三角形的問題，例3是一個(gè)解斜三角形的問題，通過添加輔助線，把圖形分割為直角三角形，從而利用解直角三角形的知識完成解答.這樣安排一方面彰顯了解直角三角形的地位，同時(shí)又一次體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化思想的重要性.

第五節(jié)用五個(gè)具體例子說明了解直角三角形的應(yīng)用，并總結(jié)出用解直角三角形的知識解決實(shí)際問題的一般過程（如圖4）.

圖4

這個(gè)過程強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)建模的構(gòu)建過程，凸顯了數(shù)學(xué)建模的思想，強(qiáng)化了數(shù)形結(jié)合的思想.

可以說第一節(jié)是后面四節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)，通過后面四節(jié)的學(xué)習(xí)，又鞏固和提高了對第一節(jié)所安排的基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，同時(shí)也使同學(xué)們對函數(shù)的概念及其本質(zhì)有了更深層次的認(rèn)識.

3.教學(xué)目標(biāo)

（1）利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識銳角三角比（sinA、cosA、tanA），知道30°、45°、60°角的三角比.

（2）會使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角比；由已知的三角比求它對應(yīng)的銳角.

（3）能用銳角三角比解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實(shí)際問題.

（4）培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識.

（5）感受直角三角形的邊與角、數(shù)與形之間的聯(lián)系，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想在解決數(shù)學(xué)問題中的作用.

二、編寫時(shí)重點(diǎn)考慮的幾個(gè)問題

本章作為九年級上冊的第二章，從時(shí)間和初中階段的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容來說，都已經(jīng)超過三分之二.之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面圖形的有關(guān)知識、數(shù)的開方、勾股定理、相似三角形及二次根式等知識，這些就是學(xué)習(xí)本章知識的基礎(chǔ).而且經(jīng)過兩年多的初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生自主探究、觀察思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣也已初步形成.因此，根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“課標(biāo)2011年版”）在“課程基本理念”中提出的“課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索”要求，以及“課標(biāo)2011年版”對教科書編寫提出的“科學(xué)性、整體性、過程性、現(xiàn)實(shí)性、彈性和可讀性”的具體建議，我們確定了本章的編寫意圖.

（1）突出課程內(nèi)容的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì).無論素材的選擇還是情境的創(chuàng)設(shè)等，都要與數(shù)學(xué)內(nèi)容有實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系.

（2）強(qiáng)調(diào)“問題意識”.精心設(shè)計(jì)“觀察與思考”“實(shí)驗(yàn)與探究”“交流與發(fā)現(xiàn)”三個(gè)板塊下的數(shù)學(xué)活動，提出反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的、有助于活動開展的、適合學(xué)生思考與探索的問題，以此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的學(xué)習(xí).

（3）遵循青少年心理和生理的發(fā)展規(guī)律.

（4）遵循從特殊到一般、從具體到抽象的研究方法.這是進(jìn)行數(shù)學(xué)研究活動、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的基本方法.

（5）課程內(nèi)容的組織重視過程，努力處理好過程與結(jié)果的關(guān)系，使學(xué)生經(jīng)歷完整的概念形成過程.

（6）注重模型思想、應(yīng)用意識的培養(yǎng).

基于以上意圖，在具體編寫時(shí)，我們主要考慮了以下五個(gè)問題.

1.三角比名稱的確定問題

“課標(biāo)2011年版”對銳角三角函數(shù)概念的教學(xué)要求是“利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識銳角三角函數(shù)（sinA、cosA、tanA）.”我們經(jīng)過反復(fù)研究這一要求，結(jié)合它們的定義過程，認(rèn)為：對于這些概念，主要是通過“相似三角形的對應(yīng)邊成比例”去研究的，而不是從變量和函數(shù)的角度去研究的.在定義過程中“比”是核心知識，所以我們把銳角A的正弦、余弦、正切定義為銳角A的三角比，而不是銳角三角函數(shù)（這一點(diǎn)與有些版本的教科書的提法不一樣），我們認(rèn)為叫銳角三角比更能反映它們的實(shí)質(zhì)，也能很好地體現(xiàn)“課標(biāo)2011年版”的上述要求.

2.把握概念的內(nèi)涵與外延

對概念的深化認(rèn)識必須從概念的內(nèi)涵與外延上作深入的剖析，剖析概念的內(nèi)涵就是抓住概念的本質(zhì)特征.對于銳角三角比，我們抓住正弦進(jìn)行剖析，正弦在本質(zhì)上是一個(gè)“比”.為了突出這個(gè)比值，結(jié)合上面的圖2，說明如下.

（1）正弦是一個(gè)比；

（2）這個(gè)比是∠A的終邊上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與這一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r的比值；

（3）這個(gè)比值隨∠A的確定而確定，與點(diǎn)在∠A的終邊上的位置無關(guān)（這一點(diǎn)可用相似三角形的原理來說明）；

（4）由于|y|≤r，所以這個(gè)比值不會超過1.

事實(shí)上，對于∠A的每一個(gè)確定的值，都有一個(gè)確定的比值與之相對應(yīng)（這一點(diǎn)體現(xiàn)了函數(shù)概念的本質(zhì)，所以有的版本的教科書一直沿襲傳統(tǒng)教科書的提法，叫銳角三角函數(shù)）.學(xué)生認(rèn)識到這一點(diǎn)，他們對正弦的理解就比較深刻了.

以上就是正弦概念的本質(zhì)屬性.教科書的編寫過程就充分體現(xiàn)了這個(gè)本質(zhì).

另外，∠A的終邊上的一點(diǎn)P（x，y）一旦確定，就涉及x、y、r這三個(gè)量（見圖3），任取其中兩個(gè)就可以確定一個(gè)比值，這樣的比值有且只有六個(gè).因此，基本銳角三角比有且只有六個(gè)，這便是銳角三角比的外延，在初中我們僅學(xué)習(xí)其中的三個(gè).

3.突出建模思想、培養(yǎng)應(yīng)用意識始終貫穿全章

“課標(biāo)2011年版”提出了“十大”核心概念，本章至少涉及“符號意識”“推理能力”“模型思想”“應(yīng)用意識”四個(gè).在本章教科書的編寫過程中，我們努力把引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會建立數(shù)學(xué)模型、解決實(shí)際問題放在首位，以實(shí)現(xiàn)“課標(biāo)2011年版”提出的“在整個(gè)數(shù)學(xué)教育的過程中，都應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識”的目標(biāo).本章安排了一些有代表性的實(shí)際問題作為知識產(chǎn)生、發(fā)展的背景材料，用實(shí)際問題貫穿全章，對銳角三角比概念的建立及其應(yīng)用都是在建立和運(yùn)用銳角三角比模型的過程中進(jìn)行的.

為了引入銳角三角比概念，教科書一開始選用了平滑木板問題，將其一端抬高，便構(gòu)造出直角三角形.為了讓學(xué)生充分體驗(yàn)、經(jīng)歷銳角三角比概念的形成過程，教科書用“實(shí)驗(yàn)與探究”欄目提出了四個(gè)問題，以∠A的正弦為例，用問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了詳盡的探究.

在探究30°、45°、60°的三角比的過程中，是用同學(xué)們十分熟悉的三角尺作為模型展開的.如在求sin30°、cos30°、tan30°的值時(shí)，是通過拼接兩個(gè)含30°角的大小相等的三角尺作為學(xué)習(xí)“模型”進(jìn)行的，如圖5所示.

圖5

在解直角三角形的應(yīng)用中，教科書以測量上海市東方明珠的高度為引例，用“小資料”欄目介紹了測量學(xué)中的仰角、俯角等概念.然后選取五個(gè)例題（飛機(jī)飛行中的仰角問題、武漢長江大橋中鋼索長問題、住宅樓采光問題、攔水壩的斜坡問題、鐵塔高度問題），說明了解直角三角形在生產(chǎn)、生活中具有廣泛的應(yīng)用.選擇這些鮮活素材的目的是讓學(xué)生在解答它們時(shí)，能結(jié)合具體的題目，養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣：一邊讀題，一邊畫圖，或在給定的圖形中準(zhǔn)確找到對應(yīng)的信息.特別強(qiáng)調(diào)解題的思路是構(gòu)造直角三角形.通過適當(dāng)?shù)挠?xùn)練，總結(jié)出建立直角三角形模型解決實(shí)際問題的一般過程.他們在利用解直角三角形的知識解答上述問題的過程中，形成并發(fā)展了自己的數(shù)學(xué)能力，養(yǎng)成了用數(shù)學(xué)的眼光看待問題的習(xí)慣，促進(jìn)了數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高.

此外，在練習(xí)和習(xí)題中，教科書還從不同的角度選配了20余道通過建立直角三角形模型解決的實(shí)際問題.總之，實(shí)際問題既是構(gòu)成本章教科書的主線、素材，又是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的客觀尺度.

4.注重概念的形成過程

“課標(biāo)2011年版”十分強(qiáng)調(diào)“過程性”，我們對數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理、法則、公式等知識的處理，盡量避免“剪頭、去尾、燒中段”的現(xiàn)象，力求突出其產(chǎn)生和應(yīng)用過程，將知識的發(fā)生、發(fā)展過程返璞歸真，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識的抽象、概括、歸納和演繹過程，體會數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.本章中最典型的就是銳角三角比的概念的引進(jìn)過程.根據(jù)前面對銳角三角比的內(nèi)涵與外延的分析，教科書主要是從“幾何的角度”展開銳角三角比概念的概括過程的.

（1）課題的引入.

從實(shí)際需要（一塊長2m的平滑木板，一端放在平地上，一端抬高1m，計(jì)算比值）出發(fā)，引出課題.

（2）個(gè)性考察.

（3）從特殊到一般展開定量概括.

（4）定義及其辨析.

①∠A為Rt△ABC中確定的銳角，Rt△ABC的大小可以變化，但它們都是相似的，所以∠A的對邊與斜邊的比值不變，即對于每一個(gè)銳角A，都有唯一確定的比值與之對應(yīng)，這個(gè)比值叫做∠A的正弦，記為sinA，即sinA=（如圖6所示）.

圖6

類似地，給出∠A的余弦和正切，分別是cosA=

②對符號sinA的理解.∠A是一個(gè)角，它是一個(gè)常量，sinA是一個(gè)比值，是一個(gè)由∠A唯一確定的數(shù)，也是一個(gè)常量.

（5）概念的初步應(yīng)用.

給定直角三角形的邊，求銳角的正弦、余弦、正切的值.目的是讓學(xué)生掌握用定義解題的基本過程和書寫格式，鞏固銳角三角比的定義，加深對這一概念的理解，也為下一節(jié)學(xué)習(xí)特殊角的三角比做好準(zhǔn)備.

上述設(shè)計(jì)就引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了銳角三角比的形成過程，并能主動地參入到數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建過程中，使其理解深刻，記憶永久.完整的學(xué)習(xí)過程應(yīng)當(dāng)包含感知和觀察問題情境、抽象和表述數(shù)學(xué)問題、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理變換或證明、對結(jié)果進(jìn)行反思修正或推廣應(yīng)用等，這是一個(gè)從具體到抽象再到具體的循環(huán)過程.

5.注重知識的前后聯(lián)系，體現(xiàn)了教科書的整體性

“課標(biāo)2011年版”界定的四個(gè)部分中的內(nèi)容并不是截然分開的：就某一部分來說，它內(nèi)部的有些內(nèi)容是相互關(guān)聯(lián)的；不同部分之間的有些知識也存在著實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系.教科書既把本部分內(nèi)的有關(guān)知識按照邏輯順序及知識之間的聯(lián)系進(jìn)行了合理的整合，又把各部分之間的相關(guān)知識進(jìn)行了有機(jī)的融合，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的整體性.

本章內(nèi)容統(tǒng)排在全部教科書（共33章）中的第27章，屬于偏后的內(nèi)容，與前面的許多內(nèi)容都有聯(lián)系.銳角三角比的概念涉及比的定義、角的大小、點(diǎn)的坐標(biāo)、距離公式、相似三角形、函數(shù)概念等知識.在研究直角三角形的解法時(shí)，已知直角三角形的兩個(gè)元素（至少一個(gè)是邊），加之本身還有一個(gè)直角的條件，這個(gè)直角三角形就惟一確定了下來，這個(gè)結(jié)論的前提實(shí)際上利用了直角三角形全等的有關(guān)知識.

因此，本章知識涉及“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“綜合與實(shí)踐”三個(gè)部分.

三、教學(xué)建議

本章的重點(diǎn)是銳角三角比的概念和直角三角形的解法；學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)是銳角三角比的概念，因?yàn)殇J角三角比的概念反映了一個(gè)銳角的度數(shù)與實(shí)數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，這種角與數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，以及sinA、cosA、tanA等符號表示方法，學(xué)生都是第一次接觸，所以同學(xué)們理解和認(rèn)識起來都有一定的難度.學(xué)習(xí)本章的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，遵循“從特殊到一般，從實(shí)踐探索到證明”的方式呈現(xiàn)正弦概念，在學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納、猜想等求知過程的基礎(chǔ)上，建立起角度與數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，從而正確掌握銳角三角比的概念，真正理解直角三角形中邊、角之間的關(guān)系.

1.注重揭示概念的形成和應(yīng)用過程

本章主要內(nèi)容是銳角三角比和解直角三角形，這兩部分是緊密聯(lián)系的，銳角三角比是解直角三角形的基礎(chǔ)，解直角三角形也為銳角三角比提供了與實(shí)際聯(lián)系的沃土.

一個(gè)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)就是一個(gè)完整的教學(xué)過程，研究表明這個(gè)過程大致可以分為如下四個(gè)階段：（1）概括；（2）表述；（3）識別；（4）運(yùn)用.給數(shù)學(xué)概念下定義不是概念教學(xué)的全部，不能在定義本身下太多的功夫，應(yīng)注意概念教學(xué)的全過程，不可有頭無尾，也不能對四個(gè)階段平均用力，應(yīng)根據(jù)具體概念的實(shí)際和學(xué)生的認(rèn)知水平，恰當(dāng)?shù)胤峙浣虒W(xué)時(shí)間，以最優(yōu)的方式完成概念教學(xué).教學(xué)中既要把銳角三角比的形成過程揭示出來，也要把利用它解直角三角形，從而解決實(shí)際問題的過程展現(xiàn)出來.只有揭示知識的形成過程，才能從源頭上強(qiáng)化知識與智力的內(nèi)在聯(lián)系，引發(fā)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的意識和創(chuàng)新思想的形成，從而促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)能力的提高.

這樣教學(xué)，一方面可以讓學(xué)生體會到銳角三角比和解直角三角形的理論來源于實(shí)際，是實(shí)際的需要；另一方面也讓學(xué)生看到它們在解決實(shí)際問題中所起的作用.感受由實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題，通過解決數(shù)學(xué)問題得到答案，再將數(shù)學(xué)問題的答案回到實(shí)際問題的模型思想，有利于幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的價(jià)值.

2.改進(jìn)學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展

改進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式是課程改革的重要目標(biāo)之一，“課標(biāo)2011年版”指出“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動活潑的、主動的和富有個(gè)性的過程.認(rèn)真聽講、積極思考、動手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動過程.”教學(xué)中，教師應(yīng)努力把學(xué)習(xí)素材用最適合于學(xué)生進(jìn)行觀察、發(fā)現(xiàn)、探究、合作與交流的方式展開，以此引導(dǎo)學(xué)生主動地參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中來，從而使學(xué)生形成對數(shù)學(xué)知識的理解和有效的學(xué)習(xí)策略.

例如，對于正弦及余弦函數(shù)值的變化規(guī)律的學(xué)習(xí)，我們可通過設(shè)置問題系列，采用“問題情境—自主發(fā)現(xiàn)—相互交流—?dú)w納總結(jié)”的方式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí).

首先，讓學(xué)生用計(jì)算器求下列銳角三角比的值，填寫下表：

其次，讓學(xué)生獨(dú)立思考下面的問題.

（1）當(dāng)銳角α逐漸增大時(shí)，它的正弦和余弦的值分別發(fā)生怎樣的變化？

（2）你能估計(jì)出銳角α的正弦值的范圍嗎？銳角α的余弦值的范圍呢？

然后，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)小組內(nèi)發(fā)表自己的見解.

最后，通過討論、交流歸納出規(guī)律來.

這樣安排符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的要求，尊重了學(xué)生的主體地位，促進(jìn)了其個(gè)性的發(fā)展，也體現(xiàn)了“課標(biāo)2011年版”的基本理念.

3.充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)與課外資源

我們根據(jù)三角比的定義，只能求出幾個(gè)特殊角的正弦、余弦及正切值，而對于任意一個(gè)銳角的三角比，我們可以利用科學(xué)計(jì)算器去求.另外，如果已知一個(gè)銳角的三角比的值，利用計(jì)算器還可以求出這個(gè)銳角來.

為了培養(yǎng)學(xué)生利用解直角三角形的方法解決一些實(shí)際問題的能力，我們也可以帶領(lǐng)學(xué)生走出教室，去實(shí)際測量某一建筑物（例如學(xué)校的水塔或教學(xué)樓）的高度，這樣安排體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價(jià)值，還能逐步形成“數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活”的意識.

以上是我們對“解直角三角形”一章所作的介紹，不妥之處敬請讀者批評指正.我們的目的就是希望教師在教學(xué)中要遵循教科書，但不要迷信教科書，要以它為平臺，深入鉆研教科書，合理地整合教科書的相關(guān)內(nèi)容，做到創(chuàng)造性地使用教科書；同時(shí)還要研究學(xué)生的學(xué)習(xí)和認(rèn)知規(guī)律，努力做到使學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能得到最大程度的發(fā)揮，從而促進(jìn)他們?nèi)?、健康、和諧發(fā)展，這理應(yīng)是我們廣大教師的責(zé)任和義務(wù).

1.李樹臣.精心設(shè)計(jì)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)展——青島版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》中問題情境的類型及設(shè)計(jì)意圖［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2013（10）.

2.李樹臣.深入研究課程課標(biāo)2011年版，精心選擇課程內(nèi)容——青島版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》中課程內(nèi)容選取的主要原則［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（2）.

3.李樹臣.科學(xué)分析數(shù)據(jù)，準(zhǔn)確推斷結(jié)果——青島版義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)八年級上冊第四章“數(shù)據(jù)分析”介紹［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（7）.

4.李樹臣，等.整體把握函數(shù)內(nèi)容，宏觀設(shè)計(jì)教學(xué)策略——以青島版義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)對“函數(shù)”的設(shè)計(jì)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（8）.

5.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.