☉江南大學附屬實驗中學　龐彥福陳曉麗

☉江南省蘇州中學園區(qū)校耿恒考

·江蘇省無錫市龐彥福名師工作室·

初中數(shù)學總復習整體觀策略研究*

☉江南大學附屬實驗中學龐彥福陳曉麗

☉江南省蘇州中學園區(qū)校耿恒考

初中數(shù)學總復習是初中數(shù)學教學過程中的重要環(huán)節(jié)，復習課的類型多種多樣，復習的方式林林總總，因教師對教學的認識、理解不同而設(shè)計各異，因?qū)W生的實際情況、地域不同而方法紛呈.毋庸置疑，復習課不是簡單的重復或重新的教與學，復習內(nèi)容不是知識的重新回顧或再記憶.初中數(shù)學總復習需要合理整合和深度思考.復習的作用應該是固化基礎(chǔ)知識和基本技能，升華數(shù)學思想及方法，結(jié)晶數(shù)學學習與數(shù)學活動的經(jīng)驗，復習的作用是由元認知到再認知的升華.數(shù)學結(jié)構(gòu)是一個整體，其整體性不僅體現(xiàn)在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率等各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識的前后邏輯關(guān)系上的縱向聯(lián)系與橫向聯(lián)系方面．筆者嘗試從“整體著眼，局部完善”的視域先進行知識體系的整體架構(gòu)，然后分版塊、分單元從不同角度來落實復習目標的達成.

一、系統(tǒng)整合，形成網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學知識是按照一定的體系形成與發(fā)展的，而我們在新授課教學中往往是只關(guān)注某一個知識點或某些知識的形成與應用.單元或章節(jié)之后也往往忙于知識的回顧及考試，不一定注重知識間的聯(lián)系與銜接，這樣，在學生的學習過程中就會人為地將數(shù)學知識體系分隔開來.我們知道分散的一個個珍珠只有串成項鏈才更能體現(xiàn)出其價值與意義，數(shù)學知識亦是如此.

初中數(shù)學應用于考試的試卷中就是兩個字“算”與“證”，也就是運算與推理.“算”的具體體現(xiàn)是由“數(shù)”的運算到“式”的運算.“數(shù)”的運算是基礎(chǔ)，“式”的運算是“數(shù)”的運算的延伸與發(fā)展，是初中階段運算的重點，而且整個“數(shù)”與“式”的運算還會運用到數(shù)學（無論是“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”還是“綜合與實踐”）的推理之中.譬如“冪的運算”中“指數(shù)”的加或減就會出現(xiàn)正數(shù)或負數(shù)或0，也可能會出現(xiàn)分數(shù)，因此，零指數(shù)冪、負指數(shù)冪的出現(xiàn)就顯得自然而然，分數(shù)指數(shù)的出現(xiàn)，也為根式的“粉墨登場”做好了充分的準備.

學生有了整體構(gòu)架的意識之后，解決問題的思路就會有全局觀念.筆者在一次復習課教學中，設(shè)計了這樣的問題.

例1已知（x-1）x+2=1，求整數(shù)x的值.

當出示例1時，先不要求學生解答，只說出解題的想法與思路.

學生1：應從三個方面考慮，一是非零數(shù)的零次冪等于1；二是1的任何次冪都等于1；三是-1的偶次冪等于1.

學生2：有的情況還應該考慮開方的可能.

教師：能舉出具體的例子嗎？

學生2：比如1開2次方、1開3次方結(jié)果都等于1.

……

學生有了知識建構(gòu)的整體意識和觀念之后，不僅考慮問題會更全面，而且也為以后的學習奠定了良好的基礎(chǔ).例如，當學生了解到平方根、立方根與分數(shù)指數(shù)冪的關(guān)系后，遇到根據(jù)例1而改編的問題：“若（4x-1）x=1，求x的值”時，不僅應該想到以上三種情況，而且還能夠想到”x=及x=”的情況.至于是否成立的問題則是解題后的檢驗反思環(huán)節(jié)了.

再比如，復習函數(shù)內(nèi)容時，可以設(shè)計成：引導學生思考，研究函數(shù)問題有效的平臺及工具是什么？學生自然會想到“平面直角坐標系”.而構(gòu)成平面直角坐標系的是“數(shù)軸”，這樣就容易將實數(shù)與數(shù)軸、有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標系，以及函數(shù)的圖像和研究方法理清了思路，明確了知識間的結(jié)構(gòu)與聯(lián)系，如圖1所示.

圖1

二、板塊整合，構(gòu)成整體

板塊整合是將相關(guān)聯(lián)的知識進行有效整合.整合不是硬性的拼接，是根據(jù)知識間的內(nèi)在聯(lián)系的一種自然銜接.板塊整合既要做到知識之間的有效對接，同時要突出主干知識的核心地位、統(tǒng)領(lǐng)作用.

《課標（2011年版）》將初中數(shù)學的內(nèi)容分成4個版塊：“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”及“綜合與實踐”.復習時可以結(jié)合這種版塊的模式，也可以將前兩個大版塊再進行細化、分解.但無論怎樣細化、分類，一定要讓學生體會到知識間的密切聯(lián)系，感悟數(shù)學的整體意識，提煉解決一類問題的思想方法.

例2（2011年無錫）如圖2，拋物線y=x2+1與雙曲線y=的交點A的橫坐標是1，則關(guān)于x的不等式+ x2+1＜0的解集是（）.

A.x＞1B.x＜-1

C.0＜x＜1D.-1＜x＜0

圖2

解析：由拋物線y=x2+1與雙曲線y=的交點A的橫坐標是1，代入y=x2+1可得交點A的縱坐標是2.把（1，2）代入y=可得k=2.從而+x2+1＜0?＜-x2-1，則求不等式+x2+1＜0的解集等同于當x為何值時函數(shù)y=圖像在函數(shù)y=-x2-1圖像下方，由二次函數(shù)圖像性質(zhì)知，函數(shù)y=-x2-1圖像開口向下，頂點在（0，-1），與y=圖像的交點橫坐標是-1.故當-1＜x＜0時，函數(shù)y=圖像在函數(shù)y= -x2-1圖像下方，即關(guān)于x的不等式+x2+1＜0的解集是-1＜x＜0.所以選D.

本題將“數(shù)與代數(shù)”板塊的反比例函數(shù)、二次函數(shù)、不等式、坐標，以及函數(shù)與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系整合在一起，構(gòu)成知識鏈，很好地體現(xiàn)了板塊融合的效果.

三、單元整合，落實效益

進行系統(tǒng)整合、版塊整合之后，要在不同單元里將知識點及知識的運用落實到單元復習中.因此，同一單元也要進行必要的整合與優(yōu)化.使學生有效理解單元與單元之間知識的聯(lián)系和有效銜接，能夠更好地弄清楚同一單元內(nèi)容與知識的內(nèi)涵，在其他單元中所起的作用.單元整合要注意不能人為地進行分割，要做到合理的聯(lián)系與知識間的運用.對方程的復習就可以采取先從“元”與“次”的角度將初中階段的方程聯(lián)系起來，再從方程的解法與應用的層面總結(jié)解決問題的策略，然后歸納、提煉出研究方程問題的共性，以及不同類型的方程中應該注意的問題.譬如，一元二次方程的解決中，復習的不僅僅是方程的解法，同時還應該進一步理解、固化因式分解的內(nèi)容.

例3若x3-x=0，則x的值為___________.

這樣的問題表面上看是一元三次方程，顯然不屬于初中數(shù)學研究的范疇.初中階段真的無法解決嗎？如果對因式分解真正理解的話，方程左邊x3-x提取公因式后為x（x2-1），括號內(nèi)進一步分解因式則得到原方程為x（x+ 1）（x-1）=0，這時求x的值則是水到渠成的了.

復習課的作用是有助于學生理解數(shù)學，將數(shù)學知識活化，會用數(shù)學的思想和方法解決實際問題.無論是新授課還是復習課，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，以及分析問題、解決問題的意識和能力是非常重要的.

四、研究有效策略，提升解題能力

無論是何種形式的復習，其出發(fā)點與歸宿就是實現(xiàn)理解學習的數(shù)學內(nèi)容，掌握數(shù)學知識，提升用數(shù)學知識解決問題的能力.

1.研究學生，查缺補漏

通過三年的學習，學生已經(jīng)掌握了必要的知識，有了一定的解決問題的技能，理解了一些數(shù)學的思想方法，積累了相應的數(shù)學學習及活動的經(jīng)驗.復習階段根據(jù)當?shù)乜荚囈蟮臉藴始皩W生的實際情況，制定出切實可行的復習方案.無論是新課學習還是中考前的復習，目標達成的對象是學生，在復習階段要針對學生在學習中存在的問題、出現(xiàn)的問題，要采取有針對性的有效措施，如部分或個別輔導或補標，起到查缺補漏，促進提優(yōu)共進.

例4（1）等腰三角形ABC中，∠A=70°，求∠B、∠C的度數(shù).

解析：第（1）問在知識體系中是三種情況而不是兩種情況，即當∠B=∠C時，∠B=∠C=55°；當∠A=∠B時，∠B=70°，∠C=40°；當∠A=∠C時，∠B=40°，∠C=70°.有的學生往往把后兩種情況當作一種.

這兩個題目針對不同的學生，可以采取不同的處理方法，不能為了完成任務(wù)而忽略學生的實際情況和接受能力，不能隨意拔高或降低適合學生的教學標準和要求.

2.從“道”到“術(shù)”，體現(xiàn)通性通法與方法技巧

就像畫函數(shù)圖像一樣，用“列表—描點—連線”是通性通法，是數(shù)學學習過程中的“道”，取兩個特殊點畫一次函數(shù)的圖像，盡管簡捷，只是治學過程中的“術(shù)”，是在通性通法的基礎(chǔ)上形成的技巧.沒有一般性策略上的“道”，就不可能有方法技巧上“術(shù)”.

例5在平面直角坐標系內(nèi)，A、B兩點的坐標分別是A（0，2）、B（-1，0），O為坐標原點，點C在坐標軸上，若△ABC為等腰三角形，求點C的坐標.

本題的解答中，學有余力的學生可能會找全符合條件的8個點.但是，對于更多的學生能否更快更準地找到這些點呢？就要在理解數(shù)學的基礎(chǔ)上，研究有效的策略與方法，提高解題的能力.結(jié)合題意，明白了所求點的位置，滿足的條件，就找到了解決問題的一般方法.若AB為底，則頂點C在AB的垂直平分線與兩條坐標軸的交點上（即C1、C2）；若AB為腰，則點C分別在以A、B為圓心、AB長為半徑的圓與兩條坐標軸的交點上（即C3、C4、C5，C6、C7、C8），如圖3所示.

如果缺乏整體意識，沒有整體架構(gòu)的思想方法，解決問題就可能缺少全局的觀念，分類討論就可能漏掉一些情況.

圖3

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.孫維剛.孫維剛初中數(shù)學［M］.北京：北京大學出版社，2005.

3.馬小為，龐彥福.初中數(shù)學有效教學模式［M］.北京：北京師范大學出版社，2014.

4.鐘珍玖，龐彥福.初三數(shù)學總復習策略再探［J］.中學數(shù)學（下），2013（11）.

*本文為江蘇省教育科學研究“十二五”規(guī)劃2013年度立項重點自籌課題《培養(yǎng)初中學生自主探究數(shù)學學習能力的策略研究》（課題批準號為：E-b/2013/011）的階段性成果．