王曉飛，李志峰，王高勇，高衛(wèi)紅

（陜西理工學(xué)院機械工程學(xué)院，陜西漢中 723000）

漸開線螺旋齒輪成形磨削砂輪的修整*

王曉飛，李志峰，王高勇，高衛(wèi)紅

（陜西理工學(xué)院機械工程學(xué)院，陜西漢中 723000）

針對漸開線螺旋齒輪磨削加工要求，對磨削螺旋齒輪的砂輪進行研究。基于螺旋面形成的基本思路，得出直母線作螺旋運動形成的漸開螺旋面方程，建立了漸開線螺旋齒輪的數(shù)學(xué)模型。提出了通過MATLAB軟件編程計算磨削砂輪軸向截形的方法。根據(jù)截形數(shù)據(jù)，提出了通過CNC砂輪修整器修整砂輪的方法，對砂輪進行數(shù)控修型。用修整好的砂輪對漸開線螺旋齒輪進行數(shù)控成形磨削加工。計算結(jié)果表明磨削法與其他方法相比可顯著提高螺旋齒輪的齒形精度和表面質(zhì)量，提高磨削效率。

螺旋面；漸開線螺旋齒輪；成形磨削；軸向截形；砂輪修整

0 引言

漸開線螺旋齒輪由于其諸多特點逐漸在機械傳動中得到廣泛應(yīng)用。與常用的漸開線齒輪加工方法相比成形磨削是一種高精度、高效率、低成本的硬齒面齒輪精加工方法，成形法磨削漸開線螺旋齒輪時齒輪的精度由成形砂輪的輪廓精度決定［1-2］，如何修整出高精度的砂輪廓形精確地加工出漸開螺旋面是齒輪成形磨削研究的重要內(nèi)容之一。

本文以解析幾何和齒輪嚙合原理為基礎(chǔ)，首先建立螺旋齒輪磨削過程中砂輪和螺旋齒輪的數(shù)學(xué)模型及砂輪回轉(zhuǎn)面與螺旋齒輪螺旋面之間的空間接觸線方程。然后通過MATLAB軟件完成方程式的計算得到砂輪截形。最后利用CNC修型技術(shù)對砂輪截形進行精密計算和數(shù)控修整，實現(xiàn)螺旋齒輪的精密磨削。實驗驗證采用成形磨削技術(shù)可以顯著提高螺旋齒輪的齒形精度和表面質(zhì)量。

1 建立漸開線螺旋齒輪磨削加工數(shù)學(xué)模型

1.1 漸開螺旋面的方程式及法線方程式

假設(shè)在空間有一固定坐標(biāo)系（O-x，y，z），曲線Γ繞z軸等速轉(zhuǎn)動的同時又沿z軸等速移動，這種運動稱為螺旋運動，此時曲線Γ在空間形成的軌跡曲面就是螺旋面［3］，如圖1所示。根據(jù)矢量回轉(zhuǎn)公式，右旋螺旋面的方程式可以表示為：

螺旋曲面上任意一點M（x，y，z）的法線方程為：

圖1 漸開螺旋面的形成

圖1中有一條既與半徑為rb的圓柱面相切又和此圓柱面上螺旋參數(shù)為p的螺旋線相切的直母線EH，它和端截面的夾角α等于圓柱上螺旋線的升角γ，此時直母線EH作螺旋運動形成的就是漸開螺旋面［3］。夾角α和基圓半徑rb的關(guān)系式為：

直母線EH在起始位置與圓柱相切于x軸上的E點，令動點H到E點的距離為參變數(shù)u，則直母線的方程式為：

將（4）式代入（1）式，得到右旋螺旋面的方程式為：

對式（5）中的參變量u求偏導(dǎo)：

代入式（2）得到右旋漸開線螺旋面法線方程式為：

由u與θ的關(guān)系式可知，θ為正值時u是負(fù)值，得到直母線在基圓柱切點E以下的點形成的右側(cè)漸開線；θ為負(fù)值時u是正值，形成左側(cè)漸開線。

1.2 砂輪回轉(zhuǎn)面與工件螺旋面的接觸條件式

圖2所示為用砂輪刀具回轉(zhuǎn)面加工螺旋面工件時二者的相對位置關(guān)系。如果砂輪回轉(zhuǎn)面是已知的，并且已經(jīng)加工出工件螺旋面，則在砂輪與工件相對運動的任一瞬間，總有一條相切的接觸線存在于兩表面之間，并且接觸線的位置在空間固定不變，砂輪回轉(zhuǎn)面由接觸線繞砂輪軸線回轉(zhuǎn)形成；工件螺旋面由接觸線繞工件軸線作螺旋運動形成［5-7］。

圖2 用砂輪加工螺旋面

如圖2，?。∣-x，y，z）為工件坐標(biāo)系，（O＇-X，Y，Z）為砂輪坐標(biāo)系。這兩個坐標(biāo)系的變換關(guān)系為：

砂輪加工時，螺旋面上的接觸條件式為：

將式（5）和（7）代入（10）并聯(lián)立（5）式，得到直母線EH作螺旋運動形成的漸開螺旋面與砂輪的接觸條件式為：

1.3 砂輪回轉(zhuǎn)面的軸向截形方程式

接觸線繞砂輪軸線回轉(zhuǎn)得到砂輪回轉(zhuǎn)面。通過坐標(biāo)變換式（9）將接觸線變換到坐標(biāo)系（X，Y，Z）中，就能夠得到砂輪回轉(zhuǎn)面的軸向截形方程式為：

式中，u—參變數(shù)，動點H在E點以上時u值為正；θ—參變數(shù)，它表示母線從起始繞z軸轉(zhuǎn)過的角度；p—齒面螺旋運動參，；pn—齒面螺旋運動導(dǎo)程，；β—齒輪分度圓螺旋角；∑—砂輪軸線和工件軸線間的夾角，∑=90°-β；a—砂輪軸線與工件軸線間的最短距離。

2 MATLAB求解實例

計算成形砂輪軸向截形時會出現(xiàn)非線性方程和三角超越方程等復(fù)雜的關(guān)系式，因此需要選擇合適的數(shù)值計算方法。MATLAB軟件自帶的函數(shù)命令能夠?qū)崿F(xiàn)對各種方程的求解，可以精確的算出結(jié)果。

例如要磨削mn=12mm，Z=15，β=30°，αn=20°，砂輪直徑為D=300mm的漸開線螺旋齒輪。

將例子中的數(shù)據(jù)代入式（8）中，用MATLAB中subplot命令編程可畫出如圖3所示的漸開線螺旋齒輪端面截形。

圖3 漸開線螺旋齒輪的端面截形

接觸線方程（11）是關(guān)于參變數(shù)u與θ的超越方程，利用MATLAB中的fsolve命令求解超越方程式的數(shù)值解［8］。給定θ的取值范圍后，每一個θ值都有一個對應(yīng)的u值，將θ值和u值代入方程式（5），得到漸開線螺旋齒輪的坐標(biāo)值（xi，yi，zi），由坐標(biāo)變換式（9）得到砂輪的坐標(biāo)值（Xi，Yi，Zi），最后代入砂輪軸向截形方程式（12），可得右側(cè)漸開線形成螺旋面時砂輪的軸向截形圖4a。當(dāng)左右兩側(cè)漸開線同時做螺旋運動時，可得圖4b所示砂輪截形圖。

圖4 砂輪軸向截形

3 砂輪修型過程

圖5所示為配備CNC砂輪修整器的螺紋磨床傳動結(jié)構(gòu)，用此磨床對漸開線螺旋齒輪實施精密加工。工作時，砂輪修整器的金剛盤與砂輪分別由各自的進給電機進行驅(qū)動，砂輪修整器的安裝底座與砂輪頭架為一體。金剛盤在V軸進給電動機與W軸進給電動機的驅(qū)動下，經(jīng)絲杠傳遞實現(xiàn)金剛盤沿砂輪徑向（V方向）和軸向（W方向）的直線進給運動，完成砂輪的修型［9］。

圖5 砂輪修整器結(jié)構(gòu)示意圖

砂輪修整器對砂輪的修型過程如圖6所示。以砂輪寬度對稱中心線為界分為左側(cè)母線BCD與右側(cè)母線B＇C＇D＇。砂輪左右兩側(cè)母線分別由砂輪修整器左右兩側(cè)金剛盤修整。左右兩側(cè)金剛盤處于零位時的位置分別在F點和F＇點。開始修型時左側(cè)金剛盤按照F→A→B→C→D→E→F的路線修整砂輪左側(cè)母線BCD段，左側(cè)金剛盤回到零位后右側(cè)金剛盤按照F＇→A＇→B＇→C＇→D＇→E＇→F＇的路線修整砂輪右側(cè)母線B＇C＇D＇段，待右側(cè)金剛盤回到零位后便完成砂輪的一次修型［10-11］。

圖6 砂輪修整器修型路線

砂輪隨著磨削的進行直徑會逐漸變小，廓形發(fā)生變化。此時需要根據(jù)機床的運動參數(shù)和設(shè)計參數(shù)，獲取砂輪架的精確定位坐標(biāo)和螺旋齒輪理論計算半徑的換算方法，將換算的齒輪半徑應(yīng)用到砂輪修型程序中，重新計算砂輪截形。這種方法簡單方便，可以有效的提高加工效率。

在陜西漢江機床有限公司自主研發(fā)的SK7032數(shù)控螺桿轉(zhuǎn)子磨床上對螺旋齒輪進行試磨，利用齒輪嚙合檢測儀檢測磨削后的螺旋齒輪齒距和端面廓形，與理論數(shù)據(jù)比較得出磨削后的螺旋齒輪端面截形誤差最小值可控制在±10μm內(nèi)。

4 總結(jié)

本文根據(jù)螺旋面形成原理，建立漸開線螺旋齒輪的數(shù)學(xué)模型，給出了砂輪截形的數(shù)學(xué)計算方法。利用MATLAB軟件中的fsolve函數(shù)命令進行編程，不僅求解方程簡單，還可以提高砂輪截形數(shù)據(jù)的計算效率和準(zhǔn)確度，使砂輪截形的計算得到優(yōu)化。采用CNC砂輪修整器修整砂輪不同于傳統(tǒng)螺紋磨床修整砂輪，它能使螺紋磨床的加工精度和加工效率得到很大提高，特別是將磨削復(fù)雜螺旋面工件變?yōu)榭赡?。CNC砂輪修整器采用兩個金剛盤分別修整砂輪左右曲線，延長了刀具使用壽命，有效地解決了砂輪輪廓修型問題，提高了加工效率和精度。對采用成形磨削法加工高精度、高質(zhì)量的螺旋齒輪具有深刻的意義。

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［3］吳序堂.齒輪嚙合原理［M］.西安：西安交通大學(xué)出版社，2009.

［4］孫恒，陳作模，葛文杰.機械原理［M］.7版.北京：高等教育出版社，2010.

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［10］趙永強，李志峰，魏偉鋒，等.螺紋磨床CNC砂輪修整器的參數(shù)設(shè)計［J］.制造業(yè)自動化，2012（12）：91-93.

［11］趙永強，李志峰，魏偉鋒，等.轉(zhuǎn)子磨床CNC砂輪修整器的砂輪初始修形方法研究［J］.制造技術(shù)與機床，2012（6）：185-187.

（編輯 趙蓉）

Form Grinding W heel Dressing for the Involute Helical Gear

WANG Xiao-fei，LI Zhi-feng，WANG Gao-yong，GAO Wei-hong
（School of Mechanical Engineering，Shaanxi University of Technology，Hanzhong Shaanxi723000，China）

For the grinding processing requirement of the involute helical gear，the grinding wheel for the involute helical gear is studied.Based on the forming principle of the helicoid，the equation of the involute helicoid which is formed by the straight generatrix of the spiral movement is derived，and the mathematical model of the involute helical gear has been established.The axial section of Grinding wheel for grinding Involute helical gear is calculated by MATLAB programs.According to the sectional shape data，the method of dressing grinding wheel by CNC grinding wheel dresser is putted forward to trim the grinding wheel，then the finished grinding wheel is carried out on the CNC form grinding processing for the involute helical gear. The results show that form ing grinding can improve the helical gear profile precision and surface quality more significantly than other methods.It can also improve the grinding efficiency.

helicoid；involute helical gear；form ing grinding；axial section；grinding wheel dressing

TH132；TG580.6

A

1001-2265（2015）04-0132-03 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.04.035

2014-07-25；

2014-08-29

國家高檔數(shù)控機床與基礎(chǔ)制造裝備科技重大專項“高精度螺紋加工技術(shù)及設(shè)備（2011ZX04003-021）”

王蹺飛（1988—），女，滿族，內(nèi)蒙古赤峰人，陜西理工學(xué)院碩士研究生，研究方向為機械強度分析及現(xiàn)代設(shè)計方法，（E-mail）wx_fei1126 @163.com。