溫博慧，趙 末

（1.天津財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院金融系，天津300222；2.中國民航大學(xué)民航空管研究院，天津300222）

具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)牽制同步控制

溫博慧1，趙 末2

（1.天津財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院金融系，天津300222；2.中國民航大學(xué)民航空管研究院，天津300222）

在系統(tǒng)耦合矩陣無需對(duì)稱可約的無限制條件下，將具有自適應(yīng)時(shí)變特性的耦合強(qiáng)度作為系統(tǒng)模型，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論、舒爾補(bǔ)引理和自適應(yīng)技術(shù)，提出一種實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)間牽制外同步的判別條件，能有效權(quán)衡耦合強(qiáng)度、控制器增益和控制器數(shù)量三者之間的關(guān)系，并通過調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)求得影響驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的控制器數(shù)量。數(shù)值仿真結(jié)果表明，以洛侖茲系統(tǒng)為代表的廣義復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)間能實(shí)現(xiàn)外同步，從而驗(yàn)證該判別條件的正確性，且不同類型金融市場間收益行為的仿真同步控制結(jié)果接近于實(shí)際同步結(jié)果。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；牽制控制；自適應(yīng)；耦合強(qiáng)度；同步；控制器

1 概述

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的泛在性與科學(xué)性在現(xiàn)實(shí)領(lǐng)域中已被廣泛認(rèn)知［1-2］，其分析過程需系統(tǒng)科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)與控制理論相結(jié)合的交叉特質(zhì)，促使不同領(lǐng)域的研究者提出了諸多網(wǎng)絡(luò)模型，以期更逼真地描述和有效調(diào)控現(xiàn)實(shí)世界［3-4］。在動(dòng)態(tài)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，最引人注目的現(xiàn)象之一是同步效應(yīng)［5-6］，其可被劃分為內(nèi)部同步［7］和外部同步［8］2類。內(nèi)部同步指同一網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的集體行為，外部同步則指同步發(fā)生在2個(gè)或更多網(wǎng)絡(luò)之間，而不論內(nèi)部同步是否發(fā)生。隨著復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)外同步問題研究的不斷深入，人們需要進(jìn)一步思考和關(guān)注的問題是：如果存在網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)間狀態(tài)同步的計(jì)算準(zhǔn)則，那么當(dāng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)節(jié)點(diǎn)未實(shí)現(xiàn)動(dòng)力行為統(tǒng)一時(shí)，是否存在網(wǎng)絡(luò)間節(jié)點(diǎn)同步，即網(wǎng)絡(luò)外同步的判別準(zhǔn)則，并且如何通過控制手段結(jié)合網(wǎng)絡(luò)特性提高網(wǎng)絡(luò)性能并進(jìn)行行為控制。

本文在系統(tǒng)耦合矩陣不必對(duì)稱可約的無限制條件下，針對(duì)具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度的驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)牽制外同步問題，利用李雅普諾夫（Lyapunov）穩(wěn)定性理論、舒爾補(bǔ)（Schur）引理和自適應(yīng)技術(shù)，提出一個(gè)能夠?qū)崿F(xiàn)牽制外同步的數(shù)值條件，并通過調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)值影響響應(yīng)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中所需添加的控制器個(gè)數(shù)。該方法能夠有效權(quán)衡耦合強(qiáng)度、控制器增益和控制器數(shù)量的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)成本最小化。由于不同類需協(xié)調(diào)控制的網(wǎng)絡(luò)間耦合權(quán)值不是某一固定常數(shù)，而是實(shí)時(shí)變化的，因此將具有自適應(yīng)時(shí)變特性的耦合強(qiáng)度作為系統(tǒng)模型。

2 相關(guān)知識(shí)

牽制控制通過對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)施加控制來確保整個(gè)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)同步［9］，避免了傳統(tǒng)控制研究中對(duì)網(wǎng)絡(luò)海量節(jié)點(diǎn)逐一添加控制器的繁瑣和弊端，簡化了耦合拓?fù)渑渲?，從而?jié)約成本［10］。牽制控制因其優(yōu)勢，成為近期學(xué)者們的研究熱點(diǎn)。相關(guān)研究通過Lyapunoy穩(wěn)定性理論和自適應(yīng)技術(shù)取得了牽制外同步實(shí)現(xiàn)的系列條件。文獻(xiàn)［11］借助變分方程計(jì)算得出的最大Lyapunoy指數(shù)判斷網(wǎng)絡(luò)外同步是否能夠?qū)崿F(xiàn)；文獻(xiàn)［12］針對(duì)網(wǎng)絡(luò)耦合特性提出一種用于判斷外同步實(shí)現(xiàn)的數(shù)值條件；文獻(xiàn)［13］針對(duì)時(shí)滯效應(yīng)計(jì)算了牽制外同步的實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)則。需要說明的是，雖然在對(duì)內(nèi)同步問題的研究中通常要求網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)都具有連通性，即整個(gè)系統(tǒng)不存在孤立節(jié)點(diǎn)，用數(shù)學(xué)語言描述即為系統(tǒng)耦合矩陣具有對(duì)稱可約性，但2個(gè)或多個(gè)系統(tǒng)之間完全對(duì)稱的情況很少出現(xiàn)，外同步實(shí)現(xiàn)時(shí)允許內(nèi)部節(jié)點(diǎn)孤立，即存在外部耦合矩陣（即節(jié)點(diǎn)間外同步關(guān)系的數(shù)值表現(xiàn)）非對(duì)稱可約性的現(xiàn)實(shí)。然而，上述文獻(xiàn)計(jì)算過程均需系統(tǒng)外部耦合矩陣具備對(duì)稱可約性，易導(dǎo)致建模合理性的失衡和無法對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與動(dòng)態(tài)特征做出正確解析［14］。因此，本文忽略了對(duì)系統(tǒng)外部耦合矩陣對(duì)稱可約的限制，包容系統(tǒng)內(nèi)部孤立節(jié)點(diǎn)的存在，降低了對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的約束，使其所得牽制外同步實(shí)現(xiàn)條件、控制策略及優(yōu)化方法具有更廣泛的應(yīng)用范圍。

此外，系統(tǒng)耦合強(qiáng)度、控制器增益和牽制控制數(shù)量間存在相互制約關(guān)系。耦合強(qiáng)度變化對(duì)外同步實(shí)現(xiàn)的影響強(qiáng)調(diào)了將具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)納入研究的重要意義。由此，如何衡量系統(tǒng)耦合強(qiáng)度、控制器增益和牽制控制數(shù)量三者的數(shù)值關(guān)系，計(jì)算網(wǎng)絡(luò)間牽制外同步實(shí)現(xiàn)的最小控制器數(shù)量，以及如何通過參數(shù)調(diào)整對(duì)外同步實(shí)現(xiàn)進(jìn)行控制調(diào)節(jié)，成為需要進(jìn)一步研究的問題。

3 模型構(gòu)建與引理推證

3.1 具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)模型

本文在文獻(xiàn)［10-13］模型的基礎(chǔ)上，降低對(duì)系統(tǒng)外部耦合矩陣對(duì)稱可約的要求，引入一個(gè)由M個(gè)相同的、具有自適應(yīng)耦合結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，且網(wǎng)絡(luò)中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都是一個(gè)M維動(dòng)力系統(tǒng)。廣義驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程表達(dá)式為：

其中，i=1，2，…，M；f（·）為描述節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)特征的非線性函數(shù)；χi（t）=（χi1（t），χi2（t），…，χim（t））T∈Rm是節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)變量；c（t）表示自適應(yīng)耦合強(qiáng)度；H=（hij）∈RM×M為系統(tǒng)外部耦合矩陣，其對(duì)角線元素hii=-∑Mj=1，j1ihij，若節(jié)點(diǎn)i，j（i≠j）相關(guān)，則hij＞0，否則hij=0；矩陣A為驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)中能夠反映任意兩節(jié)點(diǎn)狀態(tài)間耦合關(guān)系的內(nèi)部耦合矩陣。

對(duì)應(yīng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，將具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度的響應(yīng)系統(tǒng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型表述為：

其中，yi（t）為響應(yīng)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量；n表示牽制控制器數(shù)量。式（2）中其余參數(shù)與式（1）中對(duì)應(yīng)參數(shù)涵義相同。上述2個(gè)系統(tǒng)模型中，外部耦合矩陣H無對(duì)稱可約限制。

3.2 相關(guān)引理證明

鑒于諸如洛倫茲（Lorenz）系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)以及其他系列一致性混沌系統(tǒng)已被驗(yàn)證為滿足利普希茨（Lipschitz）條件，本文假設(shè)f（·）滿足如下不等式：

根據(jù)Schur引理［14］，或任意成立等價(jià)于線性不等式（簡稱LM I）成立，其中，A（χ）=（A（χ））T；C（χ）=（c（χ））T。于是可得如下引理：引理 若矩陣其中，B1=diag（b1，b2，…，br）為一對(duì)角正定矩陣Aˉ，Bˉ∈RM×M，A1，B1∈RT×T（1≤r＜M），且AT1=A1，則當(dāng)bi（1≤i≤r）足夠大時(shí)，A2＜0與Aˉ-Bˉ＜0等價(jià)。

該引理可用于推證具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)牽制外同步的實(shí)現(xiàn)條件。

4 實(shí)現(xiàn)牽制外同步的數(shù)值條件

系統(tǒng)耦合強(qiáng)度與控制器增益和牽制控制器數(shù)量之間存在相互影響，在自適應(yīng)耦合強(qiáng)度復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)下研究三者的關(guān)系，不僅可以得到網(wǎng)絡(luò)牽制外同步實(shí)現(xiàn)的數(shù)值條件，而且可計(jì)算獲得牽制外同步實(shí)現(xiàn)的最小控制器數(shù)量。自適應(yīng)牽制控制器設(shè)計(jì)如下：

其中，i=1，2，…，n；θ為正常數(shù)；ri（t）=yi（t）-χi（t）表示驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)誤差向量；Ki（t）表示牽制控制器增益。對(duì)于1≤i≤n，若di＞0，則Ki（t）與c（t）成正比，即控制器增益正比于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)耦合強(qiáng)度。

將牽制控制器的表達(dá)式（4）代入系統(tǒng)誤差模型（式（5））：

將外部耦合矩陣H的對(duì)角線元素hii替代為（ρmin/γ）hii，得到H的修正矩陣H∧，記為的最小特征根，γ=A。

構(gòu)造一個(gè)Lyapunoy函數(shù)V（t）如式（6）所示：

其中，α和cˉ為待定常數(shù)。

根據(jù)牽制控制器表達(dá)式（4）和系統(tǒng)誤差模型式（5），該函數(shù)在式（5）解的方向上關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為：

其中：

記λmin為的最小特征值，為Hμ的最大特征值。根據(jù)引理，等價(jià)于當(dāng)α充分小且ˉc充分大時(shí)此時(shí)，具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度的驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)在自適應(yīng)牽制控制器（式（4））的作用下可以實(shí)現(xiàn)外同步。因此，得出基于具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度的驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)間牽制同步實(shí)現(xiàn)的數(shù)值條件：

條件 當(dāng)利Lipschitz條件成立時(shí)，如果存在自然數(shù)n（1≤n＜M）滿足：

其中，α為正常數(shù)；當(dāng)γ=A時(shí)，具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度的驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在如式（4）所示的自適應(yīng)牽制器作用下可以實(shí)現(xiàn)牽制外同步。

數(shù)值條件中含有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間耦合強(qiáng)度、牽制控制器數(shù)量和牽制控制器增益，是一種可以權(quán)衡三者關(guān)系的折中性判斷依據(jù)。式（8）中α的變化可以對(duì)不等式起到調(diào)節(jié)作用，從而影響最小控制器數(shù)量。

5 數(shù)值仿真驗(yàn)證

本文仿真驗(yàn)證分為廣義性質(zhì)驗(yàn)證和具體領(lǐng)域?qū)嵗?yàn)證兩部分。首先進(jìn)行廣義性質(zhì)驗(yàn)證。由于研究目的之一是得出具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度的2個(gè)廣義系統(tǒng)間實(shí)現(xiàn)外同步的判別條件。根據(jù)同步定義，在時(shí)間t趨于無窮時(shí)，若系統(tǒng)間對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)象狀態(tài)一致，則認(rèn)為這2個(gè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)外同步。據(jù)此，將該問題轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，即若在時(shí)間t趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)間的誤差趨于0，則認(rèn)為系統(tǒng)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)間實(shí)現(xiàn)同步。為得出在時(shí)間t趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)間誤差趨于0的判定條件，應(yīng)用穩(wěn)定性理論中的Lyapunov第二穩(wěn)定性理論，選取適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，利用該函數(shù)導(dǎo)數(shù)小于0得出系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定且誤差趨于0的判別條件。由于Lorentz系統(tǒng)已被驗(yàn)證為滿足Lipschitz條件，一般性地，選擇由6個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，且網(wǎng)絡(luò)中任一節(jié)點(diǎn)均由具有典型混沌特性的洛倫茲系統(tǒng)構(gòu)成。洛倫茲系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述模型如式（9）所示：沌特征的非線性動(dòng)力系統(tǒng)。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)具有混沌特性。由于Lorentz系統(tǒng)存在有界性［15-16］，滿足Lipschitz條件，因此式（3）成立。

選取具有自適應(yīng)變化的函數(shù)作為驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度。根據(jù)引理和式（9）約定的參數(shù)δ=60.318，θ=0.004，n=3，di=50，i=1，2，…，n。對(duì)自適應(yīng)耦合強(qiáng)度c（t）和剩余狀態(tài)變量的初始值，在區(qū)間（0，1）內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)選取。在本例中，選取α=3驗(yàn)證響應(yīng)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中牽制節(jié)點(diǎn)數(shù)量所產(chǎn)生的影響。

具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度的驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中對(duì)應(yīng)6個(gè)節(jié)點(diǎn)的誤差狀態(tài)曲線如圖1～圖3所示。圖1表示廣義驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)同步過程中，對(duì)應(yīng)誤差的變化曲線。由圖1可知，在t=4后2個(gè)系統(tǒng)間對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的第1種狀態(tài)間的誤差

Lorentz系統(tǒng)為一類在指定參數(shù)下具有明顯混趨于0，也即系統(tǒng)間節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的第1種狀態(tài)完全實(shí)現(xiàn)同步。圖2和圖3表示對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)間的第2和第3種狀態(tài)間對(duì)應(yīng)的誤差變化曲線?？梢姡?dāng)t趨向無窮時(shí)，系統(tǒng)間對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)可以完全實(shí)現(xiàn)同步，即本文所得理論具有可行性。

圖1 具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)誤差狀態(tài)ri1

圖2 具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)誤差狀態(tài)ri2

圖3 具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)誤差狀態(tài)ri3

鑒于在應(yīng)用領(lǐng)域中金融市場已被證實(shí)具有復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特性，以及其間同步問題的存在性和收益數(shù)據(jù)的易得性，筆者繼而進(jìn)行以我國不同類型金融市場，股票市場、國債市場和股指期貨市場間收益行為的同步控制作為廣義性質(zhì)仿真后的具體應(yīng)用領(lǐng)域驗(yàn)證。針對(duì)各金融市場，選擇2010年9月20日-2014年9月30日上證綜指、上證國債指數(shù)和股指期貨指數(shù)的日度收益率序列，以相關(guān)性對(duì)各市場建網(wǎng)，用數(shù)值仿真的形式得出系統(tǒng)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)間實(shí)現(xiàn)外同步的判別條件，驗(yàn)證本文所得理論結(jié)果的有效性。表征其網(wǎng)間外同步的誤差演化形式如圖4所示。在本文模型參數(shù)約束下，其在2011年附近誤差接近于0，與實(shí)際市場在2011年3月所表現(xiàn)出的高同步時(shí)的點(diǎn)接近一致。

圖4 不同類型金融市場的系統(tǒng)誤差狀態(tài)

6 結(jié)束語

本文基于Lyapunov穩(wěn)定性理論、Schur引理和自適應(yīng)技術(shù)，提出一種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)間牽制外同步的判別條件，所得判別條件通過代數(shù)表達(dá)式進(jìn)行表達(dá)，與現(xiàn)有矩陣不等式方法相比，該方法具有適用范圍廣的優(yōu)點(diǎn)，無需對(duì)外部耦合矩陣進(jìn)行對(duì)稱可約約束，通過模型參數(shù)調(diào)整響應(yīng)系統(tǒng)中需要添加的控制器數(shù)量，能有效權(quán)衡耦合強(qiáng)度、控制器增益和控制器數(shù)量三者間的關(guān)系，降低成本。從廣義應(yīng)用價(jià)值角度，本文研究適用于不同領(lǐng)域間控制協(xié)調(diào)和網(wǎng)絡(luò)間擁塞控制，從狹義應(yīng)用價(jià)值角度，適用于不同類型金融市場間行為的協(xié)調(diào)分析和信息網(wǎng)絡(luò)間擁塞的外同步滯后控制。鑒于數(shù)據(jù)可得性，選擇以不同類型金融市場間收益行為的協(xié)調(diào)作為廣義性質(zhì)仿真后的具體性驗(yàn)證。在后續(xù)研究中可將本文研究延伸至經(jīng)濟(jì)金融政策的協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)，對(duì)優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、提高系統(tǒng)穩(wěn)定性具有借鑒作用。

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編輯 陸燕菲

Pinning Synchronization Control of Drive and ResPonse Network with AdaPtive CouPling Strength

WEN Bohui1，ZHAO Mo2
（1.Department of Finance，School of Economics，Tianjin University of Finance and Economics，Tianjin 300222，China；2.Institute of Civil Aviation Air Traffic Control，Civil Aviation University of China，Tianjin 300222，China）

Under the condition that the system coup ling matrix is not required to be symmetric，the coupling strength of adaptive time varying characteristics is used as the system model，this paper makes adaptive time-varying characteristic of the coup ling strength as a model of the system Without symmetry restriction.Based on the Lyapunov stability theory，the lemma of Schur and adaptive technique，the discriminant condition can realize pinning external synchronization between comp lex network.The discriminant condition considers the relationship among the coupling strength，controllers numbers and the controller gain，and it has important realistic significance in engineering design，and the minimum number of controller by parameters can be adjusted.Numerical simulations in Lorentz system are given to illustrate the effectiveness of discriminant condition，and synchronous control simulation results of earnings behavior between different types of financial markets and also close to the real high synchronization in financial markets.

com plex network；pinning control；adaptive；coup ling strength；synchronization；controller

溫博慧，趙 末.具有自適應(yīng)耦合強(qiáng)度的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)牽制同步控制［J］.計(jì)算機(jī)工程，2015，41（9）：126-130.

英文引用格式：Wen Bohui，Zhao Mo.Pinning Synchronization Control of Drive and Response Network with Adaptive Coup ling Strength［J］.Computer Engineering，2015，41（9）：126-130.

1000-3428（2015）09-0126-05

A

TP273

10.3969/j.issn.1000-3428.2015.09.022

國家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目（71103126）；天津財(cái)經(jīng)大學(xué)優(yōu)秀青年學(xué)者培育計(jì)劃基金資助項(xiàng)目（YQ1204）。

溫博慧（1981-），女，副教授、博士，主研方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)控制；趙 末，助理研究員、博士。

2014-09-19

2014-10-25 E-m ail：m im iwenh@163.com