武 進(jìn)，李云霞，張二喜

(成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，四川成都 610059）

幾類微分算子的一般表示

武 進(jìn)，李云霞，張二喜

(成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，四川成都 610059）

梯度，散度，旋度這三個(gè)概念不僅在物理學(xué)中有著重要的地位，同時(shí)在微分學(xué)中也地位突出。首先介紹了弧長(zhǎng)微元，面積微元，體積微元在不同的坐標(biāo)系下的表示。其次從物理學(xué)的角度闡明了梯度，散度，旋度的物理意義讓我們對(duì)梯度，散度，旋度有一個(gè)新的認(rèn)識(shí)，最后將梯度，散度，旋度在不同坐標(biāo)系下表示，從不同的角度去研究，從而有一個(gè)更加通俗易懂的認(rèn)識(shí)。

弧長(zhǎng)微元;面積微元;體積微元;梯度;散度;旋度;一般表示

1 弧長(zhǎng)微元，面積微元，體積微元

1.1 直角坐標(biāo)系下的弧長(zhǎng)微元，面積微元，體積微元[1-4]

進(jìn)而可得

如圖1所示建立直角坐標(biāo)系并作圖:

圖1 直角坐標(biāo)系

圖2 平行六面體的主視圖

1.2 一般坐標(biāo)系下的弧長(zhǎng)微元，面積微元，體積微元

要使變換有意義則其雅克比行列式：

其中

于是可得弧長(zhǎng)微元:

且gij=0(i≠j)即有

圖3 直角坐標(biāo)系

則有弧長(zhǎng)微元

圖4 平行六面體的主視圖

于是可以得到前后面面積微元:

同樣左右面面積微元:

上下面面積微元:

例1求圓柱坐標(biāo)下的弧長(zhǎng)微元，體積微元。

解設(shè)給出的向量

選取向量組

圖5 圓柱坐標(biāo)系中的一角

例2求球坐標(biāo)下的弧長(zhǎng)微元，體積微元。

解設(shè)給出的向量

我們選取向量組

2 幾類微分算子的一般表示

2.1 梯度的一般表示[5-8]

2.1.1 梯度的物理意義

由Diragance定理：

2.1.2 梯度在一般坐標(biāo)系下的表示

考慮函數(shù)f從點(diǎn)A(u1,u2,u3)變化到點(diǎn)由泰勒展式可知兩點(diǎn)間的差分：

A,B兩點(diǎn)之間的距離用向量表示為：

用差分表示為：

因而

這便是梯度在一般坐標(biāo)系下的表示。

2.1.3 梯度在圓柱坐標(biāo)，球坐標(biāo)系下的表示

（1）梯度在圓柱坐標(biāo)系下的表示。

由于在圓柱坐標(biāo)下拐點(diǎn)

故梯度：

（2）梯度在球坐標(biāo)系下的表示。

由于在球坐標(biāo)下拐點(diǎn)

故梯度：

2.2 散度的一般表示

由Gamssdiragdnce定理：

2.2.1 垂直坐標(biāo)系下散度的一般表示：

2.2.2 散度在一般坐標(biāo)系下的表示

圖6 直角坐標(biāo)系

2.2.3 仿照垂直坐標(biāo)系下散度一般表示的方法，則

證明不妨固定的方向由Gamssdiragdnce定理可知沿著方向的通量為，當(dāng)Δh1→0時(shí)；同理當(dāng)時(shí)

故

2.2.4 散度在圓柱坐標(biāo)，球坐標(biāo)系下的表示

（1）散度在圓柱坐標(biāo)系下的表示：

圓柱坐標(biāo)系下記向量

（2）散度在球坐標(biāo)系下的表示：

球坐標(biāo)系下記向量

則

2.3 旋度的一般表示

2.3.1 旋度的物理意義

由stoke定理：，即c是s

通過上式我們可知旋度的物理意義為單位面積之環(huán)流。的邊界，兩邊積分可知：

2.3.2 一般坐標(biāo)系下旋度的表示

上式為旋度的一般表示。

[1]葛渭高.非線性常微分方程邊值問題[M].北京：科學(xué)出版社,2007.

[2]仇慶文,陳恕行.傅里葉積分算子理論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,1985.

[3]P V VINOGRADOVA,A G ZARUBIN.Asymptotic estimates of a projection-difference method for an operator-differential equation[J].Journal of numerical mathematics,2013,21(3):181-200.

[4]楊秋霞.關(guān)于幾類常微分算子特征值的研究[D].呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學(xué),2007.

[5]許美珍.常微分算子理論的發(fā)展[D].呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學(xué),2011.

[6]Xu X.Differential-operator representations of S_n and singular vectors in Vermamodules[J].Algebras and representation theory,2012,15(2):211-231.

[7]Kalantarov V K,Yilmaz Y.Decay and growth estimates for solutions of second-order and third-order differential-operator equations[J].Nonlinear Analysis:An International Multidisciplinary Journal,2013,89:1-7.

[8]馬天.偏微分方程理論與方法[M].北京：科學(xué)出版社,2011.

〔責(zé)任編輯 高海〕

General Representation of Several Types of Differential Operators

WU Jin,LI Yun-xia,ZHANG Er-xi
(College of Managemen Science,Chengdu University of Technology,Chengdu Sichuan,610059)

These three concepts of gradient,divergence,curl play an important role not only in physics,but also prominent in the differential calculus.This article first introduced,arc length element,with an area of infinitesimal element of volume expressed in dif?ferent coordinate systems,for later in the gradient,divergence,curl in different coordinate systems is generally fully prepared.Second,from the point of view of physics we clarify the gradient,divergence,curl the physical meaning,we have a new understanding of the gra?dient,divergence,curl.Gradient,divergence,curl are shown different coordinate systems and studied from different angles,making it a more user-friendly understanding.

arc length element,area element,the element of volume,gradient,divergence,curl，generally express

O175.8

A

1674-0874(2015)03-0020-04

2015-02-24

武進(jìn)（1985-），男，四川瀘縣人，碩士,研究方向:基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。