☉江蘇省海安縣城南實驗中學　劉東升

追問“爭議錯題”，思辨“認識封閉”
——從一道圖像信息題的“爭議”說起

☉江蘇省海安縣城南實驗中學劉東升

剛剛過去的中考模擬測試中，筆者所在地區(qū)?？季砀木幜艘坏肋x擇題，考后個別同行指出這是一道“爭議錯題”，并在相關QQ群里引發(fā)熱議，本文記錄這次“民間教研活動”，并深入追問這道“爭議錯題”，與更多同行研討.

一、“爭議錯題”及溯源

考題（2015年江蘇省海安縣中考模擬卷）小李與小楊從某鎮(zhèn)初中出發(fā)，騎自行車沿同一條路行駛到縣城圖書館，他們離出發(fā)地的距離S（單位：km）和行駛時間t（單位：h）之間的函數(shù)關系的圖像如圖1所示，根據(jù)圖中提供的信息，有下列說法：

（1）他們都行駛了20 km；

（2）小李全程共用了2.5 h；

（3）小李與小楊相遇后，小李的速度小于小楊的速度；

（4）小楊“后發(fā)先至”，即出發(fā)得晚，卻先到達目的地.

其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

簡解：只要對照圖像容易確認說法（2）（3）（4）正確；說法（1）中如果不深入追問，也可很快根據(jù)圖像得出兩人的行駛路程都是20 km.從而選D.

追問：考題中“他們離出發(fā)地的距離S”是兩點之間直線段的長度嗎？小李在行駛過程中一定存在靜止狀態(tài)（或休息）？從圖像可以確認小楊行駛路是20 km，但能否確定小李也行駛了20 km？

在回應以上追問之前，不妨先列舉一些來源.溯源1：來自《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》.例55小明的父母出去散步，從家走了20分到一個離家900米的報亭，母親隨即按原速返回.父親在報亭看了10分報紙后，用15分返回家.下面的圖形中哪一個表示父親離家后的時間與距離之間的關系？哪一個圖形是表示母親的行走過程？

圖1

圖2

溯源2：摘自人教版教材，八年級下冊，第83～84頁.

第9題下面的圖像（如圖3）反映的過程是：張強從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店去買筆，然后散步走回家.其中x表示時間，y表示張強離家的距離.根據(jù)圖像回答下列問題：

圖3

（1）體育場離張強家多遠？張強從家到體育場用了多少時間？

（2）體育場離文具店多遠？

（3）張強在文具店停留了多少時間？

（4）張強從文具店回家的平均速度是多少？

第13題甲、乙兩車從A城出發(fā)前往B城.在整個行程中，汽車離開A城的距離y與時間t的關系如圖4所示.

圖4

（1）A、B兩城相距多遠？

（2）哪一輛車先出發(fā)？哪輛車先到B城？

（3）甲、乙兩車的平均速度分別為多少？

（4）你還能從圖中得到哪些信息？

二、關于“距離”的相關認識

在QQ群的研討過程中，不少老師提及距離的概念是“兩點之間直線段的長度”，所以“考題”中使用距離是錯誤的，應該改為路程，或者約定它們在同一直線上.如果是這樣的話，“課標（2011年版）”上列舉的“例55”、人教版教材上的習題都是錯誤的？看來，我們需要對“距離”進一步認識，以下是經(jīng)過網(wǎng)絡搜索得出的關于“距離”的相關概念（維基百科）.

距離是一種標量，不具方向.這種量不會是負數(shù).

在物理學上，距離是由某些媒介如人、動物和交通工具所經(jīng)過路線的公里，由起點到終點的向量則是位移.

在數(shù)學上，距離是定義在向量空間中的一種函數(shù).例如：日常生活中，最常見的距離就是歐幾里德空間中的距離，是2階范數(shù)；在圖論中，距離是兩個頂點之間經(jīng)過最短路徑的邊的數(shù)目；在坐標幾何中，距離是1階范數(shù).

而物體的路徑是不具有方向性的標量，而路徑長也需要基準點及參考點，但位移及路徑長最大不同是路徑長不具方向性.以白話來說，路徑長可以是彎曲的，而位移卻是一條線.

可以發(fā)現(xiàn)，爭議考題是否為錯題的焦點在于這道考題中的距離是物理學指出的“人所經(jīng)過的路線的公里”還是數(shù)學上“最常見的距離就是歐幾里德空間中的距離”呢？就考題、課標、教材上的“一脈相承”來看，它們似乎約定了“人所經(jīng)過路線的公里”，這樣來看，把思路引向歐氏幾何中的距離確實不是一個好的解題念頭.

三、想起“認識封閉”現(xiàn)象

關于“認識封閉”現(xiàn)象，羅增儒教授曾有精彩的闡釋，下面稍作引述.

案例：如圖5，表示某人從家出發(fā)任一時刻到家的距離（S）與所花時間（t）之間的關系，請根據(jù)圖像編一個故事.

圖5

很多人編寫的故事都包括如下一些特征：

①在OP上作勻速直線運動；

②在PQ上靜止；

③在QR上作勻速直線運動.

然而為什么“在PQ上靜止？”到家的距離不變就是“到定點（家）的距離為定長（不變）”，這樣的點一定是定點嗎？這里的認識封閉在于：面對“到一定點的距離為定長”的數(shù)學情景時，只想到靜止而想不到運動（軌跡！圓周運動，空間為球），數(shù)與形的雙向流動不夠通暢.從知識上看，可能還有“距離”與“路程”的混淆：隨著時間的推移而路程不變，當然是靜止，但隨著時間的推移而距離不變，則可能是靜止也可能是運動.

現(xiàn)在可以發(fā)現(xiàn)，這是“一個很普遍的認識封閉現(xiàn)象”（認識封閉1），并且當我們進一步問會有多少種運動方式時，也存在認識封閉現(xiàn)象，普遍沒考慮到在圓周上既可以運動又可以靜止，既可以前進又可以來回走動，既可以原路返回又可以另路返回（認識封閉2）.

到此，我們可以知道，提出上文那道考題是一道“爭議考題”的同行應該是認識到了羅教授指出的“認識封閉”，從而認為說法（1）“他們都行駛了20km”出現(xiàn)了認識封閉！

可是據(jù)此認識封閉就認定考題有爭議還為時尚早！如果確認“考題”中小李行駛的路線含有羅教授所指出的圓周現(xiàn)象的話，那么“考題”中還有“騎自行車沿同一條路行駛到縣城圖書館”的條件，小楊行駛的也是小李的路線，他也應該出現(xiàn)類似的折線圖像，然而從圖像中看到的直線段來看，就會把前面分類討論出來的路線中的圓周現(xiàn)象排除出去，問題又回到最初的簡單狀態(tài).

四、相關感悟

上面概述了“爭議考題”的疑點、溯源以及辨析，真理越辨越明，對爭議考題的辨析、追問事實上也促進了我們深刻理解相關概念，并且獲得如下感悟.

第一，對概念深入追問時需要注意不同階段下的約定

由于混淆了不同階段下的“距離”概念，導致人們對“考題”有了爭議.然而這正是我們對科學概念深入追問時的一個注意點，即需要在不同語境中思考概念的意義，數(shù)學追求嚴謹，但又常常在深入追問中陷入尷尬，這也正是歷史上幾次所謂“數(shù)學危機”所帶來數(shù)學發(fā)展的根本動力.類似的深入追問，還可提及三角形、四邊形、圓的面積問題，根據(jù)定義，三角形是由三條線段首尾順次相接組成的圖形，線段源于直線，是沒有寬度的，而求三角形的面積則是三角形圍成圖形的面積，四邊形、圓的面積亦然.然而，我們不能求一個半圓的面積，因為半圓只是直徑所對的一段圓弧.再比如，在七年級有理數(shù)一章中，數(shù)軸上的點與有理數(shù)是一一對應關系，而到后來數(shù)系擴充到實數(shù)系后，顯然前面的表述是不嚴謹?shù)?這樣來看，“課標”“教材”等將“距離”混淆為“路程”就有了初級階段的解釋，也符合蘇步青先生提出的“混而不錯”的建議.

第二，充分肯定數(shù)學思維積極作用的同時，也要防止“數(shù)學的惡”

如鄭毓信教授所指出的，“在充分肯定數(shù)學思維積極作用的同時，我們也應該清楚地看到這樣兩個基本事實：第一，思維方式的多樣性.……第二，數(shù)學思維的局限性.”從這個意義上說，認真研究教材的內(nèi)涵還應該包括如何讀懂教材，即讀懂教材背后欲言又止的含蓄和智慧，教材作為一種普適性的學習素材，有些知識在現(xiàn)階段限于絕大多數(shù)學生的認知，可以也不必做深入追問時，教材上往往采取了上面提及的“混而不錯”的模糊處理，如果教師出于個人喜好將深入追問的習慣傳遞給所有學生，其所帶來的效果到底是積極的還是消極的，尚難定論.這方面的一個教學案例是：七年級上學期，為了說明所謂“負負得正”的正確性，不同版本的教材曾經(jīng)采用“蝸牛爬行”“水位升降”等偽情境進行說明，意圖向?qū)W生解釋“負負得正”（本質(zhì)上說是一種約定），還有人甚至從數(shù)學運算、運算通性的角度意圖證明，然而效果均不理想.最新版人教課標教材又直接回歸了一組算式的驗算、發(fā)現(xiàn)與歸納“負負得正”，相對來說則是一種簡明的、高效的處理方式，頗得一線教師認可.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.鄭毓信.數(shù)學教師專業(yè)成長的6個關鍵詞［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2015（4）.Z

*本文為教育部教師教育國家級精品資源共享課立項建設課程“中學數(shù)學課程標準與教材研究”的成果（教師廳函［2013］2號：113）.