☉江蘇省如皋市第二中學　賈　

把關(guān)預(yù)設(shè)新定義，“距離”考題頻登場
——從2015年北京市西城區(qū)中考?？荚囶}說起

☉江蘇省如皋市第二中學賈

近讀《中學數(shù)學》，閆守范老師在文1中講解了北京市一道新定義考題，受到啟發(fā)，筆者也關(guān)注了近期北京市各區(qū)相關(guān)年級的測試題，發(fā)現(xiàn)以“距離”為新定義背景命制整卷把關(guān)題的地區(qū)不在少數(shù)，本文列舉幾例，并思辨相關(guān)的命題導向與教學導向，與同行研討.

一、由北京市西城區(qū)中考一模把關(guān)題說起

例1（2015年北京市西城區(qū)初三一模試卷，第29題）給出如下規(guī)定：兩個圖形G1和G2，點P為G1上任一點，點Q為G2上任一點，如果線段PQ的長度存在最小值，就稱該最小值為兩個圖形G1和G2之間的距離.

在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點.

（1）點A的坐標為（1，0），則點B（2，3）和射線OA之間的距離為________，點C（-2，3）和射線OA之間的距離為________.

，那么k=__________.（可在圖1中進行研究）

①請在圖2中畫出圖形M，并描述圖形M的組成部分；（若涉及平面中某個區(qū)域時可以用陰影表示）

②將射線OE、OF組成的圖形記為圖形W，拋物線y= x2-2與圖形M的公共部分記為圖形N，請直接寫出圖形W和圖形N之間的距離.

圖1

圖2

（2）需要先分析雙曲線位于哪兩個象限，經(jīng)確認只能是第二、四象限，此時距離原點最近距離為，說明該點是（-1，1），即k=1.

（3）①如圖3，過點O分別作射線OE、OF的垂線OG、OH，則圖形M為：y軸正半軸、∠GOH的邊及其內(nèi)部的所有點（圖中的陰影部分）.

下方重疊的部分（含邊界）.

圖3

②首先要辨明圖形W、N分別是什么圖形？根據(jù)定義“射線OE、OF組成的圖形記為圖形W”，不難發(fā)現(xiàn)，所謂圖形W是有公共端點的兩條射線；而圖形N是由拋物線y=x2-2被圖形M框住的一段拋物線，所以需要求出拋物線y=x2-2與圖形M中兩條射線OG、OH的交點（如圖4中的點J、K），于是先聯(lián)立射線OH的解析式與拋物線的解析式，得解得（正值舍去）即K點坐標是），根據(jù)對稱性可得J點坐標為

圖4

說明：如果對“直觀發(fā)現(xiàn)點K或J到原點距離最小”不滿意的話，還可從“數(shù)”的角度精準描述，即拋物線上任意一點（x，x2-2）到原點（0，0）的距離是，由于x2不能取得不能取得此時距離是，

二、北京市各區(qū)與“距離”相關(guān)的新定義題檢索

在講解例1的思路之后，我們還檢索了北京市各區(qū)的考卷，又發(fā)現(xiàn)兩例是與“距離”相關(guān)的把關(guān)題，不妨鏈接如下（限于篇幅，解答留給讀者完成）.

例2（2014～2015學年北京市人大附中九下4月月考卷，把關(guān)題）對于兩個已知圖形G1、G2，在G1上任取一點P，在G2上任取一點Q，當線段PQ的長度最小時，我們稱這個最小的長度為圖形G1、G2的“密距”；當線段PQ的長度最大值時，我們稱這個最大的長度為圖形G1、G2的“疏距”.

請你在學習、理解上述定義的基礎(chǔ)上，解決下面的問題：

如圖5，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（-3，4），點B的坐標為（3，4），矩形ABCD的對稱中心為點O.

（1）線段AD和BC的“密距”是________；“疏距”是________.

圖5

（3）平面直角坐標系xOy中有一個四邊形KLMN，將矩形ABCD繞點O旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，它與四邊形KLMN的“疏距”的最大值為7.

①旋轉(zhuǎn)過程中，它與四邊形KLMN的“密距”的取值范圍是________；

②求四邊形KLMN的面積的最大值.

說明：讀者貫通思路后也可參考相關(guān)該題的解析，詳見博文http：//blog.sina.com.cn/s/blog_445edb 810102 vqqu.html.

例3（北京市三帆中學2013～2014學年度第二學期七年級期中試卷，第26題）在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點P1（x1，y1）與P2（x2，y2）的“識別距離”，給出如下定義：若|x1-x2|≥|y1-y2|，則點P1（x1，y1）與點P2（x2，y2）的“識別距離”為|x1-x2|；若|x1-x2|＜|y1-y2|，則點P1（x1，y1）與點P2（x2，y2）的“識別距離”為|y1-y2|.

（1）已知點A（-1，0），B為y軸上的動點.

①若點A與B的“識別距離”為2，寫出滿足條件的B點的坐標：_____________.

②直接寫出點A與點B的“識別距離”的最小值_____________.

說明：這道考題改編自2012年北京市中考卷第25題，命題者通過精心改編，使得七年級學生也可挑戰(zhàn)這道新定義考題，相關(guān)解析也可參考博文http：//blog.sina. com.cn/s/blog_d17e61970102vtdc.html.

三、關(guān)于新定義“距離”考題的命題導向與思考

上面我們從一道“距離”的新定義考題出發(fā)，檢索了北京市相關(guān)考題，以下再圍繞這種類型考題的命題導向闡釋一些個性化的思考.

1.解題教學要重視“回到概念去解題”

李邦河院士說過“數(shù)學，根本上是玩概念的”.像本文列舉的新定義考題一定意義上也是在倡導“玩概念”，對于引導重視概念教學無疑是十分有利的，特別是解題教學中引導“學生回到概念去解題”，而不是對題型、想技巧.根據(jù)我們的解題教學經(jīng)驗，不少學生對這類新定義的閱讀理解問題出現(xiàn)解題障礙時，常?？梢酝ㄟ^追問發(fā)現(xiàn)，他們其實沒有真正讀懂或理解新定義、新約定，而是直接求解問題.比如，筆者曾安排學生練習例1的最后一問，不少學生出現(xiàn)錯誤后，追問原因，原來把圖形N就沒有讀懂，還有一些學生把一維圖形（一段拋物線）誤認為是二維圖形（拋物線與兩條射線OG、OH圍成的區(qū)域）.

2.新定義考題何以風行北京市各區(qū)（校）

有命題興趣的同行常常喜歡關(guān)注北京市各區(qū)考題，一方面，作為首都北京市的命題質(zhì)量往往優(yōu)于其他地區(qū)，另一方面，近幾年來北京市各區(qū)的考題在把關(guān)題的位置上常常設(shè)計一道新定義考題.如果追問一下，為何新定義考題在北京市各區(qū)（校）如此風行？只要檢索一下北京市近五年來的中考試題就不難發(fā)現(xiàn)原因了，因為北京市中考卷近年來的強勢引領(lǐng)，全部用所謂的新定義考題作為全卷最后一題，這一方面是想引導廣大備考師生遠離題海，年年出新題，另一方面也是想通過命題創(chuàng)新倡導學生的創(chuàng)新精神，培養(yǎng)探索未知的能力.然而，就北京市各區(qū)（校）從七年級開始就常常用新定義考題來設(shè)計把關(guān)題的現(xiàn)實來看，這又容易讓我們這些局外人想起：這是否又是一種新的應(yīng)試風潮？或者說，由于大型考試在固定位置上的八股化命題風格，一定意義上又影響和帶動了所在地區(qū)的跟風呢？

1.閆守范.新定義題破題策略與命題商榷——以北京市海淀區(qū)初三第一學期測試卷第25題為例［J］.中學數(shù)學（下），2015（3）.

2.夏盛亮.引導回歸教材，倡導開放取向——一次縣級期末卷的命題取向分析［J］.中學數(shù)學（下），2014（1）.

3.鄭毓信.開放題與開放式教學［J］.中學數(shù)學教學參考，2001（3）.