程 晗，王 內(nèi)，壽曉波

（中國船舶重工集團公司第722研究所，武漢 430000）

0 引言

目前，針對機器人的運動學分析研究最多的是基于成熟的機器人產(chǎn)品如ABB IRB系列機器人等平面連桿構型的機器人[1～3]。對于更具有通用性的非平面連桿構型機器人系統(tǒng)卻研究較少，如前3關節(jié)軸線所在平面和后3關節(jié)所在平面有偏置的6軸機器人。

相較平面型機器人的正/逆運動學分析，本文建立一種更具通用性的6軸串聯(lián)式機器人正/逆運動學方程，結合機器人的結構參數(shù)，可以在機器人的運動控制中更加快速的進行運動學的求解。同時，針對這種平面偏置型6軸機器人，根據(jù)機器人末端運動軌跡的要求，建立一種基于等效轉軸和等效轉角的通用運動軌跡規(guī)劃方法。

1 通用6軸工業(yè)機器人的結構分析

常見的串聯(lián)式垂直多關節(jié)（一般為6關節(jié)）的機械臂的3D構型如圖1所示。

圖1 6軸串聯(lián)式機械臂3D構型

通用串聯(lián)構型的六軸機械臂的主要結構參數(shù)如圖2所示，相對于目前常見的機械臂構型如《論文1》中所述機器人，也即一般考慮機械臂的構型的簡化連桿模型是在同一個平面內(nèi)。本文中在通用串聯(lián)構型的六軸機械臂引入了參數(shù)P7，使得平面連桿構型變?yōu)榭臻g構型。

圖2 空間構型的通用機械臂主要結構參數(shù)

圖2中P1和P6用于確定世界坐標系和工具坐標系用，故下文中的正反解的解析表達式中沒有涉及。針對以上通用的6軸串聯(lián)機械臂構型，可以建立統(tǒng)一的運動學正反解標準方程。

2 通用6軸工業(yè)機器人的運動學分析

首先按照D-H連桿坐標系建立的一般規(guī)則，首先確定各個坐標系的X、Y、Z軸的方向和原點坐標，從而建立該通用6軸機器人的D-H坐標系。各關節(jié)的D-H坐標系的建立如圖1所示。

圖3 通用6軸機械臂的各連桿坐標系

假定基座標系和軸1的坐標系建立在同一點上的情況下，6軸機器人D-H坐標系下各個連桿和關節(jié)參數(shù)可以列出，如表1所示。

表1 通用6軸機器人的D-H坐標連桿參數(shù)表

2.1 正運動學分析

機器人的正解指的是通過機械臂的關節(jié)角求解出腕點的空間位置和姿態(tài)的過程，腕點的空間位姿（位置和姿態(tài)）我們使用D-H坐標來表示。

利用表1即機械臂D-H參數(shù)表中的數(shù)據(jù)很容易求得機器人末端也即軸6的坐標系{6}相對于基座標系{0}的位姿矩陣為：

式中：

為校核所得結果的正確性，計算當θi取表1中的初始值{0,90°,0,0,0,0}時，計算結果為：

與機械臂結構簡圖即圖1中顯示的結果完全一致，說明這種通用機械臂運動學正解的解析表達式是準確可靠的。

2.2 逆運動學分析

根據(jù)機械臂運動學可得封閉解的Pieper準則，這種通用6旋轉關節(jié)的機械臂構型由于最后3軸交于一點，所以可用反變化法（也稱代數(shù)法）得封閉解如下：

將式子：

同時有，令兩邊矩陣的（1，3）和（3，3）元素分別相等，得到：

3 姿態(tài)角遞增規(guī)劃算法

不同于3軸或4軸工業(yè)機器人（如碼垛用機器人等），6軸機器人的運動軌跡規(guī)劃不僅需要控制工具末端TCP點的位置量即px、py、pz沿著規(guī)劃軌跡精準運動，同時也要保證工具的姿態(tài)按照預定義的運動姿態(tài)規(guī)劃進行實時變化。

例如以下的簡單直線插補過程，2個實線模塊表示的是工具起點和終點位姿，姿態(tài)角遞增規(guī)劃算法的目的是為了保證工具末端TCP點的位置和姿態(tài)能按照預定義的姿態(tài)規(guī)劃路徑逐漸精確地從起點位姿運動到終點位姿。

圖4 姿態(tài)角遞增的直線插補方式

鑒于齊次坐標的姿態(tài)矩陣即R3×3矩陣中共9個變量相對于3個姿態(tài)量過于冗余，故目前常見的姿態(tài)規(guī)劃方法主要是基于歐拉角、RPY角、四元數(shù)或者旋轉變換通式等，本文提到的運動控制算法主要采用的是基于旋轉變換通式的姿態(tài)角遞增規(guī)劃算法。

易得：

上述式子即為旋轉變換通式的建立過程，反向問題則是依靠旋轉變換矩陣求解等效轉軸k和等效轉角θ。

對于任意給定的旋轉矩陣：

依據(jù)以上2個式子，可以很容易求得任意給定的旋轉矩陣的等效轉軸k和等效轉角θ，插補過程中任意插補點的位姿矩陣為：

其中PΔ表示起點到終點的位置變化矢量，N表示依據(jù)運動步長規(guī)劃的插補步數(shù)。

姿態(tài)角遞增規(guī)劃算法的主要計算流程如圖5所示。

圖5 姿態(tài)角遞增規(guī)劃算法流程

4 仿真及結果分析

根據(jù)前述6軸機器人運動學算法和運動軌跡規(guī)劃算法，選定初末關節(jié)角1到6關節(jié)角度值分別為：{5°,26°,86°,12°,13°,30°}和{10°,51°,101°,33°,26°,47°}共兩點作為直線運動軌跡規(guī)劃的起點和終點的位姿。

運用上述方法規(guī)劃的TCP點直線運動軌跡如圖6所示。

圖6 規(guī)劃的TCP點末端位置

各關節(jié)的運動變化曲線如下圖所示，其中藍色細實線表示關節(jié)1（axis1），綠色細虛線表示關節(jié)2（axis2），紅色短劃線表示關節(jié)3（axis3），藍色粗實線表示關節(jié)4（axis4），綠色粗虛線表示關節(jié)5（axis5），紅色粗短劃線表示關節(jié)6（axis6）。由圖可知，經(jīng)規(guī)劃算法之后關節(jié)1至關節(jié)6的起點和終點的角度值和規(guī)劃前的值一致，說明規(guī)劃算法能保證機械臂從起點運動到終點。

圖7 各關節(jié)角度變化序列

TCP點坐標系的三個軸變化如圖所示。其中綠色曲面為TCP點坐標系X軸分量的變化過程，紅色曲面表示TCP點坐標系Y軸分量的變化過程，藍色曲面表示TCP點坐標系Z軸分量的變化過程，黑色直線表示TCP點坐標系原點位置的變化。

圖8 TCP點姿態(tài)變化示意圖

由圖可知，TCP點坐標系的位置和姿態(tài)變量經(jīng)過姿態(tài)角遞增算法規(guī)劃后能逐漸從初始位資連續(xù)運動到終點位姿，變化過程平滑、連續(xù)且穩(wěn)定，證明了這種姿態(tài)角遞增算法在通用型6軸工業(yè)機器人運動位姿規(guī)劃過程中的可靠性。

5 結論

本文在通用6軸工業(yè)機器人運動學分析的基礎上，建立了基于姿態(tài)角遞增算法的位姿軌跡規(guī)劃方法。該方法不僅適用于目前常見的平面構型的機械臂，同時也能適用于前3關節(jié)和后3關節(jié)旋轉軸平面產(chǎn)生偏置的非平面構型的通用串聯(lián)式6軸機械臂，具備較高的普適性。正逆解過程和姿態(tài)角遞增算法均利用解析表達式描述，因而可以很方便地在機器人控制系統(tǒng)中實現(xiàn)編程控制，而且有助于提高控制系統(tǒng)的實時性。

[1] Paden B,Panja R.1998.Globally stable‘PD+’,controller for robot manipulators[J].International of Control,47:1697-1712.

[2] 蔡自興.機器人學[M].北京:清華大學出版社,2000.

[3] 孫迪生.王炎.機器人控制技術[M].北京:機械工業(yè)出版社,1998.

[4] 李磊.六自由度并聯(lián)平臺運動規(guī)律及控制方法研究[D].哈爾濱工業(yè)大學.2007.

[5] 門昌華,關學鋒,等.基于PMAC的六自由度機器人開放式控制系統(tǒng)開發(fā)[J].機電產(chǎn)品開發(fā)與創(chuàng)新.2008(7).

[6] 張?zhí)m芳.基于VC++開發(fā)的并聯(lián)六自由度測控系統(tǒng)[D].浙江:浙江大學,2002.

[7] L.S.Farhy.Modeling of oscillations of endocrine networks with feedback[J]·Methods Enzymol.2004(384):54-81.

[8] Delta Tau Data system Inc.PMAcAccEssoRY 8s[M].1997.

[9] 劉敏杰.并聯(lián)機器人動力學與自適應控制技術研究[D].上海:上海交通大學,2001.