劉榮升　李　慧　高英杰　楊育林

燕山大學，秦皇島，066004

混凝土泵車臂架系統(tǒng)振動分析與實驗

劉榮升李慧高英杰楊育林

燕山大學，秦皇島，066004

應用解析法對52 m長混凝土泵車的五節(jié)臂系統(tǒng)進行振動特性分析。采用拉格朗日第二類方程和假設模態(tài)法建立了臂架系統(tǒng)的柔性多體動力學方程，基于建立的柔性模型對臂架系統(tǒng)進行了模態(tài)分析，并應用MATLAB軟件對模態(tài)進行了數(shù)值求解,得出了臂架系統(tǒng)的前10階固有頻率及振型，并分析了不同的臂架參數(shù)對臂架系統(tǒng)固有頻率的影響，最后通過現(xiàn)場測試實驗對理論固有頻率進行了驗證。研究結果為臂架結構的進一步優(yōu)化及系統(tǒng)振動的控制提供了理論依據(jù)。

混凝土泵車臂架系統(tǒng)；柔性多體動力學；模態(tài)分析；固有頻率

0　引言

混凝土泵車是一種用于混凝土輸送和澆筑的大型建筑機械，廣泛應用于高層建筑、橋梁、高速鐵路以及地下工程的混凝土澆筑施工。由于泵車需要實現(xiàn)大范圍的澆筑作業(yè)，故其具有較長的臂架系統(tǒng)，當前最長的臂架已達到101 m[1]。臂架系統(tǒng)多由四到六節(jié)臂構成，是一種典型的柔性多體動力學系統(tǒng)。在混凝土泵送過程中，周期性的泵送沖擊會使臂架系統(tǒng)產生較大幅度的振動，導致臂架末端的位置難以精確控制，引發(fā)多種安全事故。而且過大的振動會加速臂架的疲勞損傷，縮短臂架系統(tǒng)甚至整車的使用壽命。因此，展開針對臂架系統(tǒng)振動的相關研究具有重要意義。

張大慶等[2]對不同泵送流量下的泵車臂架系統(tǒng)的振動性能進行了實驗研究，并給出了各工況下的理想流量；Cazzulani等[3-4]分別研究了泵送、臂架兩個子系統(tǒng)對振動的影響，并研制出了縮小的實驗樣機；呂彭民等[5-7]從多方面對臂架結構的振動機理進行研究，找到了引起臂架振動的主要因素，并在結構優(yōu)化、泵送控制方面給出了減小臂架振動的建議；劉杰等[8]分析了臂架的柔性變形對臂架末端位置控制的影響，并利用動力學軟件進行了末端軌跡的仿真研究；吳智勇等[9]應用振動預測理論及時滯補償方法，對臂架系統(tǒng)的振動進行了主動控制研究；朱祥華等[10]建立了臂架水平全伸位置的有限元模型，并對其進行了模態(tài)分析，得出了臂架的固有頻率范圍及振型云紋圖?，F(xiàn)有針對臂架系統(tǒng)振動特性的研究成果多是基于動力學軟件通過仿真得出的，基于解析法的相關研究則鮮見報道。

本文以某型號52 m長混凝土泵車的臂架系統(tǒng)為研究對象，根據(jù)柔性多體動力學理論建立其動力學方程，應用解析法對臂架系統(tǒng)進行模態(tài)求解，得到各階固有頻率及相應振型，通過實驗對一階固有頻率進行了驗證。同時進一步分析了臂架的其他參數(shù)對臂架固有頻率的影響，得出臂架系統(tǒng)固有頻率的敏感參數(shù)。

1　臂架柔性多體動力學方程的建立

圖1　臂架結構示意圖

本文采用假設模態(tài)法將連續(xù)的臂架系統(tǒng)離散化[11]，并結合拉格朗日第二類方程，建立臂架系統(tǒng)的柔性多體動力學模型。臂架系統(tǒng)的結構如圖1所示，它由轉臺、五節(jié)臂架及相應的驅動液壓缸組成，其中每節(jié)臂架的長度用li(i=1,2,…,5)表示，五節(jié)臂架的總長為L。

由于每節(jié)臂架的長度都遠大于截面尺寸，因此，將各節(jié)臂架作為Euler-Bernoulli梁來考慮，只考慮其橫向彎曲變形，忽略其剪切變形及軸向變形。以臂架1與轉臺的鉸接點為原點，水平方向直線為橫軸建立慣性坐標系OXY。以臂架i與臂架i-1的鉸接點為原點，臂架i的起點與終點的連線為橫軸建立動坐標系OiXiYi。這樣建立坐標系的方式可以避免前一節(jié)臂架的彈性運動對后一節(jié)臂架的彈性運動產生影響，消除了臂架間的彈性耦合項[8]，降低了建模的復雜程度。以此方法建立臂架i的坐標系如圖2所示。

圖2　臂架i坐標系示意圖

由圖2可知，臂架i上任一點P在慣性坐標系OXY中的位置矢量可表示為

(1)

其中，rk為臂架k的末端點在動坐標系OkXkYk中的位置向量，且rk=(lk,0)T；pi為點P在動坐標系OiXiYi中的位置向量，且pi=ui+vi；ui為臂架變形前點P在動坐標系中的位置矢量，即ui=(xi,0)T；vi為臂架在P點處的橫向彎曲變形，即vi=(0,vi)T，所以可得pi=(xi,vi)T；Ri為動坐標系OiXiYi到慣性坐標系OXY的姿態(tài)變換矩陣，由圖2所示的坐標系可以得到：

(2)

式中，θi為動坐標系Xi軸與水平方向(即慣性坐標系的X軸)之間的夾角。

將式(1)兩端對時間求導，可以得到點P在慣性坐標系下的速度矢量為

(3)

i=1,2,…,5

假設各節(jié)臂架均為均質桿，則臂架i的單位長度質量ρi=mi/li，其中，mi為臂架i的質量。所以，臂架i的動能為

(4)

下面求臂架系統(tǒng)具有的勢能，勢能主要包括重力勢能和因變形所儲存的應變能兩個部分，即

(5)

式中，E為材料的彈性模量；Ii為臂架i的截面慣性矩。

式(5)中等號右側的第二項表示由臂架變形而引起的重力勢能的變化，由于臂架的彈性變形相對較小，所以重力勢能的變化可以忽略不計。臂架i的橫向彎曲變形vi為時間t和位置x的函數(shù)，根據(jù)假設模態(tài)法，vi可以用里茲基函數(shù)的線性組合得到：

(6)

其中，ψij為臂架i的第j階基函數(shù)；qij為ψij對應的廣義坐標；ni為所取的里茲基函數(shù)的階數(shù)，一般取前幾階基函數(shù)即可得到較為滿意的結果，在本文中均取前兩階基函數(shù)來表示各節(jié)臂架的橫向彎曲變形，即ni=2，則其前兩階基函數(shù)表示為

(7)

(8)

式中，M、C、K分別為臂架系統(tǒng)的慣性矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

2　理論模態(tài)分析

2.1臂架系統(tǒng)模態(tài)分析

由于臂架系統(tǒng)是一個低阻尼的系統(tǒng)，故在本文中忽略阻尼的影響，即C=0，所以由式(8)可以得到臂架系統(tǒng)的無阻尼自由振動方程：

(9)

令式(9)的解以簡諧振動的形式表示，可以得到：

q=φsinωt

(10)

式中，φ、ω分別為臂架系統(tǒng)的特征向量和固有頻率。

將式(10)代入齊次方程(式(9))中可以得到：

(K-ω2M)φ=0

(11)

如果要使得上述方程中φ具有非零解，則必須滿足下述條件：

|K-ω2M|=0

(12)

由上述方程可知，求解臂架系統(tǒng)固有頻率的問題變成了求解特征方程(式(12))特征值的問題。將式(12)的等號左側展開即得到一個關于ω2的n階特征多項式，即

an(ω2)n+an-1(ω2)n-1+…+a1ω2+a0=0

(13)

將任一固有頻率ωj代入式(12)中，即可求解得到相應的特征向量φj，φj又表示臂架系統(tǒng)的第j階模態(tài)振型，它主要描繪了振動系統(tǒng)中離散質量在該固有頻率下的振動情況。

2.2計算仿真結果

各節(jié)臂架的端面均呈箱形結構，由彈性模量為210GPa的鋼板焊接而成，它們的結構參數(shù)如表1所示。該型號泵車理論泵送頻率為每分鐘13～22次，即0.2167～0.3667Hz。臂架系統(tǒng)處于水平姿態(tài)下的混凝土澆筑工況是較危險的作業(yè)工況，受振動的影響較嚴重，因此在此工況下對臂架系統(tǒng)的振動進行分析。應用MATLAB編寫計算仿真程序，通過計算得到了臂架系統(tǒng)的5個零頻率和10個非零頻率，以及各階頻率所對應的主振型。表2給出了各階非零固有頻率的仿真計算結果，同時還指出了在各階振動中起主要作用的臂架。

表1　臂架系統(tǒng)結構參數(shù)

表2　各階非零固有頻率及主振動對應臂架節(jié)號

通過仿真得到了臂架系統(tǒng)的一階固有頻率下的振型曲線，如圖3所示。其中圖3a為整個臂架系統(tǒng)的一階振型曲線，圖3b～圖3f分別為臂架1～5的一階振型曲線。

(a)臂架系統(tǒng)振型曲線(b)臂架1振型曲線

(c)臂架2振型曲線(d)臂架3振型曲線

(e)臂架4振型曲線(f)臂架5振型曲線圖3　一階振型曲線

通過臂架系統(tǒng)自由振動的模態(tài)分析結果可以得出以下結論：

(1)相對于臂架4和臂架5，前三節(jié)臂架的振動非常微弱，因此臂架系統(tǒng)的振動主要體現(xiàn)于后兩節(jié)臂架。

(2)五節(jié)臂架系統(tǒng)的五個零頻率對應的振動模態(tài)即為剛體模態(tài)。剛體模態(tài)包含于特征解的完整解中，是一種重要的特殊模態(tài)，很多情況下這種剛體運動是位移場的重要參與者。

(3)臂架系統(tǒng)具有十個不重復的非零固有頻率，為臂架系統(tǒng)的前十階固有頻率。其中一階固有頻率為0.3807Hz，與混凝土的泵送頻率十分接近，這正是臂架系統(tǒng)產生大幅振動的主要原因。

(4)前三階固有頻率對應的主振動是臂架5的彎曲振動；第4、9階固有頻率對應的主振動是臂架4的彎曲振動；第5、8階固有頻率對應的主振動是臂架2的彎曲振動；第6、7、10階固有頻率對應的主振動是臂架3的彎曲振動。

2.3參數(shù)對臂架系統(tǒng)固有頻率的影響

本文進一步分析了臂架4和臂架5的參數(shù)對系統(tǒng)固有頻率的影響。通過分析，分別得到了臂架系統(tǒng)的固有頻率與臂架的長度、剛度以及關節(jié)角位置之間的關系，如圖4所示。由于臂架的振動主要是由低階模態(tài)引起的，所以圖4只給出一階和二階固有頻率隨參數(shù)改變的變化曲線。根據(jù)圖4所示的變化趨勢，可得出以下結論：

(a)臂架5長度的影響(b)臂架4長度的影響

(c)臂架5剛度的影響(d)臂架4剛度的影響

(e)臂架5角度的影響(f)臂架4角度的影響圖4　臂架參數(shù)對固有頻率的影響

(1)一階、二階固有頻率都隨臂架長度的增大而減小，而頻率的變化率對于不同的頻率階數(shù)以及臂架節(jié)數(shù)而有所不同。隨著臂架5長度的增大，系統(tǒng)一階、二階固有頻率呈相似的遞減趨勢，臂架4長度的變化對二階固有頻率影響較大，但對一階固有頻率影響很小。

(2)一階、二階固有頻率均隨臂架剛度的增大而增大。其中，臂架5剛度的變化對一階固有頻率影響較大，而臂架4剛度的變化對二階固有頻率影響較大。

(3)一階固有頻率受關節(jié)角度θ4、θ5的變化影響不明顯，而二階固有頻率隨著關節(jié)角度的增大呈先減小后增大的趨勢。由此可知，對于不同的位姿，臂架系統(tǒng)的固有頻率會有不同。

3　實驗驗證

為驗證理論分析的正確性，在52m長的混凝土泵車上進行了固有頻率的測試。在本實驗中，通過安裝空間傾角傳感器(SAS)來測試臂架的振動情況。應用工程機械用控制器TTC將采集的傾角傳感器信號轉換成實時角度信號，并通過CAN總線傳輸給DEWEsoft軟硬件系統(tǒng)，將實時的角度信息在計算機中顯示并存儲到磁盤中。實驗設備如圖5所示。在本次實驗中，系統(tǒng)的采樣周期設為20ms。

圖5　臂架振動測試系統(tǒng)

實驗過程中，將臂架預先展開到相應的水平姿態(tài)，通過施加外力改變臂架的初始位置，然后瞬間釋放外力以激發(fā)臂架系統(tǒng)的振動。通過實驗可以得知，在臂架振動過程中前三節(jié)臂的振動非常微弱，而后兩節(jié)臂振動非常明顯，這與模態(tài)分析中的結論一致。圖6a給出了臂架系統(tǒng)的振動響應曲線，將測得數(shù)據(jù)進行快速傅里葉變換之后得到系統(tǒng)振動響應的幅頻圖，如圖6b所示。根據(jù)圖6所示曲線，可得臂架系統(tǒng)的一階固有頻率為0.3501Hz，而通過模態(tài)分析得到的一階固有頻率為0.3807Hz，與實測值接近，誤差為8.7%?？梢?，應用解析法得到的分析結果能夠反映臂架系統(tǒng)的振動特性，說明所建立臂架模型以及相應的理論分析是正確的。

(a)振動響應曲線(b)幅頻圖圖6　實驗曲線

4　結語

本文針對52m五節(jié)臂混凝土泵車的臂架系統(tǒng)的振動特性展開了研究。在建立臂架系統(tǒng)柔性多體動力學模型的基礎上，利用解析法得到了臂架系統(tǒng)的固有頻率及振型，并分析了臂架的相關參數(shù)對臂架系統(tǒng)固有頻率的影響，通過臂架系統(tǒng)固有頻率的實驗驗證了理論分析的正確性。結果表明：①臂架系統(tǒng)的一階固有頻率與泵送頻率相近，這是臂架系統(tǒng)在作業(yè)工況下產生大幅振動的主要原因；②臂架4、臂架5振幅較大，對整體振動起主要影響；③不同的臂架參數(shù)對固有頻率影響不同，適當改變相應參數(shù)可使臂架系統(tǒng)的固有頻率遠離泵送工作頻率，有助于減小系統(tǒng)振動。研究結果為泵車結構的優(yōu)化、振動的抑制奠定了理論基礎。

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(編輯王艷麗)

Vibration Analysis and Experimental Test of a Boom System of Truck Mounted Concrete Pump

Liu RongshengLi HuiGao YingjieYang Yulin

Yanshan University,Qinhuangdao,066004

An analytic method was applied to study the vibration performance of the 52-meter-long five-boom system of truck mounted concrete pump. The combination of Lagrange’s equations of the second kind and assumed mode method was utilized to establish the flexible multi-body dynamics equation of the boom system. Based on the dynamic model, modal analysis was implemented and numerically solved by MATLAB, and the first ten nature frequencies and modes of vibration of the boom system were acquired. The impacts of the boom parameters on nature frequencies of the boom system were also analyzed. In addition, vibration experiments on a real boom system were implemented to verify the theoretical nature frequency. The research results can provide basis for the improvement of the boom structure and the further research of vibration control.

boom system of truck mounted concrete pump; flexible multi-body dynamics; modal analysis; natural frequency

2015-02-05

國家自然科學基金資助項目(50875228)

TH6DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.15.023

劉榮升，男，1983年生。燕山大學機械工程學院博士研究生。主要研究方向為多自由度大型串聯(lián)臂架系統(tǒng)的運動學、動力學分析及智能控制。發(fā)表論文4篇。李慧，女，1987年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。高英杰(通信作者)，男，1965年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。楊育林，男，1953年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。