張 凱

（山東省電力公司濰坊供電公司，山東濰坊261061）

基于隨機(jī)子空間法和固有頻率法的線路故障定位

張 凱

（山東省電力公司濰坊供電公司，山東濰坊261061）

輸電線路發(fā)生故障后，進(jìn)行準(zhǔn)確快速的故障距離判斷在實(shí)際生產(chǎn)運(yùn)行中具有很大的意義。線路故障后，將產(chǎn)生一系列的故障暫態(tài)行波，且從頻域的角度看，行波可看作為諧波形式。提出基于隨機(jī)子空間法和行波固有頻率法相結(jié)合的方法進(jìn)行線路故障定位。首先通過(guò)相模變換得到輸電線路中的模電流分量，然后基于隨機(jī)子空間算法進(jìn)行辨識(shí)得到行波固有頻率，進(jìn)而計(jì)算此頻率下的行波波速和模阻抗導(dǎo)納矩陣，最后可求得故障距離。在PSCAD中搭建兩端系統(tǒng)仿真模型，經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證表明，此方法可有效進(jìn)行線路故障定位，且準(zhǔn)確度較高。

故障定位；隨機(jī)子空間；固有頻率法；行波

0 引言

輸電線路是電力系統(tǒng)中最容易發(fā)生故障的地方，準(zhǔn)確的故障定位進(jìn)而進(jìn)行故障清除可有效縮短故障時(shí)間，很大程度上提高了電力系統(tǒng)穩(wěn)定性。如何準(zhǔn)確的故障定位，是故障清除的基礎(chǔ)，也是維持電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的基礎(chǔ)。對(duì)輸電線路故障定位方法的研究最早可追溯于20世紀(jì)30、40年代［1］。線路故障定位的方法有很多，按照變量信息獲取的方式，可分為單端法和雙端法；按照計(jì)算故障距離的原理不同，亦可分為故障分析法、行波法、阻抗法和電壓法［2］。其中行波測(cè)距方法是目前應(yīng)用發(fā)展比較廣泛的方法，但提取故障行波波頭具有較大的困難［3］，主要是由于行波色散問(wèn)題導(dǎo)致的波頭捕捉較為困難［4］。單端行波測(cè)距的難點(diǎn)在于能否準(zhǔn)確區(qū)別出故障反射行波和其他線路反射行波，雙端行波測(cè)距的難點(diǎn)在于準(zhǔn)確測(cè)量出第一個(gè)行波波頭到達(dá)時(shí)間［5，6］。

鑒于此，可采用行波固有頻率［7～10］的故障定位方法來(lái)進(jìn)行故障測(cè)距。當(dāng)線路發(fā)生故障時(shí)，在輸電線路中會(huì)形成很多故障暫態(tài)行波，并在頻域上表現(xiàn)為諧波形式，其本質(zhì)即為行波在線路兩端多次反射和有限長(zhǎng)度線路的延時(shí)效應(yīng)共同作用的結(jié)果，被稱之為固有頻率。采用固有頻率法進(jìn)行故障定位的基礎(chǔ)是對(duì)線路暫態(tài)行波的固有頻率進(jìn)行準(zhǔn)確辨識(shí)，常用方法是利用快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）［11～13］來(lái)對(duì)故障電流或電壓進(jìn)行頻譜分析。但FFT的頻域分辨率較低，無(wú)法準(zhǔn)確提取行波的固有頻率。文獻(xiàn)［14］提出利用Prony算法提取故障電流中的暫態(tài)行波固有頻率，但Prony進(jìn)行辨識(shí)時(shí)，對(duì)系統(tǒng)階數(shù)擬合較為困難，尤其是目前的大電網(wǎng)系統(tǒng)中，容易引發(fā)“維數(shù)災(zāi)”問(wèn)題。文獻(xiàn)［8］提出復(fù)小波對(duì)故障后電流或電壓信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波變換，進(jìn)而對(duì)小波參數(shù)進(jìn)行后處理以提取主自然頻率，但小波變換中存在小波基波選取困難的問(wèn)題。

鑒于此，文中提出采用隨機(jī)子空間法（Stochastic Subspace Identification，SSI）［15，16］來(lái)分析故障電流中暫態(tài)行波的自然頻率。SSI通過(guò)構(gòu)造Hankle矩陣，進(jìn)行SVD分解，使之算法本身具有一定的抗噪能力，在實(shí)際電網(wǎng)中更能準(zhǔn)確辨識(shí)出暫態(tài)頻率參數(shù)。文中首先采用PSCAD/EMTDC搭建簡(jiǎn)單三相長(zhǎng)距離輸電線路，并在一定距離內(nèi)施加三相接地短路故障，進(jìn)一步根據(jù)相模變換得到線路的模電流，然后采用Matlab軟件編寫SSI辨識(shí)程序，以辨識(shí)出故障模電流中的固有頻率，進(jìn)而可準(zhǔn)確算得行波波速和故障距離。

1 基本原理

由于行波在輸電線路中從頻率的角度考慮即為諧波形式，故而可將行波固有頻率的辨識(shí)看做諧波頻率的準(zhǔn)確辨識(shí)。

電力系統(tǒng)中的諧波信號(hào)可擬合為:

式中:Ri為幅值；fi為角頻率；φi為初相；σi為衰減因子。

1.1 隨機(jī)子空間理論

SSI核心是把“將來(lái)”的輸出行空間投影到“過(guò)去”的輸出行空間，投影結(jié)果是保留了“過(guò)去”的全部信息，并用此預(yù)測(cè)“將來(lái)”。SSI復(fù)雜度低，因?yàn)橹贿\(yùn)行一次SVD分解，故而運(yùn)算效率高。

對(duì)于白噪聲激勵(lì)的線性系統(tǒng)，隨機(jī)狀態(tài)空間模型可以表示為

式中:yk∈Rl×l為第l個(gè)測(cè)點(diǎn)，在第k（k∈N）個(gè)采樣間隔（Δt）的輸出向量；xk∈Rn×l為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，n為系統(tǒng)的階數(shù)；A∈Rn×n為系統(tǒng)矩陣；C∈Rl×n為輸出矩陣；wk∈Rn×l為系統(tǒng)噪聲污染；vk∈Rl×l為測(cè)量噪聲；wk和vk互不相關(guān)。

根據(jù)系統(tǒng)輸出yk構(gòu)造Hankel矩陣H

式中:Y0/2i-1的下標(biāo)0/2i-1表示Hankel矩陣第一行塊和最后一行塊；下標(biāo)p和f分別表示“過(guò)去”和“將來(lái)”。

定義輸出yk自協(xié)方差矩陣Ri為

由協(xié)方差序列組成的Toeplize矩陣T1/i為

對(duì)矩陣T1/i進(jìn)行奇異值分解，秩為非零的奇異值個(gè)數(shù)，即為系統(tǒng)階數(shù)。

式中:S1∈Rli×n；V1∈Rn×n；D1∈Rli×n；n表示系統(tǒng)階數(shù)，階數(shù)可用SVD分解法確定。通過(guò)SVD分解可得到奇異值，根據(jù)奇異值突變確定系統(tǒng)模態(tài)階數(shù)，若取得階數(shù)過(guò)大，會(huì)出現(xiàn)過(guò)擬合現(xiàn)象，生成虛假模態(tài)，降低了模態(tài)辨識(shí)的準(zhǔn)確性；若取得階數(shù)過(guò)小，有可能出現(xiàn)漏辨識(shí)現(xiàn)象，丟失重要模態(tài)信息。

Tq/i可分解為

式中:Oi為可觀矩陣；Γi為反轉(zhuǎn)隨機(jī)可控矩陣。

根據(jù)上式可得到系統(tǒng)矩陣A和C。

對(duì)系統(tǒng)矩陣A做特征值分解

式中:Λ=diag［λ1，λ2，…，λ1…，λn］∈Cn×n，λi為系統(tǒng)特征值；Ψ=［ψ1，ψ2，…，ψn］∈Cn×n為系統(tǒng)特征向量矩陣；n表示系統(tǒng)階次。

可通過(guò)式（10）計(jì)算出諧波的角頻率和衰減系數(shù)

進(jìn)而通過(guò)最小二乘得到各次諧波的幅值和相角對(duì)于N個(gè)采樣數(shù)據(jù)存在

其中

式中:n表示得到的諧波個(gè)數(shù)。

則P的最小二乘解為

則各變量的幅值Ri和相角φi可求得為

由此已經(jīng)求得各諧波量的幅值、頻率、相角。

1.2 行波固有頻率

線路上的故障行波信號(hào)具有從低頻到高頻的連續(xù)波譜，其中某些頻率分量與故障行波傳播的路徑及其邊界條件有一定關(guān)系，稱之為故障行波的固有頻率［9］。由文獻(xiàn)［10］知，輸電線路中暫態(tài)行波的固有頻率為

式中:Γ1和Γ2分別為測(cè)距端和故障端的反射系數(shù)，大小均由測(cè)距端和故障端的阻抗決定；θ1和θ2分別為Γ1和Γ2對(duì)應(yīng)的幅角；d表示故障點(diǎn)到測(cè)距點(diǎn)的距離；v表示暫態(tài)行波在固有頻率下的傳播速度。且存在

其中，k=0，±1，±2，…。

則固有頻率大小為

衰減系數(shù)為

則故障測(cè)距可由式（18）表示為

由此可知，只要辨識(shí)出行波固有頻率，并計(jì)算得到固有頻率下的行波速度、測(cè)距端和故障端的反射系數(shù)的幅角即可準(zhǔn)確計(jì)算出故障距離。

1.3 故障測(cè)距

實(shí)際交流輸電線路一般為有損的三相電路，各項(xiàng)之間存在耦合，需進(jìn)行電壓、電流的解耦，常用的解耦方式為相模變換，即

式中:Tu和Ti分別為電壓和電流的變換矩陣；Um和Im分別為電壓和電流相模變換后的量，即模量。

由于交流三相輸電線路是對(duì)稱線路，故一般可取Tu=Ti，可取變換矩陣為

式中:變換矩陣中的列向量分別表示0，β和α模變換向量。對(duì)于輸電線路在固有頻率f下的導(dǎo)納矩陣Z和阻抗Y矩陣亦需進(jìn)行相模變換，變換后的模導(dǎo)納矩陣Zm和模阻抗矩陣Ym可表示為。

則輸電線路的模特征阻抗矩陣可表示為

由文獻(xiàn)［17］知，行波的模波速為

則在行波固有頻率下測(cè)距端和故障端的反射系數(shù)即其幅角可表示為

式中:I表示單位矩陣；Z1表示系統(tǒng)本段等效阻抗矩陣；Yf表示故障點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。假設(shè)系統(tǒng)等效阻抗矩陣呈感性且為三角對(duì)陣矩陣，則在行波固有頻率f下可表示為

對(duì)于模信號(hào)的選取，三相接地短路和相間短路可采用β模電流分量作為辨識(shí)信號(hào)。

2 仿真分析

為驗(yàn)證文中所采用方法的有效性，在PSCAD/EMTDC軟件中搭建兩端220 kV輸電線路，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

圖1中，EA和EB是兩個(gè)理想電壓源，電壓等級(jí)分別為220∠50 kV和218∠30 kV，A和B端的系統(tǒng)阻抗分別為

A與B之間采用架空輸電線，線路類型選用TOWER:3H5桿塔，線路長(zhǎng)度為500 km，采用四分裂導(dǎo)線，完全換位，參數(shù)采用PSCAD中的默認(rèn)設(shè)置，系統(tǒng)頻率為5 0 Hz。PSCAD軟件中設(shè)置的采樣頻率為20 kHz。

系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行至0.5 s時(shí)，在距離A端50 km發(fā)生三相接地短路故障，故障持續(xù)時(shí)間0.1 s。測(cè)距端在A端。在線路中測(cè)得電流參數(shù)并經(jīng)過(guò)相模變換得到β模電流，波形圖如圖2所示。

圖2 β模電流仿真圖

將β模電流利用SSI方法進(jìn)行辨識(shí)，去SSI辨識(shí)階數(shù)為10階，辨識(shí)結(jié)果如表1所示。

表1 SSI分析結(jié)果

由表1知，幅值最大的頻率為系統(tǒng)基頻，除此之外，2 444.13 Hz頻率為除基頻外幅值最大的頻率，即為輸電線路中行波的固有頻率。

通過(guò)PSCAD中的.out文件可以得到在此固有頻率下的線路阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣分別為

由式（24）和式（25）可求得模阻抗矩陣和模導(dǎo)納矩陣分別為

則輸電線路的模特征阻抗矩陣為

固有頻率下的等效阻抗矩陣為

進(jìn)而可由式（28）和式（29）求得測(cè)距端和故障端的反射系數(shù)矩陣。

進(jìn)一步可求得測(cè)距端和故障端反射角矩陣分別為

可由式（27）求得行波波速為

最后可由式（20）求得故障距離為

最后求得故障距離為50.4 km，誤差只有0.97%，準(zhǔn)確率較高，可有效辨識(shí)出故障距離。

3 結(jié)論

通過(guò)SSI算法可有效地辨識(shí)出故障線路中行波的固有頻率，進(jìn)而根據(jù)固有頻率法可以準(zhǔn)確判斷出故障位置。在Matlab軟件中編寫SSI程序，在PSCAD中搭建兩端系統(tǒng)模型，在輸電線路中施加三相接地短路故障，通過(guò)SSI算法和固有頻率法相結(jié)合可有效計(jì)算出故障位置。且采用SSI算法辨識(shí)時(shí)，系統(tǒng)階數(shù)不需要取很多即可準(zhǔn)確辨識(shí)出固有頻率，具有很大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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Fault Location of Transmission Lines Based on Stochastic Subspace Identification Method and Travelling Wave Natural Frequency

Zhang Kai
（Weifang Power Supply Company，Shandong Electric Power Corporation，Weifang 261061，China）

The question of how to judge fault distance accurately and rapidly has great significance in the actual production run when a short circuit fault of transmission lines happens.When faults happen they produce transient state travelling waves.The frequency spectra of travelling waves are a fundamental characteristic frequency.This paper research on fault location is based on stochastic subspace identification and the natural frequency of traveling waves.Firstly，we use module current component based on phase-mode transformation，secondly we identify the natural frequency of traveling waves based on stochastic subspace identification.Then we calculate the wave velocity and module impedance admittance matrix at the natural frequency.Finally，we arrive at the distance to fault. Building the two-terminal system using PSCAD program，the simulation’s result show the way to find fault location with high accuracy.

fault location；stochastic subspace identification；natural frequency；traveling wave

TM773

A DOI:10.3969/j.issn.1672-0792.2015.05.010

2015-01-29。

張凱（1977-），男，工程師，主要從事輸電線路運(yùn)行檢修及帶電作業(yè)方面工作，E-mail:zk_0536@163.com。