豐夢婷+徐章韜

數(shù)學概念是數(shù)學的邏輯起點，是學生認知的基礎(chǔ)，是學生進行數(shù)學思維的核心[1].學生只有建構(gòu)起正確的數(shù)學概念，才能為后續(xù)數(shù)學知識的學習打下堅實的基礎(chǔ).因此，如何有效地開展數(shù)學概念的教學是一個值得深思的問題.概念教學的本質(zhì)不是低水平的概念言語連鎖學習，而是要幫助學生獲得概念的心理意義，即形成概念內(nèi)涵的心理表象，或者說建構(gòu)起良好的概念圖式[2].用英國哲學家羅素的話說：“凡是你教的東西，要教得透徹.”換言之，教師須深刻剖析概念中關(guān)鍵字、詞、句，從而引導學生深入理解概念.迪尼斯教授基于自身在數(shù)學教育和心理學學習中的興趣和經(jīng)驗，研究出了數(shù)學教學的一個體系，以使數(shù)學更加有趣味、更容易學習.在他的《數(shù)學的建立》一書中，迪尼斯教授系統(tǒng)地闡述了他對數(shù)學教育的看法.他把數(shù)學看作是對結(jié)構(gòu)的研究、對結(jié)構(gòu)的分類、區(qū)分結(jié)構(gòu)中的關(guān)系，以及對結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系進行分類.迪尼斯的“階段論”對數(shù)學概念的教學具有重要的指導意義，在信息技術(shù)支持下，更能彰顯這種作用.

1 迪尼斯理論

迪尼斯認為，數(shù)學概念必須按漸進的一些階段學習，他假定了學習數(shù)學概念的六個階段：自由活動階段、游戲階段、探究共有性階段、復現(xiàn)階段、使用符號階段、定形化階段.

第一階段：自由活動階段 教師準備豐富的材料以引導學生對要學習的概念的一些具體和抽象的表征部分進行動手操作和實驗，促使他們初步體驗這個新概念的一些組成部分.在此過程中，學生構(gòu)成智力結(jié)構(gòu)及態(tài)度，為理解概念的數(shù)學結(jié)構(gòu)做好準備.

第二階段：游戲階段 學生進一步對要學習的數(shù)學概念進行實驗和操作，開始觀察并發(fā)現(xiàn)概念里的典型和規(guī)律性.通過各種含有概念不同表征的游戲，逐步發(fā)現(xiàn)它的邏輯原理.

第三階段：探究共有性階段 教師通過有關(guān)概念的具體例子幫助學生尋找每個例子中的公共原理.不同的例子是概念的不同表征，因此，例子中的公共原理是概念不同表征共有的數(shù)學結(jié)構(gòu).

第四階段：復現(xiàn)階段 學生復現(xiàn)包含在每個例子中的所有公共原理，通過復現(xiàn)，學生更接近于去理解隱藏在概念中的抽象數(shù)學結(jié)構(gòu).

第五階段：使用符號階段 學生在教師的適當干預下選擇恰當?shù)姆栿w系來描述概念的表征，在學生頭腦中建構(gòu)良好的概念圖式.

第六階段：定形化階段 學生習得概念，靈活運用概念解決數(shù)學問題.

迪尼斯特別指出，游戲是概念學習六個階段中不可或缺的一個階段，是學習數(shù)學概念的一個重要工具，他把游戲劃分為無領(lǐng)導的“預備游戲”、“有組織的游戲”以及“實踐游戲”，在概念學習的不同時期，有效運用不同類型的游戲可以達到事半功倍的效果.

2 基于迪尼斯理論的“旋轉(zhuǎn)”的教學設(shè)計

2.1 自由活動階段——激活已有認知經(jīng)驗

師：請同學們充分發(fā)揮自己的想象，如果世界上所有的物體都停止了轉(zhuǎn)動，那么我們生活的世界會發(fā)生怎樣的變化？

生：電扇不能用了，鐘表停了，門沒辦法開了，不能坐旋轉(zhuǎn)木馬了......

用多媒體課件展示日常生活中常見的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象：風扇的轉(zhuǎn)動，門的開關(guān)，鐘面指針的轉(zhuǎn)動.

師：以上這些現(xiàn)象有什么共同特點？

師：如果我們把風扇、門、鐘這些物品看成一個圖形，像這樣，把一個圖形繞著某一點O轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，點O叫做旋轉(zhuǎn)中心.旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象在我們的日常生活中隨處可見，請每位同學根據(jù)自己的理解給同桌表演一種旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.

選幾位有代表性的同學上臺展示.

設(shè)計意圖 學生在小學階段已經(jīng)學習過旋轉(zhuǎn)，能初步從整體上識別旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，同時，學生也在日常生活中潛移默化地積累了一些關(guān)于旋轉(zhuǎn)的數(shù)學經(jīng)驗，對于生活中常見的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象比較熟悉，在充分把握學生已有認知經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，教師首先通過逆向設(shè)問，喚醒學生的感性經(jīng)驗，但是對于旋轉(zhuǎn)，在小學階段未曾進行嚴格的定義，因此，首先引導學生觀察一系列旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，尋找其中的共同特點，自然而然地形成旋轉(zhuǎn)的概念.在對旋轉(zhuǎn)有了初步認知的基礎(chǔ)上，學生通過自己表演旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象這樣一個動手實踐的過程，有助于深化學生對旋轉(zhuǎn)概念的理解.

2.2 游戲階段——滲透概念典型規(guī)律

教師預先用幾何畫板制作如下課件：O，O′點是固定的兩點，其中點O為旋轉(zhuǎn)中心，點O′為A點和B點旋轉(zhuǎn)的起始點，對A點和B點分別沿逆時針和順時針做一個動畫按鈕，并度量出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角.

點擊動畫按鈕.

師：請同學們仔細觀察，當A點和B點均繞著旋轉(zhuǎn)中心O轉(zhuǎn)動時，為什么A點和B點不能重合？

生：旋轉(zhuǎn)的方向不同，A點繞著點O逆時針轉(zhuǎn)動，B點繞著點O順時針轉(zhuǎn)動.

師：旋轉(zhuǎn)方向是旋轉(zhuǎn)的一大要素，與時針轉(zhuǎn)動方向相同的方向稱為順時針方向，與時針轉(zhuǎn)動方向相反的方向稱為逆時針方向.

教師將A點和B點從O′點沿順時針方向拖動.

師：A點和B點均繞著旋轉(zhuǎn)中心O順時針轉(zhuǎn)動，為什么仍然不能重合？

生：它們轉(zhuǎn)動的角度不同.

師：A點和B點從O′點開始轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)至如圖所示的位置時，所形成的角∠O′OA，∠O′OB叫做旋轉(zhuǎn)角.A點、B點均是O′點的對應(yīng)點.

師：旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度是圖形旋轉(zhuǎn)的三大要素，現(xiàn)在，請同學們用一句完整的話來描述下列旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.

教師將A點、B點拖至某一角度，由學生描述A點、B點的旋轉(zhuǎn)過程.

師：請同學們完整描述這兩點的旋轉(zhuǎn)過程.

生1：A點從O′點開始順時針旋轉(zhuǎn)60°.

生2：B點從O′點開始逆時針旋轉(zhuǎn)120°.

……

由教師描述旋轉(zhuǎn)過程，分別請三位同學利用幾何畫板進行演示，教師對學生的演示進行評價.

設(shè)計意圖 點和線是幾何圖形中最基本的元素，從點、線入手，更接近于

學生的最近發(fā)展區(qū)，不至于讓學生產(chǎn)生突兀感.學生通過觀察、對比、分析，不難得到旋轉(zhuǎn)的三大要素——旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度，并且通過語言的完整描述以及動手操作的雙向演練，鞏固對旋轉(zhuǎn)三要素的理解，使學生充分感受整個旋轉(zhuǎn)的過程，以及旋轉(zhuǎn)的三大要素對旋轉(zhuǎn)過程的影響.

2.3 探究共有性階段——提煉蘊含公共原理

問題1：

教師預先用幾何畫板制作如下課件，點擊動畫點，△ABC即繞著旋轉(zhuǎn)中心O轉(zhuǎn)動.

師：△ABC繞著旋轉(zhuǎn)中心O旋轉(zhuǎn)，得到△A′B′C′，猜想，線段OA與OA′有什么關(guān)系？∠AOA′與∠BOB′有什么關(guān)系？△ABC與△A′B′C′形狀和大小有什么關(guān)系？

生：OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′，△ABC≌△A′B′C′，

教師拖動D點，則三角形旋轉(zhuǎn)至不同的位置，選取幾個不同的位置，分別用

幾何畫板度量出線段的長度、角度的大小，以驗證學生的猜想.

師：剛剛我們的猜想是成立的，OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′，那么如何證明△ABC≌△A′B′C′？

學生借助全等三角形的知識展開證明.

師：這三個等式分別對應(yīng)旋轉(zhuǎn)中的三大特征，如何用文字語言來描述這三大特征呢？

在教師的引導下，學生得到：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

設(shè)計意圖 在本階段，學生已經(jīng)熟悉了點線的旋轉(zhuǎn)以及旋轉(zhuǎn)的三大要素，本階段旨在讓學生理解旋轉(zhuǎn)的三大特征，這也是旋轉(zhuǎn)一節(jié)教學的難點所在，三角形是最簡單的幾何圖形，借助幾何畫板，將三角形旋轉(zhuǎn)至不同的位置，通過度量長度和角度，以驗證學生的猜想.學生通過觀察、猜想、證明，自然而然地得到三大特征.

2.4 復現(xiàn)階段——深入挖掘數(shù)學結(jié)構(gòu)

問題2：

師：請同學們在方格紙上畫出△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形.

師：先找出旋轉(zhuǎn)的三要素，再利用旋轉(zhuǎn)的三大特征.

在陸續(xù)有同學完成作圖后，教師總結(jié)步驟.

師：①先找出旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心——O；旋轉(zhuǎn)方向——順時針；旋轉(zhuǎn)角度——90°；

②根據(jù)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角這兩大特征，先描繪出對應(yīng)點，再由旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，將對應(yīng)點進行連線即可.

在總結(jié)步驟的同時，教師借助幾何畫板進行操作.

問題3：

師：請同學們畫出矩形ABCO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形.

設(shè)計意圖 問題2的設(shè)計是旋轉(zhuǎn)的要素及特征的靈活運用，通過前面的動手操作以及觀察、猜想、分析、歸納等一系列思維活動，部分學生能運用旋轉(zhuǎn)的特征畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，教師具體操作，并總結(jié)作圖步驟，再設(shè)計問題3，進行鞏固練習.

2.5 使用符號階段——建構(gòu)良好概念圖式

師：請同學們合上書本，用自己喜歡的圖形把我們這節(jié)課你所學到的知識點寫出來.

選取幾個完整且有特色的小結(jié)進行展示.

設(shè)計意圖 課堂小結(jié)是對一堂課數(shù)學知識、思想方法的總結(jié)，在實際教學過程中往往因為時間緊湊被忽略，但是，進行課堂小結(jié)有助于學生理清本節(jié)課知識主干及其聯(lián)系，而使用自己喜歡的圖形進行描述，則能使其印象更加深刻.

2.6 定形化階段——拓展延伸感性經(jīng)驗

師：把一個圖案進行旋轉(zhuǎn)，選擇不同的中心和旋轉(zhuǎn)角，會出現(xiàn)不同的效果.

旋轉(zhuǎn)中心不變，改變旋轉(zhuǎn)角度（圖7）：

旋轉(zhuǎn)角度不變，改變旋轉(zhuǎn)中心（圖8）：

利用幾何畫板展示簡單圖案通過旋轉(zhuǎn)變成美麗圖案的過程，并要求學生課后利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計一個美麗的圖案（圖9）.

設(shè)計意圖 通過動態(tài)演示美麗圖案的形成過程，使學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學美，感受數(shù)學美，同時，學生對于旋轉(zhuǎn)的感性認識不再局限于生活中一些常見的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，拓展延伸了學生的感性經(jīng)驗.

3 教學反思與探討

3.1 有效運用動手實踐

維果茨基的研究表明，學生將要學習的數(shù)學概念與學生認知結(jié)構(gòu)中已有的觀念之間存在一個最近發(fā)展區(qū)，順利渡過最近發(fā)展區(qū)是建構(gòu)起良好概念圖式的關(guān)鍵.動手實踐作為一種教學方式，可以為抽象概念的學習提供經(jīng)驗，為理解將要學習的數(shù)學概念做好準備，為發(fā)現(xiàn)概念的邏輯原理提供鋪墊.數(shù)學教學中有效運用動手實踐，順應(yīng)了學生的認知發(fā)展規(guī)律和學習心理，通過動手操作，學生經(jīng)歷了數(shù)學概念的形成過程，使得最近發(fā)展區(qū)順利過渡，因此，在進行數(shù)學概念教學時，動手實踐是一種良好的輔助教學方式.

3.2 親歷概念形成過程

迪尼斯指出，學生學習數(shù)學概念必須經(jīng)歷一個固定的自然過程.學生對于直接被呈現(xiàn)的數(shù)學概念只有生硬地了解，只有當教師引導學生經(jīng)歷概念的整個形成過程時，學生才能一環(huán)緊扣一環(huán)地思考，從而深入理解概念，感悟概念本質(zhì)，建構(gòu)良好概念圖式.同時，在展現(xiàn)過程的概念教學中，學生擁有更多獨立思考的機會，因此，親歷概念的形成過程，也有助于鍛煉學生的數(shù)學思維，提高學生的數(shù)學能力.而教師在教學過程中適當使用信息技術(shù)，概念的整個形成過程的呈現(xiàn)則顯得更加流暢，對學生深入透徹地理解概念不無裨益.

參考文獻

[1] 劉華祥.中學數(shù)學教學論[M].武漢：武漢大學出版社，2003.8：112.

[2] [美]貝爾著，許振聲等譯.中學數(shù)學的教與學[M].北京：人民教育出版社，2001.