在正方形的中心坐著一只兔子，在四個頂點上各有一只狼.如果狼只能沿著正方形的邊跑，且狼的最大速度是兔子最大速度的1.4倍.試問兔子能否從正方形中逃出？（1985年莫斯科數(shù)學(xué)競賽題）

分析 設(shè)正方形ABCD的中心為O點，兔子在O點.設(shè)A、B、C、D四點上各有一只狼，分別稱為狼A、狼B、狼C、狼D.不妨設(shè)正方形邊長為2，兔子速度為1，狼的速度為1.4.

（4）四只狼改為三只狼，設(shè)狼在B、C、D兩點.

解法1 如圖4，兔子沿OA走，t（兔子由O到A）=2÷1=2，t（狼B到A）=2÷1.4>2÷2=2，即t（狼B到A）>2，狼B抓不住兔子.又因為t（狼D到A）=t（狼由B到A），t（狼C到A）>t（狼D到A），所以狼D、狼C也抓不住兔子.

解法2 如圖5，在CD上取一點E，使DE=0.01.過E作EM∥AD交OD于M，過M作MF∥CD交AD于F，連接EF交OD于N，兔子視情況沿ONE或沿ONF走.

t（兔子沿ONE走）=t（兔子沿ONF走）=t（兔子沿OD走）=2÷1=2，t（狼C到F）>t（狼C到E）=1.99÷1.4>1.981÷1.4=1.415>2，狼C抓不住兔子.t（狼B到F）=t（狼B到E）>t（狼C到E），狼B更抓不住兔子.兔子現(xiàn)在可以不考慮狼B和狼C了，只要對付好狼D就行了.兔子先由O走到N點，觀察一下狼D的位置（記狼D此時位置為P）.若P在DC上（不包括D），兔子沿NF走.t（兔子由N到F）=時間（兔子由D到F）÷2<時間（兔子由D到F）÷1.4=時間（狼D由D到F）

（5）當(dāng)四只狼堅持崗位.

如圖6（圖中，E、M、F、N位置同圖5），兔子沿ON走，走到N點時，觀察狼D該時刻的位置P，若P在DC上（不包括D），兔子沿NF走，若P在AD上（不包括D），兔子可沿NE走，若P剛好就在D點上，兔子沿NE或沿NF走均可，但無論走那條路線，兔子所花t均為2.由（4）的解法2知兔子能逃脫狼B、狼C、狼D的追捕，而t（狼A到E）>t（狼A到F）=t（狼C到E）=1.99÷1.4>1.981÷1.4=1.415>2，狼A同樣也抓不住兔子.因此兔子完全可以逃脫“四狼大圍捕”！

反思 本題是一道較復(fù)雜和困難的競賽題，題中兔子所走路徑、四只狼所走路徑看似都可以千變?nèi)f化、你變我也變，呈現(xiàn)出一派紛繁復(fù)雜的圖象，令人難以梳理，但其結(jié)果卻是出人意料的簡單.這里我們采用的解題策略是：先把問題退到一個最簡單地方，著手解決這個最簡單的問題，再逐步加深問題，而對每一步所加深的問題，都想全想透，讓每一步啟發(fā)著下一步，這樣，一步一步進而解決原先較難的問題.事實上，這種“退”的方法，在當(dāng)代數(shù)學(xué)的研究中應(yīng)用非常廣泛，同時這種方法也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、思考數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的好方法.

作者簡介 蔡歷亮，男，中國數(shù)學(xué)會會員，發(fā)表文章50余篇.