伍春蘭　葛曉紅

（北京市北京教育學(xué)院，北京100120；北京市北京東城區(qū)教師研修中心，北京100009）

七年級有理數(shù)乘方引入的對比分析

伍春蘭葛曉紅

（北京市北京教育學(xué)院，北京100120；北京市北京東城區(qū)教師研修中心，北京100009）

對比分析了三位教師的有理數(shù)乘方概念的引入，肯定優(yōu)點，分析不足，指出探究概念必要性、合理性和歸納概括的重要性，并提出了若干改進(jìn)建議.

有理數(shù)乘方 冪

從七年級各版本教材看，有理數(shù)乘方都安排在學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)的加、減、乘、除四種運算以后.加、減、乘、除四則運算學(xué)生在小學(xué)就已熟悉了，只不過數(shù)的范圍限定在非負(fù)有理數(shù).因此從某種意義上說，乘方是初中學(xué)的第一種全新的運算.有理數(shù)乘方內(nèi)容雖新卻不難，因為它是由舊知識的引申得來的（特殊的乘法）.

有理數(shù)乘方是概念學(xué)習(xí)，在教學(xué)設(shè)計和實施中如何突出概念引入的必要性和合理性，是值得探討的.下面回放三位教師的有理數(shù)乘方引入的片段，并分析討論.

1.有理數(shù)乘方引入回放

（1）引入1

教師A在大屏幕上依次呈現(xiàn)問題1（已知正方形的邊長為a，則它的面積為＿＿）和問題2（已知正方體的棱長為a，則它的體積為＿＿）.待學(xué)生回答后，教師出示結(jié)果（小學(xué)已學(xué)過）：邊長為a的正方形的面積為a·a，簡記作a2，讀作a的平方（或二次方）；棱長為a的正方體的體積為a·a·a，簡記作a3，讀作a的立方（或三次方）.

然后教師A提出問題3：請大家動手折一折，一張報紙對折一次后，變成幾層？如果對折兩次、三次呢？每一次對折后的層數(shù)與上一次對折層數(shù)的關(guān)系是什么？層數(shù)和對折的次數(shù)之間有什么關(guān)系？

學(xué)生折疊并思考，教師巡視并指導(dǎo).歸納出每一次對折后的層數(shù)都是上一次對折層數(shù)的2倍，概括了層數(shù)和對折次數(shù)的關(guān)系及表示方法，填入下表中（表1）.

表1

續(xù)表

接下來，教師A給出乘方的相關(guān)概念（大屏幕顯示）：一般地，把n個相同的因數(shù)a相乘的運算叫作乘方運算，把a·a…a（n個a）簡記作an，讀作a的n次方.

乘方的結(jié)果叫作冪.在an中，a叫作底數(shù)，n叫作指數(shù).當(dāng)an看作a的n次方的結(jié)果時，也可讀作a的n次冪（圖1）.

圖1

（2）引入2

教師B在大屏幕上呈現(xiàn)問題：某種細(xì)胞每過30 m i n便由1個分裂成2個，經(jīng)過5 h，這種細(xì)胞由一個可以分裂成多少個？

引導(dǎo)學(xué)生思考：分裂的次數(shù)與2的個數(shù)之間的關(guān)系，并完成下表（表2）：

表2

由此給出乘方、底數(shù)、指數(shù)、冪的概念（略）.（3）引入3

教師C在大屏幕上出示國際象棋棋盤（圖2）.

圖2

教師C：誰知道有關(guān)國際象棋發(fā)明人的有趣故事？

學(xué)生講述，但不太完整（略）.

教師C：看來這個故事大家都略知一二.細(xì)節(jié)上我再完善一下，這是印度的一個古老的傳說.國王打算獎賞國際象棋的發(fā)明人---宰相西薩·班·達(dá)依爾.國王答應(yīng)滿足宰相的一個要求.宰相就說：“就在這個棋盤上放一些米粒吧.第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒，然后是8粒、16粒、32?！恢钡降?4格.”“你真傻！就要這么一點米粒？！”國王哈哈大笑.宰相說：“就怕你的國庫里沒有這么多的米！”你認(rèn)為國王的國庫里有這么多的米嗎？這個問題，你能回答嗎？

學(xué)生：第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4=2×2=22粒，然后是8=2×2×2=23粒、16=24粒、32=25粒……一直到第64格放263粒.

教師C：誰還知道類似的有趣故事嗎？

學(xué)生講述（略）.

教師C點出課題并板書：有理數(shù)的乘方.

教師C：263到底有多大？

教師C用計算器計算并在大屏幕上顯示，計算結(jié)果顯示19位，學(xué)生一片驚呼.

教師C：100萬粒米，重約25千克，263粒米重多少？

教師C再用計算器計算并在大屏幕上顯示，學(xué)生又是一片驚呼.

教師C：請課下探究：一張紙厚約0.1mm，對折多少次比珠穆朗瑪峰高？

教師C：昨天大家預(yù)習(xí)了有理數(shù)的乘方的概念，讓我們探討263的意義.

學(xué)生：263中，2稱為“底數(shù)”，63稱為“指數(shù)”，263稱為“冪”，讀作：2的63次冪或2的63次方.

教師C：an？

學(xué)生：（指著屏幕）a稱為“底數(shù)”，n稱為“指數(shù)”，an稱為“冪”，讀作：a的n次冪或a的n次方.

教師C在大屏幕上展現(xiàn)結(jié)果（圖1）.

教師C：關(guān)于乘方你們有什么問題？

學(xué)生表示無問題.

教師C：（詼諧地）我有幾個問題沒搞懂，請大家?guī)蛶臀?

教師C提出一系列問題：指數(shù)沒有負(fù)數(shù)嗎？底數(shù)什么數(shù)都可以嗎？底數(shù)能為零嗎？冪指什么？學(xué)生一一回答.

2.有理數(shù)乘方引入的分析與建議

（1）引入1和引入2的分析與建議

引入1由學(xué)生的已有經(jīng)驗（問題1和問題2）出發(fā)，通過問題3導(dǎo)出了乘方的相關(guān)概念.引入2由生物學(xué)的細(xì)胞分裂實例，直接給出了乘方的相關(guān)概念.兩則引入的共同點是導(dǎo)入簡潔、快速.但兩則引入，可從以下五點改進(jìn)：

①突出為什么要引入乘方運算

數(shù)的算式和算法的發(fā)展都與原算式或原算法不滿足實際的需要和其內(nèi)部的矛盾運動有關(guān).當(dāng)相同的因數(shù)相乘的運算有大量需求，且因數(shù)的個數(shù)很多時，造成相同的因數(shù)相乘的算式和算法冗繁，此時創(chuàng)造一種新的運算勢在必行.乘方運算的創(chuàng)造，充分表明了數(shù)的運算發(fā)展從量變到質(zhì)變的辯證過程.教學(xué)中可通過適當(dāng)?shù)幕顒樱瑵B透這一辯證觀點.同時通過對概念引入必要性的體驗，誘發(fā)學(xué)生的內(nèi)部學(xué)習(xí)動機.

事實上，明白要學(xué)什么、為什么要學(xué)、怎樣學(xué)，可以喚起其潛在的內(nèi)部學(xué)習(xí)動機.而內(nèi)部學(xué)習(xí)動機能使學(xué)生持久地保持注意力，并自覺地控制和調(diào)節(jié)自己的學(xué)習(xí)活動.

②創(chuàng)設(shè)更吸引學(xué)生眼球的情境

引入1的報紙對折，可換成學(xué)生熟視無睹的書本的開本.將長1092 mm，寬787 mm的一張整開紙對折，裁開后稱為對開，也叫2開，接著又把2開紙對折裁開，再對折裁開……，即4開、8開……

引入2的細(xì)胞分裂可增加微視頻，從活細(xì)胞繁殖其種類的過程，讓學(xué)生有興趣地投入到有理數(shù)乘方的數(shù)學(xué)活動中.

③經(jīng)歷歸納概括的過程

由2n直接就給出an，不僅使學(xué)生缺失了一次歸納概括的機會，而且也易使學(xué)生誤以為底數(shù)a為正數(shù).雖然后面的課堂練習(xí)有底數(shù)a為負(fù)數(shù)的，但先入為主的首因效應(yīng)，使得部分學(xué)生對乘方運算的理解不完整.

④探究乘方運算記法的合理性

數(shù)學(xué)符號語言簡潔、抽象的美，如果沒有教師的點撥，學(xué)生是很難自主發(fā)現(xiàn)的.通過探究乘方運算記法的合理性，比如為什么不記作aN等，使學(xué)生對這種記法有較深刻的認(rèn)識，避免一些無謂的錯誤.此時教師還可介紹歷史上數(shù)學(xué)家們關(guān)于改進(jìn)冪的記法的不懈努力，感受數(shù)學(xué)家鍥而不舍的精神和智慧，以及數(shù)學(xué)符號語言的美.

另外，還可引導(dǎo)學(xué)生了解當(dāng)不能用上標(biāo)時，例如在編程語言或電子郵件或計算器中，通常寫成a?n或a**n，亦可寫成a↑n.

⑤融入有理數(shù)乘方的相關(guān)歷史

除了“底數(shù)”以外，“乘方”“指數(shù)”，特別是“冪”，應(yīng)該讓學(xué)生了解其來龍去脈.

在古代中國，“冪”和“冖”是同一個字，“冖”作名詞表示覆蓋東西的巾.用一塊方形的巾蓋東西，四角垂下來，就成“冖”的形狀.劉徽將這意義加以引申，在公元263年注解《九章算術(shù)》中，將正方形面積和矩形面積稱為冪，這也是數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中第一次出現(xiàn)冪.［1］這樣“冪”字就和乘方掛上鉤了.

法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（Eran?ois Viète，1540-1603）發(fā)明了符號代數(shù)，他將底數(shù)統(tǒng)一為A，二次冪稱為平方（Square），三次冪稱為立方（Cube），四次冪為“平方-平方”，五次冪為“平方-立方”，六次冪為“立方-立方”……并分別記為Aq，Acu，Aqq，Aqcu，Acucu……1637年，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（R.Descates，1596-1650）創(chuàng)造了新記號an，但他并沒有給出“a的n次冪”這樣的名稱，還是利用平方和立方命名更高次的冪.1765年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler，1707-1783）在《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中給出了冪（Power）的定義：一個數(shù)自乘一次或若干次所得乘積稱為“冪”.［2］

1935年，我國出版《數(shù)學(xué)名詞》，把“Power”譯成“冪”，這個術(shù)語沿用至今.

（2）引入3的分析與建議

引入3中的學(xué)生來自北京市城區(qū)一所生源優(yōu)良中學(xué)的實驗班，對于學(xué)生而言，有理數(shù)乘方的學(xué)習(xí)是很簡單的，因此他們對有理數(shù)乘方的學(xué)習(xí)有一種輕視的傾向.針對這種現(xiàn)狀，教師C如下三點做法值得肯定：

①讓學(xué)生參與情境的創(chuàng)設(shè).比如，故事由學(xué)生先講，并讓學(xué)生講類似的有趣故事.再如，64格米粒的結(jié)果也是由學(xué)生獨立完成的.

②創(chuàng)設(shè)的情境既與課題密切相關(guān)，又激發(fā)了學(xué)生的興趣.教師一次計算263的大小，一次計算263粒米重多少，都引得學(xué)生的驚呼.學(xué)生想到了數(shù)很大，但沒想到數(shù)會這么大！強烈的反差，誘發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步探究“有理數(shù)乘方”的動機.

③布置課前預(yù)習(xí)（有理數(shù)乘方）作業(yè)，課上通過提問一個成績中下等水平的學(xué)生，了解學(xué)生的自學(xué)情況.當(dāng)學(xué)生自覺沒有問題時，教師以問題串的形式再次引發(fā)學(xué)生思考.

四點建議：

①通過活動或討論，讓學(xué)生了解有理數(shù)乘方概念引入的必要性和合理性，感受乘方符號表示的優(yōu)越性.

②可選擇具有時代氣息的情境.國際象棋發(fā)明人等相關(guān)的有趣故事是不錯的情境，但如果換成2011年元旦廣為傳播的短信（……今年是個財年：今年的十月份有五個星期六，五個星期天，五個星期一！這樣的年份每823年才有一次.這些特殊的年份叫作錢袋年！按中國的風(fēng)水學(xué)說如果你把這個消息送給8個好朋友，4天內(nèi)錢就會來到.很神秘，也許值得一試哦?。?dǎo)入，也許效果會更好.

③讓聽、說、讀、寫和想?yún)⑴c到學(xué)習(xí)中.“聽”與“讀”是信息的輸入，“說”與“寫”是信息的輸出.“想”是思維，是信息輸入和輸出的中樞，忽視“想”的思維過程，學(xué)習(xí)會事倍功半.心理學(xué)研究表明，多種通道參與學(xué)習(xí)，效益會大大提升.

④注重學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo).學(xué)習(xí)了新的概念，學(xué)生自覺沒有問題，教師卻提出了一系列問題.暴露教師提這些問題的意圖，滲透研究概念的方法，比能找到問題的答案更有意義.

［1］梁宗巨.數(shù)學(xué)歷史變故［M］.沈陽：遼寧教育出版社，1992：7，368.

［2］汪曉勤.同底數(shù)冪運算律的歷史［J］.江蘇蘇州：中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015（1）：47-48.