孫麗波，許立忠，丁 玲

（1.燕山大學環(huán)境與化學工程學院，河北秦皇島066004；2.燕山大學機械工程學院，河北秦皇島066004；3.燕山大學信息科學與工程學院，河北秦皇島066004）

分子力對機電耦合薄膜壓力敏感元件振動的影響

孫麗波1，許立忠2，*，丁 玲3

（1.燕山大學環(huán)境與化學工程學院，河北秦皇島066004；2.燕山大學機械工程學院，河北秦皇島066004；3.燕山大學信息科學與工程學院，河北秦皇島066004）

本文將薄膜式微諧振壓力傳感器諧振子簡化為對邊簡支對邊自由機電耦合微薄膜諧振系統(tǒng)，給出了考慮分子力作用時微薄膜壓力敏感元件機電耦合系統(tǒng)動力學方程，推導其振型方程及頻率方程，研究了分子力對系統(tǒng)固有頻率及自由振動的影響規(guī)律。結果表明：分子力對于機電耦合微薄膜的自由振動固有頻率具有重要的影響。隨著系統(tǒng)初始間隙的減小、工作電壓的增大、微薄膜厚度的減小以及薄膜長度的增大，分子力對系統(tǒng)固有頻率的影響更加顯著。在低階模態(tài)下，分子力對固有頻率的影響變大，應該予以考慮。當初始間隙減小到0.1μm時，Casimir力對固有頻率的影響比van der Waals力明顯，必須考慮Casimir力的影響。論文有助于薄膜式微諧振壓力傳感器諧振子的動力學理論分析，研究結果對于MEMS壓力傳感器進一步小型化具有指導意義。關鍵詞：對邊簡支對邊自由；機電耦合；微薄膜；van der Waals力；Casimir力；MEMS

0　引言

微諧振式壓力傳感器具有直接輸出數(shù)字信號、體積小、功耗低、響應快、靈敏度高、易于集成以及耐惡劣工作環(huán)境等優(yōu)勢，被成功應用于航空航天、疾病診斷、氣象、石化等領域，已成為國內外微機電系統(tǒng)（micro-electromechanical systems，MEMS）領域中一個重要研究方向［1］。微諧振壓力傳感器多為微梁式和微薄膜式兩種結構，其中薄膜式微諧振壓力傳感器輸出的測試信號較強，對測試電路的要求較低，更符合傳感器集成化、微型化的發(fā)展方向［2-3］。

近年來，國內外學者對微諧振壓力傳感器諧振子的振動特性進行了大量的研究。1993年Alonso等人對NiCr薄膜微諧振式壓力傳感器諧振子的振動特性及靈敏度的影響因素進行了理論分析［4］；2006年樊尚春等人對微諧振式壓力傳感器的非線性振動進行了研究，利用多尺度法求解出非線性項對傳感器固有頻率的影響規(guī)律［5］；2007年葉湘濱等人對諧振式壓力傳感器的靈敏度進行了理論分析［6］；2007年丁建寧等人對MEMS中薄膜結構在Casimir力作用下的粘附問題進行了研究，結果表明Casimir力在微納尺度下的影響不可忽略［7］；2012年許立忠等人對諧振式壓力傳感器振動特性進行了分析，完成了諧振子多場耦合系統(tǒng)動力學研究［8］。

在微諧振壓力傳感器系統(tǒng)中，靜電力對諧振子的動力學行為具有決定性作用，然而隨著系統(tǒng)尺寸、間隙進一步減小到微米、納米量級，微構件間的分子力（van der Waals和Casimir力）作用變得越來越明顯。2003年趙亞溥等人研究了分子力作用下納米致動器吸合動力學的穩(wěn)定性問題，提出了僅考慮分子力作用時，納米致動器吸合的同宿軌道分岔和分離長度［9］，并在其著作中對分子間力進行了明確而深入地說明。Casimir力和van der Waals力既有聯(lián)系也有區(qū)別。它們在本質上都和電磁場的波動效應有關，van der Waals力和距離的三次方相關，Casimir力和距離的四次方相關，Casimir力比van der Waals力更長程。當兩個介電物體間的距離遠小于c/ω0（c是光速，ω0是電解質的基頻，且c/ω0≈5～100 nm）時，van der Waals力起主導作用；當兩個介電物體的距離大于c/ω0而小于λT（λT是溫度T=300 K時，光子的de Broglie波長）時，Casimir效應起主導作用［10］。微諧振壓力傳感器以諧振子的固有頻率變化量來測量外界壓力的大小，諧振子的振動特性直接影響傳感器的工作性能，將薄膜式微諧振壓力傳感器諧振子簡化為機電耦合微薄膜諧振系統(tǒng)，研究其在分子力作用下振動特性為該種傳感器的動力學優(yōu)化設計提供理論依據。

1　動力學方程

薄膜式微諧振壓力傳感器多為靜電驅動，諧振子通常采用方形膜片，可將其簡化為靜電場力和分子力作用下的微薄膜機電耦合系統(tǒng)（如圖1所示），系統(tǒng)由上層的矩形微薄膜、下層固定的剛性基板以及電系統(tǒng)構成，微薄膜長度和寬度分別為a、b。系統(tǒng)在均布靜電場力的作用下微薄膜與剛性基板相互吸引，微薄膜相對于剛性基板產生位移，實現(xiàn)致動，同時，整個微薄膜上作用有分布的分子力。以微薄膜中面上矩形微元dxdy代替微元體δdxdy表示微元受力情況，q（x，y，t）是分布在單位面積上的外力，包括靜電場力和分子力，即q=qe+qn，qe表示單位面積靜電場力，當n=2時，分子力為van der Waals力q2，當n=3時，分子力為Casimir力q3，忽略慣性力矩。

圖1　微薄膜機電耦合結構模型Fig.1 Structure model of electromechanical coupling thin film

為了對微薄膜振動響應特性進行求解，將微薄膜沿z軸方向的位移、電容、電壓、電場力、分子力分解為靜態(tài)和動態(tài)兩部分：

式中，具有下標0的項表示該物理量的靜態(tài)部分，帶有前綴Δ的項表示該物理量的動態(tài)部分。w為微薄膜沿z軸方向的位移，U、C分別為微薄膜與剛性基板之間工作電壓、電容。分別將靜電場力和分子力對動態(tài)間隙求導，并在靜態(tài)位移處展開成泰勒級數(shù)，根據文獻［11］機電動力學理論，微薄膜單位面積動態(tài)電場力大小為

式中，t0為微薄膜與剛性基板之間的靜態(tài)初始間隙（mm），ε0為真空介電常數(shù)。

單位面積動態(tài)van der Waals力大小為

單位面積動態(tài)Casimir力大小為

式中，H為漢馬克（Hamaker）常數(shù)，取值范圍一般在（0.4～4）×10-19J。?=h*/2π，h*為普朗克（Planck）常數(shù)，?=1.055×10-34J·s，c為光速，c=2.998×108m/s。

以各向同性、勻質、等厚度矩形微薄膜為研究對象，根據振動力學理論推導直角坐標系下微薄膜機電耦合系統(tǒng)在靜電場力及分子力作用下系統(tǒng)總體動力學方程：

式中，δ、ρ分別為微薄膜厚度和材料密度，D為抗彎剛度，D=Eδ3/12（1-μ2），E為彈性模量，μ為泊松比。▽2▽2=?4/?x4+2?4/?x2?y2+?4/?y4為重調和算子。

當只有靜電場力作用時，系統(tǒng)動力學方程為

當考慮靜電場力和van der Waals力時，n=2，系統(tǒng)動力學方程為

當考慮靜電場力和Casimir力時，n=3，系統(tǒng)動力學方程為

2　自由振動響應求解

選取對邊簡支對邊自由邊界條件的諧振薄膜為研究對象，考慮分子力影響下微薄膜機電耦合系統(tǒng)，建立直角坐標系如圖2所示。x=0和x=a為兩簡支邊，y=0和y=b為兩自由邊。

圖2　對邊簡支對邊自由微薄膜直角坐標系Fig.2 Coordinate system of thin film with two opposite edges simply supported and other two free

根據文獻［12-13］振動理論采用分離變量法求解動態(tài)彎曲振動方程，設Δw=ΔW（x，y）· sin（ωt+φ），將其代入式（5）得總體振型方程：

當只有靜電場力作用時，取n=e

當考慮靜電場力和van der Waals力時，取n=2：

當考慮靜電場力和Casimir力時，取n=3：

取滿足對邊簡支對邊自由邊界條件的振型函數(shù)：

式中，Ydm為y的未知函數(shù)，A為常數(shù)。將振型函數(shù)式（13）代入總體振型方程，并設Ydm=eβmy，求解特征方程的一般解，進而得到振型表達式

其中，

將y=0和y=b兩自由邊邊界條件代入振型表達式可得關于Adm、Bdm、Cdm、Ddm4個待定系數(shù)的齊次線性方程組，根據方程組有非零解的條件可得考慮分子力作用下對邊簡支對邊自由微薄膜機電耦合系統(tǒng)頻率方程：

上式是一個關于頻率的超越方程，解此超越方程，可得各階頻率ωmn。對應每個頻率可以求得特征向量（AdmnBdmnCdmnDdmn）T，將其代回式（14）可得第（m，n）階振型

其中，αmn為式（15）中每個β1m，β2m所對應的αn值，amn表達式為

3　算例分析

選取硅材料制成的方形膜片，系統(tǒng)物理參數(shù)如表1所示。

微薄膜機電耦合系統(tǒng)自由振動低階主振型如圖3所示，工作電壓U0=0.5 v，初始間隙t0=0.2 μm。只考慮靜電場力作用時的主振型記為ΔWmne（n=e），考慮靜電場力和van der Waals力作用時的主振型記為ΔWmn2（n=2），考慮靜電場力和Casimir力作用時的主振型記為ΔWmn3（n=3）。由于篇幅所限，僅給出第一階主振型。

表1　系統(tǒng)物理參數(shù)Tab.1 Parameters of system

由圖3可知：

1）由于對邊簡支對邊自由微薄膜的邊界條件和材料幾何尺寸都具有對稱性，其主振型也具有對稱性，由于靜電場力和分子力的作用，微薄膜上各點同相振動。x=0和x=a為兩簡支邊，y=0和y=b為兩自由邊。簡支邊較剛而自由邊最柔，自由邊振動幅值最大。

2）只考慮靜電場力作用，考慮靜電場力加van der Waals力作用，考慮靜電場力加Casimir力作用3種情況下系統(tǒng)主振型模態(tài)均呈現(xiàn)周期性變化規(guī)律，同時考慮靜電場力和分子力作用時響應振幅大于僅僅考慮靜電場力作用時的響應振幅，而考慮靜電場力加van der Waals力作用時響應振幅差值大于考慮靜電場力加Casimir力作用的振幅差值。說明van der Waals力和Casimir力對振動模態(tài)產生了不同程度的影響，在進行傳感器諧振敏感元件的動力學設計時，應該考慮分子力的影響以及兩種分子力的不同作用效果，否則將產生較大誤差。

前三階固有頻率及頻率差ωe-ωn隨系統(tǒng)初始間隙、工作電壓、微薄膜厚度、微薄膜長度的變化規(guī)律，如表2～9所示，由于用作諧振敏感元件的方形膜片只工作在低階頻率，故本文研究的具體算例只限于前兩階。只考慮靜電場力作用時的固有頻率記為ωe（n=e），考慮靜電場力和van der Waals力作用時的固有頻率記為ω2（n=2），考慮靜電場力和Casimir力作用時的固有頻率記為ω3（n=3）。

圖3　主振型Fig.3 Main vibration modes

表2　固有頻率隨初始間隙的變化規(guī)律Tab.2 Changes of natural frequencies with initial gaps rad/s

表3　頻率差ωe-ωn隨初始間隙的變化規(guī)律Tab.3 Change of frequency differences ωe-ωnwith initial gaps rad/s

表4　固有頻率隨工作電壓的變化規(guī)律Tab.4 Changes of natural frequencies with working voltages rad/s

表5　頻率差ωe-ωn隨工作電壓的變化規(guī)律Tab.5 Changes of frequency differences ωe-ωnwith working voltages rad/s

表6　固有頻率隨微薄膜厚度的變化規(guī)律Tab.6 Changes of natural frequencies with thicknesses rad/s

表7　頻率差ωe-ωn隨微薄膜厚度的變化規(guī)律Tab.7 Changes of frequency differences ωe-ωnwith thicknesses rad/s

表8　固有頻率隨微薄膜長度的變化規(guī)律Tab.8 Changes of natural frequencies with lengths rad/s

表9　頻率差ωe-ωn隨微薄膜長度的變化規(guī)律Tab.9 Changes of frequency differences ωe-ωnwith lengths rad/s

表2～9數(shù)據表明：

1）同時考慮靜電場力和分子力作用的微薄膜各階固有頻率均小于只考慮靜電場力作用的固有頻率，說明考慮分子力作用，固有頻率降低，ωe＞ωn（n=2，3），高階模態(tài)下頻率差小于低階模態(tài)，說明低階模態(tài)下分子力對固有頻率的影響更加顯著。

2）隨著初始間隙的減小，固有頻率ωn（n=e，2，3）均減小。這是因為隨著初始間隙的減小，靜電場力和分子力作用增大，導致耦合系統(tǒng)的剛度降低。當初始間隙t0＞0.2 μm時，ωe＞ω3＞ω2，同時考慮靜電場力和Casimir力作用時的固有頻率大于同時考慮靜電場力和van der Waals力作用時的固有頻率；而當初始間隙t0=0.1 μm時，ωe＞ω2＞ω3，同時考慮靜電場力和Casimir力作用時的微薄膜固有頻率又小于同時考慮靜電場力和van der Waals力作用時的微薄膜固有頻率，說明當初始間隙減小到0.1 μm時，Casimir力對固有頻率的影響比van der Waals力更加明顯。

3）當初始間隙較大時（t0＞0.3 μm），頻率差ωe-ωn（n=2，3）不明顯，頻率差較小。當初始間隙較小時（t0≤0.2 μm），頻率差明顯，頻率差增大，說明隨著初始間隙的減小，分子力作用增強。當t0＞0.1 μm時，ωe-ω2均大于ωe-ω3，而當t0=0.1 μm時，ωe-ω3均大于ωe-ω2，說明當初始間隙t0≤0.1 μm時，Casimir力對固有頻率的影響更加顯著。

4）隨著工作電壓的減小，固有頻率增大，而頻率差ωe-ωn（n=2，3）減小，這表明隨著工作電壓值的減小，分子力對固有頻率的影響減小，這是由于工作電壓值減小，微薄膜與剛性基底間的電場強度降低，導致微薄膜彈性變形減小，進而增大了微薄膜與剛性基底間的間隙，分子力的影響程度降低，固有頻率降幅ωe-ω2大于ωe-ω3。高階模態(tài)下頻率差小于低階模態(tài)，說明低階模態(tài)下電壓對固有頻率和分子力關系的影響大于高階模態(tài)時。

5）隨著微薄膜厚度的增大，固有頻率增大，頻率差ωe-ωn（n=2，3）減小，表明隨著微薄膜厚度的增大，分子力對固有頻率的影響減小，頻率差ωe-ω2大于ωe-ω3。隨著階數(shù)增加，頻率差減小，分子力對固有頻率和微薄膜厚度關系的影響減小。

6）隨著微薄膜長度增大，微薄膜長寬比（r=b/a）減小，固有頻率減小，頻率差ωe-ωn（n=2，3）增大，表明隨著薄膜長度的增大，分子力對固有頻率的影響增強，并且差值ωe-ω2大于ωe-ω3。階數(shù)增加時，頻率差ωe-ωn（n=2，3）減小，分子力對固有頻率和長度關系的影響減小。

4　結論

本文給出了考慮分子力影響的微薄膜壓力敏感元件機電耦合系統(tǒng)動力學方程，推導了對邊簡支對邊自由微薄膜振型方程及頻率方程，運用該方程，研究了分子力對機電耦合微薄膜系統(tǒng)固有頻率及自由振動的影響規(guī)律。結果表明：機電耦合微薄膜系統(tǒng)的固有頻率和振型均與分子力有關，同時考慮靜電場力加分子力時系統(tǒng)的動力學響應與僅考慮靜電場力時系統(tǒng)的動力學響應具有較大的差別。隨著系統(tǒng)初始間隙的減小、工作電壓的增大、微薄膜厚度的減小以及薄膜長度的增大，分子力對微薄膜機電耦合系統(tǒng)的固有頻率影響顯著。低階模態(tài)下，分子力必須予以考慮。當初始間隙減小到0.1μm時，Casimir力對固有頻率的影響比van der Waals力更加明顯，此時應該考慮Casimir力的影響。本文工作有助于研究薄膜式微諧振壓力傳感器諧振子的動力學理論，研究結果對于MEMS壓力傳感器進一步小型化具有指導意義。

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Influence of molecular forces on dynamic characteristic of electromechanical coupling thin film pressure sensitive element

SUN Li-bo1，XU Li-zhong2，DING Ling3
（1.School of Environmental and Chemical Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao Hebei 066004，China；2.School of Mechanical Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao Hebei 066004，China；3.School of Information Science and Technology，Yanshan University，Qinhuangdao Hebei 066004，China）

The dynamical equations of electromechanical coupling thin film are deduced by considering molecular forces.The vibration and frequency equations of thin film with two opposite edges simply supported and other two free are derived.Using the equations，the influences of the molecular forces on natural frequency and free vibration are investigated.Results show：the molecular forces have obvious influences on the natural frequency.As the initial clearance drops，voltage grows，the thickness decreases，and the length increases，the influences becomes larger.As the order number of the modes decreases，the effects on the natural frequency are more significant.At clearance t0=0.1 μm，the Casimir forces have more obvious effects on the natural frequency than van der Waals forces，and the Casimir forces must be considered.The results are helpful to the study of dynamic characteristics of thin film resonant pressure sensor and can be applied to MEMS dynamic design.

two opposite edges simply supported and other two free；electromechanical coupled；thin film；van der Waals force；Casimir force；MEMS

TH113.8

A DOI：10.3969/j.issn.1007-791X.2015.06.009

1007-791X（2015）06-0523-08

2015-08-11 基金項目：國家自然科學基金資助項目（51275441）；河北省科學技術研究與發(fā)展計劃資助項目（13961701D）；河北省教育廳科學研究計劃（Z2012031）

孫麗波（1974-），女，遼寧遼陽人，博士，高級實驗師，主要研究方向為微機電系統(tǒng)動力學；*通信作者：許立忠（1962-），男，河北昌黎人，博士，教授，博士生導師，主要研究方向為現(xiàn)代機械傳動基礎理論與制造技術、機電集成傳動、微型機電系統(tǒng)，Email：xlz@ysu. edu.cn。