焦 玲，蔣 磊，許 華，賈航川

（1.空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西西安710077；2.解放軍94162部隊(duì)，陜西西安710614）

基于間隔導(dǎo)頻的最優(yōu)迭代頻偏估計(jì)算法

焦 玲1，蔣 磊1，許 華1，賈航川2

（1.空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西西安710077；2.解放軍94162部隊(duì)，陜西西安710614）

針對利用間隔導(dǎo)頻進(jìn)行載波頻偏估計(jì)存在精度高但估計(jì)范圍小的問題，提出了基于間隔導(dǎo)頻的最優(yōu)迭代頻偏估計(jì)算法。該算法在迭代過程中通過計(jì)算更新迭代權(quán)重因子，對每次相位展開后的次優(yōu)估值進(jìn)行修正?；诒舅惴ㄍ茖?dǎo)出綜合考慮估計(jì)精度和信噪比閾值的導(dǎo)頻設(shè)計(jì)參考式，為寬帶短波系統(tǒng)快速準(zhǔn)確同步參數(shù)提供幀格式設(shè)計(jì)參考依據(jù)。仿真結(jié)果表明，本算法較差分相位法有更大的估計(jì)范圍，且估計(jì)精度高。

間隔導(dǎo)頻；頻偏估計(jì)；相位展開；最優(yōu)化迭代；估計(jì)范圍

0 引言

載波頻偏估計(jì)是寬帶短波信號接收處理中的關(guān)鍵技術(shù)之一［1-2］，收發(fā)端大的多普勒頻偏會嚴(yán)重影響解調(diào)性能，因此要求估計(jì)算法有較大的頻偏估計(jì)范圍和更高的估計(jì)精度。寬帶短波體制下用戶能自定義設(shè)置信號幀格式中的導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)，從而可靈活地運(yùn)用導(dǎo)頻輔助估計(jì)。

近年來，F(xiàn).Rice［3］通過推導(dǎo)得出利用間隔導(dǎo)頻估計(jì)頻偏能有效提高估計(jì)精度，得到學(xué)者們關(guān)注。文獻(xiàn)［4—6］提出一些基于間隔導(dǎo)頻輔助的頻偏估計(jì)算法，其中L.Giugno［4］對各導(dǎo)頻塊符號進(jìn)行差分相位得出頻偏估計(jì)值，復(fù)雜度低但由于沒有解決相位模糊問題導(dǎo)致估計(jì)范圍不大；孫錦華［5］等人提出導(dǎo)頻間距可變的數(shù)據(jù)幀結(jié)構(gòu)，通過求自相關(guān)和函數(shù)，提高算法抗噪性，但估計(jì)范圍受到很大限制；朱剛勇［6］等人在分析導(dǎo)頻位置對估計(jì)范圍影響的基礎(chǔ)上，提出一種新的最大似然頻偏估計(jì)方法，估計(jì)精度進(jìn)一步提高，但代價是估計(jì)范圍減小。本文針對上述問題，提出了基于間隔導(dǎo)頻的最優(yōu)迭代頻偏估計(jì)算法。

1 信號模型

本文首先給出寬帶短波系統(tǒng)中可等效為周期等間隔導(dǎo)頻的信號幀格式示意圖。假設(shè)一段數(shù)據(jù)幀中等間隔放置P段導(dǎo)頻塊，每段導(dǎo)頻塊符號連續(xù)且長度為L，導(dǎo)頻塊之間的間隔也就是符號可變的未知數(shù)據(jù)段的長度為M，當(dāng)只取一段導(dǎo)頻與跟隨其后的數(shù)據(jù)塊組合可看成目前通信系統(tǒng)中的連續(xù)導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)。

考慮寬帶短波系統(tǒng)中PSK調(diào)制信號，為簡化方法，對信號能量歸一化為Es=1。假設(shè)對接收信號進(jìn)行同步采樣后得：

式中：Sk為發(fā)送序列，包括導(dǎo)頻和未知數(shù)據(jù)為待估載波頻率，fc為真實(shí)載波頻率，定義Δf=—fc為頻偏值；Φ為載波初相位；n（kTs）為功率譜密度為N0/2，實(shí)部與虛部相互獨(dú)立的復(fù)高斯白噪聲；Ts為碼元周期，且fc?1/Ts。

由于導(dǎo)頻序列已知，對導(dǎo)頻位置的接收信號進(jìn)行去調(diào)制可得：

其中，u（kTs）是基于統(tǒng)計(jì)量等價于n（kTs）的相位噪聲項(xiàng)。此時，載波頻偏值估計(jì)可看成被白噪聲污染的正弦信號頻率估計(jì)。由于本文中只考慮導(dǎo)頻序列對頻偏估計(jì)的作用，因此定義k為所有導(dǎo)頻符號的下標(biāo)集合：

在一定信噪比條件下，連續(xù)導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)和周期等間隔導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)下同步參數(shù)估計(jì)的CRB界分別為［7］：

CRB界是估計(jì)算法的精度下界，導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)決定了估計(jì)算法的同步范圍。比較兩式，可得等間隔導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)是連續(xù)導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)一種推廣，P=1時，式（5）即變?yōu)槭剑?）；當(dāng)M=0時，可得增加連續(xù)導(dǎo)頻序列的長度P可以提高估計(jì)精度。從式（5）我們還可以看出，對于間隔離散導(dǎo)頻，估計(jì)性能可以通過增加導(dǎo)頻塊序列長度和導(dǎo)頻塊個數(shù)，以及離散導(dǎo)頻塊之間的距離而顯著提高，但付出的代價是大大縮小了估計(jì)范圍，這也是上節(jié)所提文獻(xiàn)中基于間隔導(dǎo)頻進(jìn)行頻偏估計(jì)算法研究中的限制。

2 基于間隔導(dǎo)頻的頻偏估計(jì)方法

2.1 傳統(tǒng)估計(jì)方法及問題分析

在文獻(xiàn)［4—5］中，對間隔導(dǎo)頻的頻偏估計(jì)都進(jìn)行了對信號自相關(guān)函數(shù)取輻角運(yùn)算，其本質(zhì)基于經(jīng)典的Kay算法［8］。取輻角函數(shù)是一個多值函數(shù)，但通常將值限定在主值區(qū)間（—π，π）內(nèi)。在同一導(dǎo)頻塊內(nèi)，利用信號時延自相關(guān)求頻偏值可表示為：式中Δf?為估計(jì)頻偏值，υ的取值使真實(shí)頻偏值落在輻角主值區(qū)間內(nèi)。在沒有任何先驗(yàn)條件下我們通常認(rèn)為υ=0，只考慮相位噪聲產(chǎn)生的估計(jì)誤差，則可以得出利用時延越長的自相關(guān)函數(shù)，相位噪聲的影響越小，估計(jì)精度越高。對于間隔導(dǎo)頻，充分利用高時延自相關(guān)值，將式（6）推廣至不同的導(dǎo)頻塊之間，對導(dǎo)頻塊邊緣符號值進(jìn)行間隔為M的自相關(guān)取輻角運(yùn)算，可表示為：

2.2 一種新的相位展開迭代估計(jì)算法

在解決連續(xù)導(dǎo)頻輔助估計(jì)的范圍受限問題時，一方面是采用先在寬范圍內(nèi)粗估計(jì)然后利用傳統(tǒng)方法進(jìn)行細(xì)估計(jì)；另一方面是在原算法上直接改進(jìn)，如M&M算法，在具有較寬估計(jì)范圍的Kay算法基礎(chǔ)上引入長時延自相關(guān)函數(shù)，隱含了相位展開，對不同時延自相關(guān)函數(shù)加權(quán)平均后提高估計(jì)精度。本文將基于自相關(guān)函數(shù)算法，提出將間隔自相關(guān)進(jìn)行相位展開，用一種新迭代算法對頻偏進(jìn)行估計(jì)。

為解決傳統(tǒng)算法中估計(jì)范圍受限問題，本文先將所有導(dǎo)頻塊符號進(jìn)行時延為m的相關(guān)求和，表示為［8］：

將式（2）代入式（8）可得：

考慮SNR?1，忽略最后一個噪聲項(xiàng)，令加式中的第二項(xiàng)為：

則由文獻(xiàn)［9］可得，

根據(jù)上節(jié)分析，對輻角主值進(jìn)行相位補(bǔ)償，以自相關(guān)時延m為參數(shù)的頻偏估計(jì)表達(dá)式如下：

從上式可看出，解決相位折疊要分析如何選取υ使估計(jì)值與真實(shí)值最相近。文獻(xiàn)［10］提供了一種利用取整函數(shù)確定υ的方法，對于越小的時延，這種相位展開的補(bǔ)償效果越精確。為了提高估計(jì)精度，從上節(jié)分析可知應(yīng)該盡可能地對多個自相關(guān)時延進(jìn)行估計(jì)。由于對自相關(guān)函數(shù)取輻角加權(quán)運(yùn)算是非線性的，難以直接進(jìn)行估計(jì)運(yùn)算，因此，本文引入最優(yōu)化迭代處理思想，采用一種新的基于時延間隔m的迭代算法進(jìn)行頻偏估計(jì)，時延為m+1的迭代估計(jì)值經(jīng)過對時延為m的估計(jì)值修正得出，充分利用導(dǎo)頻塊符號中每個時延量估計(jì)結(jié)果以獲得更好的性能。算法描述如下：

定義一組導(dǎo)頻符號的自相關(guān)時延量的集合為：

初次估計(jì)時令m1=1，ν=0，代入式（10）得到估計(jì)表達(dá)式為：

其中，定義Δfd為采取迭代運(yùn)算所得頻偏估計(jì)值。該式說明真實(shí)值與取輻角估測值之間存在與前后估測項(xiàng)沒有關(guān)系的符合高斯分布的白噪聲偏差。本文取包含同組導(dǎo)頻段和相鄰導(dǎo)頻段的時延量進(jìn)行自相關(guān)，即=2L+M，則有：

當(dāng)mi?（1，L—1］時，

當(dāng)mi?（M+L，M+L］時，

當(dāng)mi?（M+L，M+2L］時，

接下來采用最優(yōu)化迭代估計(jì)，在第mi+1次迭代運(yùn)算時假設(shè)已知mi次迭代后的最優(yōu)估計(jì)值Δfd（mi），計(jì)算式（10）得到本次次優(yōu)估計(jì)值（mi+1），然后分析兩者的協(xié)方差計(jì)算最優(yōu)的迭代權(quán)重因子，得出一個修正值對次優(yōu)值進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果便是本次迭代的最優(yōu)估計(jì)值。迭代表達(dá)式如下：

以上算法引入了最優(yōu)化迭代處理思想，式（15）為迭代修正值。經(jīng)過次迭代后，得出最終結(jié)果。基于以上分析，算法具體步驟可總結(jié)如下：

1）對所有導(dǎo)頻塊的接收信號進(jìn)行相關(guān)去調(diào)制得到z（k）；

2）令i=1，計(jì)算式（10）得頻偏初始值Δfd（1）=（1）；

3）令i=i+1，計(jì)算式（10）（15），所得結(jié)果代入（14）式計(jì)算迭代值；

2.3 間隔導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)估計(jì)性能

式（4）、式（5）給出了間隔導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)下同步參數(shù)估計(jì)的CRB界，即估計(jì)算法的精度下界，它是度量一個算法估計(jì)性能的理論界。信噪比閾值則反映了當(dāng)?shù)陀诖讼薅ㄖ禃r，算法估計(jì)精度偏離理論界導(dǎo)致估計(jì)性能下降。錯誤估計(jì)是頻偏估計(jì)性能下降的主要原因［6］，因此可以通過計(jì)算錯誤估計(jì)概率分析信噪比閾值和估計(jì)精度的變化。本節(jié)將針對提出的算法推導(dǎo)出錯誤估計(jì)概率，并進(jìn)一步分析導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)對性能的影響。本算法中錯誤估計(jì)的產(chǎn)生來源于第mi+1次估計(jì)中，由式（10）計(jì)算出的相位觀測值2π（mi）Tsmi+1落在前一次迭代估計(jì)值2πΔfd（mi）mi+1旁的±π范圍之外。因此錯誤估計(jì)概率可表示為：

由此我們討論估計(jì)性能，基于本算法采用了同段和相鄰導(dǎo)頻段的時延自相關(guān)進(jìn)行最優(yōu)化迭代，觀察公式（11）（12），可通過計(jì)算相位折疊嚴(yán)重而導(dǎo)致誤差相對較大的間隔為mi+1=M+1和mi=L—1時的估計(jì)誤差來作近似分析。令

由式（9）、（10）代入計(jì)算得條件錯誤估計(jì)概率近似為：

圖2 導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)對錯誤估計(jì)的影響Fig.2 Relation between estimation error variance and pilot structures

我們已知道導(dǎo)頻序列長度能顯著影響估計(jì)性能，同樣導(dǎo)頻間距也是影響頻偏估計(jì)范圍和精度的重要因素，本節(jié)通過分析推導(dǎo)得出一個綜合權(quán)衡各方面使性能盡可能優(yōu)化的間隔范圍界值，為后續(xù)研究提供參考。

3 仿真與分析

本節(jié)采用高斯白噪聲疊加QPSK信號對本算法的估計(jì)性能進(jìn)行仿真分析。圖3在不同輸入信噪比情況下，將基于間隔導(dǎo)頻的本算法與差分相位法、最大似然估計(jì)法以及估計(jì)范圍較大的基于連續(xù)導(dǎo)頻的Kay算法的載波頻偏估計(jì)性能進(jìn)行比較，并給出了對應(yīng)的克拉美羅界。其中參數(shù)設(shè)置為頻偏值ΔfTs=0.1，L=16，M=5L，P=4，相應(yīng)的設(shè)置連續(xù)導(dǎo)頻長度為P×L=64，以對比分析相同導(dǎo)頻長度下連續(xù)與間隔導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)的性能差異。從圖中可以得出，相比于連續(xù)導(dǎo)頻，間隔導(dǎo)頻具有更高的估計(jì)精度，且由圖4仿真結(jié)果可知通過相位展開能獲得更寬的估計(jì)范圍；基于間隔導(dǎo)頻的ML頻偏估計(jì)由于估計(jì)范圍受到限制，錯誤估計(jì)概率大大增加，不能接近性能下界；差分相位法基于Kay算法原理隱含了相位展開，和本算法在信噪比較高時，能很好地接近克拉美羅界，而后者由于引入了高延時自相關(guān)量，比前者有更低的信噪比門限，且在信噪比較低時，估計(jì)誤差也比差分相位法要低，同時從圖4可得，經(jīng)過最優(yōu)化迭代處理，頻偏估計(jì)范圍也較前者進(jìn)一步擴(kuò)大，因此，估計(jì)性能優(yōu)于差分相位法。

圖5和圖6給出了不同的導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)下本算法的估計(jì)均方誤差曲線以及對應(yīng)的CRB。其中圖5的不同曲線代表不同的導(dǎo)頻段序列長度，導(dǎo)頻間距與導(dǎo)頻長度比值不變，圖6則給出了導(dǎo)頻段序列長度固定而導(dǎo)頻間距變化時的仿真結(jié)果。如上節(jié)分析，仿真得出的估計(jì)均方誤差隨著導(dǎo)頻段序列長度L的增加而降低，信噪比閾值也減??；當(dāng)導(dǎo)頻間隔M增大，雖然在高信噪比時估計(jì)均方誤差及CRB界有所降低，但信噪比閾值卻大大增加，估計(jì)性能隨著信噪比降低迅速惡化，這是由于導(dǎo)頻間隔的變長會大大增加錯誤估計(jì)概率造成的。最后圖7通過仿真得出錯誤估計(jì)概率曲線，進(jìn)一步對圖5、圖6和式（17）進(jìn)行了解釋和驗(yàn)證，當(dāng)L增加時，錯誤估計(jì)概率越小，估計(jì)精度越高，信噪比閾值也下降；當(dāng)M增加時，錯誤估計(jì)概率大大增加，算法的估計(jì)性能下降。

圖3 幾種算法估計(jì)性能比較Fig.3 The performance of the new estimator compared to other estimators

圖4 頻偏估計(jì)范圍比較Fig.4 The operating range of the new estimator compared to other estimators

圖5 不同導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)的估計(jì)性能比較Fig.5 The performance of estimator for different pilot structures

圖6 不同導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)的估計(jì)性能比較Fig.6 The performance of estimator for different pilot structures

圖7 不同導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)的錯誤估計(jì)概率Fig.7 The estimator error probability for different pilot structures

4 結(jié)論

本文提出了基于間隔導(dǎo)頻的最優(yōu)迭代頻偏估計(jì)算法。該算法將時延間隔自相關(guān)算法進(jìn)行相位展開，采用一種最優(yōu)化迭代處理對頻偏進(jìn)行快速估計(jì)，迭代過程中通過計(jì)算更新迭代權(quán)重因子，對每次相位展開后的次優(yōu)估值進(jìn)行修正，有效地解決了相位折疊問題。仿真結(jié)果表明，該算法估計(jì)精度高，較之前的差分相位法有更寬的估計(jì)范圍。本文推導(dǎo)得出錯誤估計(jì)概率與結(jié)構(gòu)設(shè)置相關(guān)，并由此分析結(jié)構(gòu)設(shè)置對估計(jì)誤差的影響，得出一個綜合考慮估計(jì)精度和信噪比閾值的設(shè)計(jì)參考值，為寬帶短波系統(tǒng)快速準(zhǔn)確同步參數(shù)提供了一個幀格式設(shè)計(jì)參考依據(jù)。

［1］Scheible，Maureen P.High Data Rate，Reliable Wideband HF Communications Demonstration［R］.U S：The MITRE Corporation，2014：1-5.

［2］王舒，達(dá)新宇，褚振勇，等.載波頻率偏差對變換域通信系性能的影響分析［J］.空軍工程大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012，13（6）：60-65.

［3］Rice F.Carrier-phase and frequency-estimation bounds for transmissions with embedded reference symbols［J］. IEEE Trans.Commun.，2006，54（2）：221-225.

［4］Giugno L，Luise M.Optimal pilot symbol distribu-tion for efficient and low-complexity Doppler-shift andDoppler-rate estimation in bursty transmission［C］//Commun：IEEE International Conf.2007：5993-5998.

［5］孫錦華，王雪梅，吳小鈞.短突發(fā)系統(tǒng)數(shù)據(jù)輔助載波同步的導(dǎo)頻設(shè)計(jì)［J］.電子與信息學(xué)報，2014，36（3）：669-675.

［6］朱剛勇，姚富強(qiáng)，柳永祥，等.一種適用于低信噪比的ML載波頻偏估計(jì)方法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2011，33（2）：427-431.

［7］Palmer J M，Rice M，Nelson B.A Low-Varianceand Low-Complexity Carrier-Frequency-Offset Estimator Using Multiple Pilot Sequences［C］//U S：IEEE Military Com-munications Conference，2007：1-7.

［8］Kay S.A fast and accurate single frequency estimator［J］.IEEE Trans.on Acoustical Speech and Signal Process.1989，37（12）：1987-1990.

［9］Tretter S A.Estimating the frequencyof a noisy sinus-oid by linear regression［J］.IEEE Trans.on Infromation-Theory，1985，31（6）：832-835.

［10］郝杰.相移鍵控信號（MPSK）載波估計(jì)及恢復(fù)研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2007：21-23.

Optimal Iteration Frequency Offset Estimation Based on Spaced-embedded Pilot

JIAO Ling1，JIANG Lei1，XU Hua1，JIA Hangchuan2
（1.Information and Navigation College，Air Force Engineering University，Xi’an 710077，China；2.Unit 94162 of PLA，Xi’an 710614，China）

In order to solve the problems of limited operating rangein carrier frequency synchronization based on spaced-embedded pilot，a novel estimation algorithm using optimal iteration was proposed.The approach could compute and update the iterative weighting factor，which was used to correct sub-optimal estimation.Phase unwrapping was applied to yield a larger estimation range for each iteration.A pilot design reference was acquired with considering the estimation accuracy and signal-to-noise ratio threshold.The simulation results were presented to substantiate the performance of the modified algorithm.It was exhibited that the algorithm had wider operating ranges compared with differential phase algorithms，while maintaining high accuracy.

spaced-embedded pilot；frequency offset estimation；phase unwrapping；optimal iteration；estimation range

TN911.7

A

1008-1194（2015）05-0079-04

2015-05-11

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助（61001111）

焦玲（1991—），女，江西上饒人，碩士研究生，研究方向：電子對抗。E-mail：thelevelplain@sina.cn。