王鵬，李玉忍，梁波，付龍飛

（西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院，陜西西安 710072）

基于非線性模型預(yù)測控制的飛機全電剎車控制

王鵬，李玉忍，梁波，付龍飛

（西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院，陜西西安 710072）

針對飛機全電剎車系統(tǒng)的非線性和不確定性，分析了全電剎車系統(tǒng)工作原理，建立了系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型并提出了一種基于準無限時域非線性模型預(yù)測控制的飛機全電剎車控制算法；該方法通過實時預(yù)測、滾動優(yōu)化以及反饋校正的策略完成對非線性對象的高效控制，且在滿足一定設(shè)計規(guī)則的前提下具有漸近穩(wěn)定性；仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的模糊PID控制方法相比，該方法能夠控制全電剎車系統(tǒng)獲得更穩(wěn)定和優(yōu)化的滑移率，從而提供更好的剎車性能。

全電剎車；預(yù)測控制；非線性；滑移率；仿真；Matlab

相對于液壓剎車，飛機全電剎車系統(tǒng)具有重量輕、效率高、維修便利以及可靠性高等優(yōu)點，是飛機剎車系統(tǒng)的主要發(fā)展方向［1-2］。但飛機全電剎車系統(tǒng)是一類具有高度非線性特性的復(fù)雜系統(tǒng)，且系統(tǒng)參數(shù)具有時變性和不確定性，加之難以精確建立系統(tǒng)動力學(xué)模型，使得基于傳統(tǒng)PID等方法的剎車控制系統(tǒng)無法充分發(fā)揮全電剎車的優(yōu)勢，剎車效率較低［2］。

近年來，研究人員將多種控制理論應(yīng)用于飛機全電剎車控制系統(tǒng)的研究和設(shè)計，并取得了一定的成果。文獻［3］將參數(shù)模糊自整定PID策略用于飛機全電剎車的控制，自整定方法以滑移率偏差和偏差變化率為輸入，應(yīng)用模糊集和理論建立PID參數(shù)與滑移率及滑移率偏差的二元連續(xù)函數(shù)關(guān)系，從而輸出自整定的PID參數(shù)。文獻［4］中，自適應(yīng)模糊控制算法則直接被用于剎車系統(tǒng)的控制，該方法以滑移率為控制對象，通過大量實驗數(shù)據(jù)提取出最佳性能指標并運用自適應(yīng)模糊控制方法動態(tài)調(diào)整控制參數(shù)，力求跟蹤最佳滑移率。文獻［5］運用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造最佳滑移率識別器，從而為控制器提供滑移率的參考值，通過用大量測試數(shù)據(jù)對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練，識別器在工作過程中可以實時為控制器給出最佳滑移率的參考值。而在這些控制策略設(shè)計和實施的過程中，通常需要從大量的實驗數(shù)據(jù)提取相關(guān)參數(shù)或?qū)刂破鬟M行訓(xùn)練，且對于實驗數(shù)據(jù)未涉及到的條件難以具備自適應(yīng)能力。模型預(yù)測控制（model predictive control，MPC）是一種面向工業(yè)過程的計算機控制算法，該方法采用實時預(yù)測、滾動優(yōu)化以及反饋校正，實現(xiàn)在線地利用狀態(tài)和輸出對內(nèi)部模型進行預(yù)測，以某個性能指標最優(yōu)化為目標計算最優(yōu)控制序列，并用于被控對象的反饋控制機制。模型預(yù)測控制對外部干擾和模型不確定性具有較好的適應(yīng)性和控制性能，因此對被控對象建模要求低，該方法魯棒性好、設(shè)計簡單且能夠動態(tài)、顯式地處理系統(tǒng)約束。近年來，模型預(yù)測控制方法在先進制造、航空航天、工業(yè)控制等方面得到了一定的應(yīng)用，相對于上述其他控制方法，模型預(yù)測控制具有更好的魯棒性和自適應(yīng)能力。

本文以某型飛機全電剎車系統(tǒng)為對象，研究了其剎車電機轉(zhuǎn)速、滑移率和結(jié)合系數(shù)等參數(shù)之間的非線性關(guān)系；研究了非線性模型預(yù)測控制的基本原理，并將準無限時域非線性模型預(yù)測控制方法用于全電剎車系統(tǒng)的控制；通過仿真結(jié)果對比分析，說明非線性模型預(yù)測控制方法能夠獲得較傳統(tǒng)控制方法更好的剎車效果。

1　全電剎車數(shù)學(xué)模型

本文研究對象為某型前三點式起落架飛機的全電剎車系統(tǒng)，該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示：

圖1　全電剎車系統(tǒng)框圖

假設(shè)飛機滑跑過程中重心高度和質(zhì)量均不變，則著陸滑跑過程的受力如公式（1）～（3）所示：

式中，F(xiàn)x、Fy分別指飛機在沿著以及垂直于滑跑方向上的受力；T0為發(fā)動機殘余推力；L、D分別為飛機所受氣動升力和阻力；m為飛機重量；V為滑跑速度；Fw1、Fw2分別指前機輪和主機輪上所受的摩擦力。

全電剎車系統(tǒng)由直流無刷電機驅(qū)動滾珠絲杠壓緊制動盤以產(chǎn)生剎車力矩，進而提供機輪與跑道之間的結(jié)合力矩。其中滾珠絲杠用于將電機旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)化為直線運動，2種運動的關(guān)系如公式（4）所示：

式中，ω為電機轉(zhuǎn)動角速度；t為剎車作用時間，以絲杠剛開始接觸剎車盤為零時刻；l為旋轉(zhuǎn)造成的絲杠位移量；H則為絲杠的基本導(dǎo)程。

絲杠位移所產(chǎn)生的剎車力矩則如公式（5）所示：

式中，Kt為絲杠位移到剎車壓力的放大系數(shù)；μmc為剎車盤摩擦系數(shù)；nmc為摩擦面?zhèn)€數(shù)；Rt、rt分別為靜剎車盤外半徑和動剎車盤內(nèi)半徑。機輪轉(zhuǎn)動的角速度和線速度則如公式（6）、（7）所示：

式中，Jr為機輪轉(zhuǎn)動慣量，Rr為機輪半徑，Mj則為機輪與跑道之間的結(jié)合力矩，由公式（8）所示：

式中，n為主機輪個數(shù)，Pm為主機輪所受垂向載荷，μ則為機輪與跑道之間的結(jié)合系數(shù)，通常情況下，干跑道、濕跑道以及積雪跑道的結(jié)合系數(shù)可近似由公式（9）～（11）計算所得［6］（如圖2所示）：

式中，σ為機輪線速度與滑跑速度之間的滑移率，即。

圖2　不同跑道環(huán)境下滑移率與結(jié)合系數(shù)關(guān)系（V1＜V2＜V3）

2　非線性模型預(yù)測控制

模型預(yù)測控制作為一種約束系統(tǒng)優(yōu)化控制方法，其基本思想是綜合利用當(dāng)前和歷史信息和被控對象模型來預(yù)測被控對象未來的狀態(tài)，并通過對性能指標函數(shù)不斷進行滾動優(yōu)化，得出最優(yōu)的控制輸入（如圖3所示），再根據(jù)控制過程中所得輸出信息對預(yù)測模型進行修正，從而獲得良好的控制效果和魯棒性［7-8］。其基本流程可分為以下幾個步驟：

圖3　模型預(yù)測控制

1）根據(jù)當(dāng)前和歷史信息對被控對象未來一個時間段內(nèi)的狀態(tài)進行預(yù)測；

2）搜索未來一個時間段內(nèi)的最優(yōu)輸入序列，使得某性能指標函數(shù)達到最??；

3）將最優(yōu)輸入序列中的第1組取值作為被控對象的控制輸入；

4）開始新的控制周期，重新運行步驟1）～步驟3）。

考慮如公式（13）所示的非線性系統(tǒng)模型：

并滿足

式中，x表示系統(tǒng)狀態(tài)向量，X為系統(tǒng)狀態(tài)的可行域，且X∈Ri，u表示系統(tǒng)的輸入向量，U為系統(tǒng)輸入的可行域，且U∈Rj。

假設(shè)當(dāng)前時刻的時間點為t，模型預(yù)測過程需要搜索［t，t+Tp］時間區(qū)間上的最優(yōu)的輸入序列uˉ，即，求解開環(huán)最優(yōu)控制問題使得如公式（14）所示的性能指標函數(shù)在［t，t+Tp］時間區(qū)間內(nèi)達到最?。?/p>

式中，目標函數(shù)中各項以系統(tǒng)狀態(tài)誤差向量與輸入向量的加權(quán)二次型表示，即：

式中，xs、us分別為系統(tǒng)狀態(tài)向量和輸入向量的參考值，Q、R為正定對稱的權(quán)值矩陣。

在公式（11）所示的性能指標函數(shù)中，預(yù)測時域為有限長度Tp，因此開環(huán)模型預(yù)測控制律的最優(yōu)性并不能等同于閉環(huán)系統(tǒng)的最優(yōu)性和穩(wěn)定性，因此保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性最直接的方法便是將預(yù)測時域延長至無限，此時，只需優(yōu)化問題有解即可保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而由于模型預(yù)測控制優(yōu)化問題解析解通常不易計算甚至不存在，因此無限時域在工程上無法實際應(yīng)用。

準無限時域模型預(yù)測控制方法的思路是在如公式（11）所示的性能指標函數(shù)中加入終端罰函數(shù)項：

式中，Ω稱為終端區(qū)域，此時最優(yōu)化問題的性能指標函數(shù)則變?yōu)椋?/p>

當(dāng)對于所有的x∈Ω均存在連續(xù)局部控制律

且滿足

時，只要開環(huán)最優(yōu)控制問題（14）在t=0時具有可行解，則對于滿足條件

的所有采樣時間δ，閉環(huán)控制系統(tǒng)均具有漸進穩(wěn)定性。

為了便于分析和設(shè)計，本文采用的預(yù)測周期Tp與控制周期Tc相同，即在控制系統(tǒng)運行過程中，每個控制周期優(yōu)化所得的輸入向量作為下一個控制周期的系統(tǒng)輸入。

3　仿真結(jié)果

本文以某型飛機全電剎車系統(tǒng)為例，通過將模糊PID方法與本文方法所得仿真結(jié)果進行對比，說明基于準無限時域非線性模型預(yù)測控制（以下稱本文方法）的飛機全電剎車控制系統(tǒng)具有良好的剎車性能。

表1　飛機及剎車系統(tǒng)主要參數(shù)

本文數(shù)值仿真所采用的飛機及其全電剎車系統(tǒng)部分主要參數(shù)由表1所示，被控對象為剎車裝置和飛機動力學(xué)的組合系統(tǒng)，選擇輸入?yún)?shù)為電機轉(zhuǎn)速ω，狀態(tài)為飛機的剎車距離S以及滑行速度V，因此公式（10）所示的對象模型則可表示為：

性能指標函數(shù)則可表示為：

當(dāng)著陸條件對要求剎車距離盡可能短時，需要增大權(quán)值矩陣Q中元素的取值；而當(dāng)剎車系統(tǒng)故障等原因需要減小剎車負荷時，則需增大權(quán)值矩陣R中元素的取值。

由于該非線性模型預(yù)測控制問題可以歸結(jié)為在每個控制周期內(nèi)求解二次型最優(yōu)化問題，本文采用SNOPT軟件包該問題進行求解。

由于本文仿真過程中不考慮剎車系統(tǒng)故障，性能指標函數(shù)傾向于獲得最短的剎車時間和剎車距離，因此性能指標函數(shù)中的各權(quán)值（矩陣）選擇如下：

如圖4所示為以表1所示的初始條件下，并以最短剎車距離為目標，飛機在干跑道著陸時，本文方法與模糊PID方法控制全電剎車系統(tǒng)所得滑移率對比，可以看出：由于非線性模型預(yù)測控制方法能夠?qū)崟r地對被控對象的變化趨勢進行預(yù)測，因此在飛機速度快速變化的過程中，能夠獲得較模糊PID方法更平穩(wěn)的機輪滑移率。而對比圖2中滑移率與結(jié)合系數(shù)的關(guān)系也可以看出：本文方法所得滑移率在整個剎車過程中也更接近于最佳滑移率。

圖4　滑移率對比

如圖5所示即為本文方法與模糊PID方法所得結(jié)合系數(shù)對比，由于本文方法所得機輪滑移率始終接近于最佳滑移率，因此使得結(jié)合系數(shù)也更接近于最大值，且較模糊PID方法更為平穩(wěn)。

圖5　結(jié)合系數(shù)對比

圖6所示為2種控制方法所得飛機速度對比，可以看出：由于本文方法能夠使得結(jié)合系數(shù)始終接近于最大值，從而提供更大更平穩(wěn)的剎車力矩，因此速度下降更迅速平穩(wěn)，將剎車時間縮短了1.04 s，剎車距離縮短了70.83 m（如圖7所示），顯著提高了剎車系統(tǒng)性能。

圖6　飛機速度對比

圖7　剎車距離對比

4　結(jié) 論

本文研究了飛機全電剎車系統(tǒng)的工作原理，并建立了面向控制的數(shù)學(xué)模型；研究了非線性模型預(yù)測控制方法的原理和穩(wěn)定性，提出了基于準無限時域非線性模型預(yù)測控制的飛機全電剎車控制方法。仿真結(jié)果表明：相對于傳統(tǒng)的模糊PID全電剎車控制方法，本文提出的方法能夠為飛機提供更穩(wěn)定和優(yōu)化的機輪滑移率和結(jié)合系數(shù)，從而有效縮短剎車距離和剎車時間。

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Aircraft Electrically Actuated Brake Control Based on Nonlinear Model Predictive Control Method

Wang Peng，Li Yuren，Liang Bo，F(xiàn)u Longfei
（Department of Automatic Control，Northwestern Polytechnical University，Xi′an 710072，China）

The nonlinearity and uncertainty of aircraft electrically actuated brake control system is analyzed and aircraft electrically actuated brake control based on quasi-infinite horizon nonlinear model predictive control method is proposed.With real-time prediction，rolling optimization and feedback regulation strategy，efficient control of nonlinear object can be achieved and the stability can be guaranteed under certain design rules.The simulation results and their analysis indicate preliminarily that，compared with traditional fuzzy PID control method，under the control of this method，the slip ratio of electrically actuated brake system is more stable and optimized and the braking performance is much better.

aircraft，angular veloaity，braking，computer simulation，control，efficiency，electric brakes，feedback，fuzzy control，mathematical models，MATLAB，matrix algebra，model predictive control，real time control，stability，velocity，braking system，nonlinears，nonlinear model predictive control，slip ratio

V226

A

1000-2758（2015）06-0989-05

2015-03-17

王鵬（1981—），西北工業(yè)大學(xué)博士研究生，主要從事計算機仿真與測控及電力電子與電力傳動等研究。