姚頔，王瑛，馬躍飛

1.空軍工程大學裝備管理與安全工程學院，陜西西安 710051；2.國家飛行流量監(jiān)控中心，北京 100094 3.國防科學技術大學信息系統與管理學院，湖南長沙 410073

一種基于多子網與線性目標規(guī)劃的模糊網絡分析法模型

姚頔1，2，王瑛1，馬躍飛3

1.空軍工程大學裝備管理與安全工程學院，陜西西安 710051；2.國家飛行流量監(jiān)控中心，北京 100094 3.國防科學技術大學信息系統與管理學院，湖南長沙 410073

針對經典ANP模型在解決現實復雜評價決策問題中的困難，通過引入“子網”結構，提出了一個多層遞階分解的網絡模型，有效降低了建模工作量與復雜度。同時，考慮比較判斷的不確定性與多樣性，提供了集成多種表達的基于線性目標規(guī)劃的模糊判斷矩陣權向量求解算法。整合多子網與模糊判斷，構建了評估流程。以空管體系為例進行能力評估，驗證了所提模型算法的有效性。

網絡分析法；模糊判斷；線性目標規(guī)劃；子網

Satty于1996年提出了網絡分析法（analytic network process，ANP）作為層次分析法（analytic hierarchy process，AHP）的延伸［1］，并獲得廣泛應用［2-5］。從網絡結構看，ANP將元素劃分為控制層和網絡層，控制層包括目標及控制準則，一般控制準則呈遞階層次、同層相互獨立；控制準則下所有支配元素分簇（或稱元素組）并按簇內簇間相互關系抽象成網絡結構。Satty和王蓮芬將ANP的主要結構歸納為內部獨立的遞階層次結構、內部獨立外部循環(huán)系統、內部依存的遞階層次結構和內部依存外部循環(huán)系統［6-7］。2012年，Navid等提出了多影響樹（multiple-effect tree）和多準則樹（multiple-criteria tree）2種新的網絡結構［8］。從測度原理看，延續(xù)AHP基于比較對判斷矩陣的影響排序思想，ANP以簇間影響為子塊，以控制層元素為準則，以網絡層某一元素為次準則，通過間接優(yōu)勢度比較，導出網絡層元素對次準則的影響排序，逐個考量所有元素相互影響并進行加權歸一化處理，構建反映元素間一步優(yōu)勢度的超矩陣，利用冪法等求取極限相對排序向量。同AHP一樣，作為算法基礎的判斷矩陣假定決策者可以對任意2個元素進行比較判斷，并給出精確的比例標度。

1　多子網模型描述

1.1模型結構

定義1 子網 ANP網絡中由相同類別、屬性或按某種規(guī)則聚合的元素及其相互關系構成的網絡，是多子網模型的基本組成單元，包括源節(jié)點、控制準則、底層節(jié)點3個層次元素及層內層間關系，由如下五元組表示：

式中，Si是第i個子網；Oi是該子網的源節(jié)點；Ci是控制準則集；Bi是底層節(jié)點集；CRi是底層節(jié)點和控制準則間隸屬關系的集合，即CRi=｛〈u，v〉｜u∈Ci，v∈Bi｝；IRi是底層節(jié)點之間影響關系的集合，即IRi=｛〈x，y〉｜x，y∈Bi｝。設連接函數f滿足：若底層節(jié)點v在控制準則u下，則f〈u，v〉=1，反之為0；若底層節(jié)點y影響x，則f〈x，y〉=1（即x指向y），若無相互影響，則f〈x，y〉=0。

子網與經典模型結構相似，將元素劃分為控制層和受控層，控制層包括目標及控制準則，受控層為底層節(jié)點。子網的源節(jié)點即目標，源節(jié)點之下按控制準則將底層節(jié)點分為相互獨立的部分，每個控制準則支配若干底層節(jié)點，底層節(jié)點按相互影響關系分為依賴與獨立2類，依賴底層節(jié)點構成網絡結構，獨立底層節(jié)點構成遞階層次結構?？梢詻]有準則，但必須有目標和底層節(jié)點。

與經典模型不同在于：①為控制子網規(guī)模，建立的子網控制準則僅為1層，其主要功能是將底層指標分類。②子網中沒有經典模型中簇的概念，建立簇旨在降低判斷矩陣維度，通過將元素分配到各個子網中，得到的元素規(guī)模一般不會很大，因此簇的構建是不必要的。下圖是一個典型的子網結構：

圖1　子網的典型結構

圖中，root是該子網的源節(jié)點；a、b是控制準則；c、d和e是具有相互影響關系的底層節(jié)點；f、g是相互獨立的底層節(jié)點。

定義2 子網間關系分為遞階層次關系和影響關系2類。遞階層次關系描述子網間的層次結構，即?SP，Sq（p，q∈I，p≠q），若?z滿足：z∈Bp且z=Oq，則稱Sq是由SP派生的子網，SP和Sq呈遞階層次關系，子網間所有遞階層次關系的集合構成H=｛〈Sp，Sq〉｜Sqis derived from Sp｝；影響關系描述源節(jié)點在同一個子網中的不同子網間的影響關系，即若Sm和Sn是由Sl派生的子網（m≠n），則顯然有：〈Sm，Sn〉∈IRl。

定義3 多子網模型（multi-subnets analytic network process，MSANP） 由子網及網間關系構成的遞階層次結構模型，由如下二元組表示：

式中，S=｛Si｝是子網集合，H是子網遞階層次關系集合。模型中除處于頂層的源節(jié)點外，每個節(jié)點僅能有一個源節(jié)點。

圖2給出了一個多子網模型示例，圖中共有3個子網Si、Sj和Sk。其中，Sj和Sk是由Si派生的子網，其源節(jié)點b、c分別為Si中源節(jié)點a下的底層節(jié)點，b 和c的依賴關系反映了Sj和Sk的相互影響；Sj中準則d下底層節(jié)點h、i、j具有依賴關系，并與e相互獨立，顯然b節(jié)點有自影響關系；Sk中底層節(jié)點f、g相互獨立。

圖2　一個MSANP模型示例

1.2模型復雜度分析

證明：

證畢。

相較ANP模型，MSANP模型有較少的元素間影響關系，相應超矩陣的規(guī)模也變小了，復雜度被顯著降低。

2　基于線性目標規(guī)劃的模糊判斷

AHP/ANP模型的基礎信息源于構建的判斷矩陣，一般矩陣單元表現形式一致，對于不同表達的判斷，傳統方法無法求得權向量，為此采用如下模型求解。

設存在歸一化模糊權向量

若該向量是歸一的，當且僅當如下條件成立［9］：

由于

如果求得的權向量完全一致，即滿足

式中

在實際問題中，由于判斷的不一致性，上式存在一定偏差，即

構建如下線性目標規(guī)劃模型求解模糊權向量［10］：

式中，eT=［1，1，…，1］。

K（aij）＞1，即矩陣存在猶豫數時，將分解為個矩陣，f=1，2，…，ψ。對于任意，按（6）式求得歸一的模糊權向量及其偏移量。由此可以近似得到對于專家判斷的隸屬度為

t的值根據實際情況選取，一般可設t=1。為得到最符合專家判斷的模糊權向量，拓展式（6）得：

通過此模型求解一致性最大的模糊權向量。當判斷矩陣不一致性超出設定閾值η，即最小偏差量Jf?≥η時，需要專家對判斷矩陣重新調整。

3　MSFANP算法

以網絡類比連通圖，節(jié)點的影響分為子網影響、單分支全網影響和全網影響。子網影響（local value）是節(jié)點在所處子網中的局部影響值，包括遞階層次結構下的聚合權重和網絡結構下的極限相對權重；單分支全網影響（absolute value）是節(jié)點在從頂層源節(jié)點出發(fā)的一條鏈上，相對頂層源節(jié)點的絕對影響值；節(jié)點可能被包含在多個子網內（例如待評估的方案），合成全網下節(jié)點在各鏈上的絕對影響，得到全網影響（global/synthetic value）。算法流程如圖3所示。

步驟1 根據多子網模型剖分思想，劃分網絡結構，將各子網底層節(jié)點按控制準則分類，確定相互獨立和依賴關系（如無控制準則，以子網源節(jié)點為控制準則確定關系）；

步驟2 如果子網中有控制準則或獨立底層節(jié)點，對所有控制準則或將獨立底層節(jié)點按所屬控制準則構建判斷矩陣，由（2）～（11）式得相應權向量；

步驟3 如果子網中有依賴底層節(jié)點，依次以某一依賴節(jié)點為次準則，進行依賴底層節(jié)點間間接優(yōu)勢度比較，由（2）～（11）式導出相對次準則的影響排序，最終形成加權超矩陣Mi；

步驟4 設子網源節(jié)點的影響值為1，控制準則影響值則為判斷矩陣導出的自身權重，則獨立底層節(jié)點的子網影響為：

式中，Vib為獨立底層節(jié)點的子網排序向量，Wib為獨立底層節(jié)點相對其控制準則的歸一化權向量，Vc為控制準則權重；

步驟5 利用冪法求取Mi的極限相對排序：

式中，t為一較大正數，Mi每一列均為依賴底層節(jié)點相對控制準則的極限相對排序，取第1列設為Wdb，取代Wib代入（10）式得Vdb，若無控制準則，Wdb= Vdb；

步驟6 由于每個節(jié)點僅有一個源節(jié)點，則按遞階層次得節(jié)點的單分支全網影響值：

式中，R（j）為從頂層源節(jié)點出發(fā)的第j條鏈，為 R（j）上第k個節(jié)點，為的單分支全網影響，為的子網影響；

步驟7 合成不同子網中相同節(jié)點的單分支影響得節(jié)點全網影響：

式中，el為網絡節(jié)點，l=｛1，2，…，L｝，為el的全網影響，M為頂層源節(jié)點出發(fā)的鏈數，指示函數εj滿足：若為el，則εj=1，否則εj=0。

圖3　MSFANP算法流程

4　計算實例

為驗證多子網模型的有效性，以國家空管體系為例說明所述算法的評估流程。根據SHEL模型剖分，空管體系能力自頂向下評估層次見圖4，分為3層指標體系，底層為方案層，分別為待評估比較國家。按MSFANP模型構建子網見圖5，人機環(huán)管緊密耦合，形成相對體系能力的子網；其下支配要素分別張成子網，并相互影響；方案自成子網，與每個底層指標相連，方案間沒有明顯影響關系，方案對目標的反饋也不明確。

圖4　空管體系能力評估層次模型

構建各子網下指標間的判斷矩陣，統計輸入群專家的模糊判斷信息，以圖5a）子網為例見表1：

圖5　空管體系能力評估子網構成

表1　以H為次準則的判斷矩陣

表2　以S為次準則的判斷矩陣

表3　以E為次準則的判斷矩陣

表4　以M為次準則的判斷矩陣

求得表1判斷矩陣模糊權向量為

去模糊化得：（0.056，0.224，0.168，0.552）T

表2判斷矩陣的去模糊化權向量為

表3判斷矩陣的去模糊化權向量為

表4判斷矩陣的去模糊化權向量為

以求得的各判斷矩陣權向量為列向量，形成超矩陣，通過冪法求得該子網元素極限排序向量

作為各元素的子網影響值。

同理，求得圖5b）～圖5e）各子網中底層指標的子網影響值和方案在各底層能力下得分（即方案子網在各底層能力指標下的子網影響值）。依次計算方案節(jié)點的單分支全網影響和全網影響，最終以最優(yōu)方案國的全網影響值為1，美、歐、我國空管體系能力相對評估值為（1，0.925，0.765）T。計算結果與文獻［13］以主要宏觀績效領域實證數據，采用熵權-ANP得出的體系能力評估結論較為相近，從定性判斷定量化的解析角度予以了佐證。

5　結 論

本文提出的MSFANP模型，拓展了網絡分析法的描述能力。通過引入子網，基于遞階分解思想給出了一個多層網絡框架，由于僅需考慮子網內的影響關系，模型被大為簡化。同時，為處理各種不確定性判斷形式提供了統一范式和基于線性目標規(guī)劃的模糊權向量求解算法。通過逐步計算網絡節(jié)點的子網影響、單分支全網影響，得出節(jié)點全網影響，從而構建了MSFANP的算法流程。一個空管體系能力評估的實例證明了所提模型更符合人們的分析習慣，也驗證了模型方法的可行性與有效性。下一步將根據具體問題深化判斷標度研究，進一步提升評估精細化水平。

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A Model of Fuzzy Analytic Network Process Based on Multi-Subnets and Linear Goal Programming

Yao Di1，2，Wang Ying1，Ma Yuefei3

1.College of Equipment Management&Safety Engineering，Air Force Engineering University，Xi′an 710051，China 2.State Air Traffic Flow Management Center，Beijing 100094，China 3.College of Information System&Management，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China

Aiming at the difficulty of using the classical ANP model to solve complex decision problems，we propose a network model in multiple levels based on hierarchical decomposition，through introducing‘subnet’structure，which reduces the workload and complexity effectively.At the same time，considering the uncertainty and diversity of the judgment，we provide a linear goal programming model for fuzzy pairwise comparison matrices with multiple expressions.By adopting the extended ANP model with subnets and fuzzy judgments，we construct the evaluation process.Finally，an example for the capability evaluation of air traffic management system-of-systems indicates that the method is effective.

analytic hierarchy process，decision making，electric network analysis，flow charting，linear programming，mathematical models，matrix algebra，membership functions，vectors；analytic network process （ANP），fuzzy judgment，linear goal programming，subnet

N945

A

1000-2758（2015）06-1041-08

2015-04-02

國家自然科學基金（71171199）與國家空管“十二五”科研專項課題（GKG201401003）資助

姚頔（1984—），空軍工程大學博士研究生，主要從事信息系統工程與智能決策、空域與飛行流量管理的研究。