趙 建 紅

(麗江師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系, 云南 麗江 674199)

橢圓曲線y2=nx(x2+64)的整數(shù)點(diǎn)

趙 建 紅

(麗江師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系, 云南 麗江 674199)

如果n為無平方因子的正奇數(shù),n的所有素因素pi(i∈Z+)都滿足pi≡3,7(mod8),則橢圓曲線y2=nx(x2+64)除整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(0,0)外至多有一個(gè)整數(shù)點(diǎn).

橢圓曲線; 同余; 整數(shù)點(diǎn)

橢圓曲線的整數(shù)點(diǎn)是數(shù)論中很重要的問題,有許多學(xué)者研究過橢圓曲線

的整數(shù)點(diǎn)問題.

a=1時(shí),主要結(jié)論有:祝輝林、陳建華[1],樂茂華[2],管訓(xùn)貴[3],付瑞琴[4]給出了n為奇素?cái)?shù)時(shí)橢圓曲線(1)的整數(shù)解的情況;竇志紅[5]給出了n為偶數(shù)時(shí)橢圓曲線(1)的整數(shù)解的情況.

a=2時(shí),主要結(jié)論有:廖思泉、樂茂華[6],杜曉英[7],張瑾[8]給出了n為素?cái)?shù)時(shí)橢圓曲線(1)的整數(shù)解的情況;陳歷敏[9],李玲,張緒緒[10]給出了n為奇數(shù)時(shí)橢圓曲線(1)的整數(shù)解的情況.

a=4時(shí),主要結(jié)論有:2014年,崔軍保[11]給出了n為奇素?cái)?shù)時(shí)橢圓曲線(1)的整數(shù)解的情況.

a=64時(shí),主要結(jié)論有:崔保軍[12]給出了當(dāng)n為奇素?cái)?shù)時(shí)橢圓曲線(1)的整數(shù)解的情況.在此基礎(chǔ)上本文給出了a=64,n為正奇數(shù)時(shí)橢圓曲線(1)的整數(shù)點(diǎn)的情況.

1 相關(guān)引理

引理[13]方程D1A2-D2B4=1,A,B∈N+至多只有1組解.

2 定 理

定理如果n為無平方因子的正奇數(shù),n的所有素因素pi(i∈Z+)都滿足pi≡3,7(mod8),則橢圓曲線

除整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(0,0)外至多有一個(gè)整數(shù)點(diǎn).

3 定理證明

證明 顯然(x,y)=(0,0)是橢圓曲線(2)的整數(shù)點(diǎn),設(shè)(x,y),x,y∈Z+是橢圓曲線(2)的正整數(shù)點(diǎn),因?yàn)閚是無平方因子的正奇數(shù),故由式(2)知n|y,設(shè)y=nz,z∈Z+,將其代入式(2),得

因?yàn)間cd(x,x2+64)=gcd(x,64)=1或2、或4、或8、或16、或32、或64,故式(3)可分解為以下7種可能的情形:

情形Ⅰx=pa2,x2+64=qb2,z=ab,n=pq,gcd(a,b)=1;

情形Ⅱx=2pa2,x2+64=2qb2,z=2ab,n=pq,gcd(a,b)=1;

情形Ⅲx=4pa2,x2+64=4qb2,z=4ab,n=pq,gcd(a,b)=1;

情形Ⅳx=8pa2,x2+64=8qb2,z=8ab,n=pq,gcd(a,b)=1;

情形Ⅴx=16pa2,x2+64=16qb2,z=16ab,n=pq,gcd(a,b)=1;

情形Ⅵx=32pa2,x2+64=32qb2,z=32ab,n=pq,gcd(a,b)=1;

情形Ⅶx=64pa2,x2+64=64qb2,z=64ab,n=pq,gcd(a,b)=1.

其中a,b∈Z+.

下面分別討論這7種情形下橢圓曲線(2)的正整數(shù)點(diǎn)的情況.

情形Ⅰ 將x=pa2代入x2+64=qb2,得

①qgt;1時(shí),q中至少含有一個(gè)素因子qj,j∈Z+,由題意得qj≡3,7(mod8).對式(4)兩邊同時(shí)取模qj,得

②q=1時(shí),p=n,由x2+64=b2,得b2-x2=64,解得(b,x)=(17,15),(10,6),(8,0).由x=na2,得na2=17,10,8.又n≡3,7(mod8)為奇素?cái)?shù),故無解,因此q=1時(shí)情形Ⅰ不成立.

情形Ⅱ 將x=2pa2代入x2+64=2qb2,得4p2a4+64=2qb2,即

①qgt;1時(shí),q中至少含有一個(gè)素因子qj,j∈Z+,由題意得qj≡3,7(mod8).對式(6)兩邊同時(shí)取模qj,得2p2a4≡-32(modqj),即

②q=1時(shí),p=n,此時(shí)式(6)為

由式(8)知b為偶數(shù),所以b2≡0,4(mod8).又gcd(a,b)=1,所以a為奇數(shù),則a2≡1(mod8),因此a4≡1(mod8).又p為奇素?cái)?shù),所以p2≡1(mod8),因此2p2a4≡2(mod8).故式(8)為2≡2p2a4+32=b2≡0,4(mod8),顯然不成立,因此q=1時(shí)情形Ⅱ不成立.

情形Ⅲ 將x=4pa2代入x2+64=4qb2,得16p2a4+64=4qb2,即

①qgt;1時(shí),q中至少含有一個(gè)素因子qj,j∈Z+,由題意得qj≡3,7(mod8).對式(9)兩邊同時(shí)取模qj,得4p2a4≡-16(modqj),即

情形Ⅳ 將x=8pa2代入x2+64=8qb2,得64p2a4+64=8qb2,即

①qgt;1時(shí),q中至少含有一個(gè)素因子qj,j∈Z+,由題意得qj≡3,7(mod8).對式(11)兩邊同時(shí)取模qj,得8p2a4≡-8(modqj),即

②q=1時(shí),p=n,此時(shí)式(11)為

由式(11)知4|b,則令b=4c,c∈Z+,則式(13)為n2a4+1=2c2,即

由引理1知方程(14)至多有一組正整數(shù)解(c,a),所以方程(3)至多有一組正整數(shù)解(x,z),因此橢圓曲線(2) 至多有一組正整數(shù)點(diǎn).

情形Ⅴ 將x=16pa2代入x2+64=16qb2,得256p2a4+64=16qb2,即

①qgt;1時(shí),q中至少含有一個(gè)素因子qj,j∈Z+,由題意得qj≡3,7(mod8).對式(15)兩邊同時(shí)取模qj,得16p2a4≡-4(modqj),即

情形Ⅵ 將x=32pa2代入x2+64=32qb2,得1 024p2a4+64=32qb2,即

①qgt;1時(shí),q中至少含有一個(gè)素因子qj,j∈Z+,由題意得qj≡3,7(mod8).對式(17)兩邊同時(shí)取模qj,得32p2a4≡-2(modqj),即

②q=1時(shí),p=n,此時(shí)式(17)為32n2a4+2=b2,兩邊取模8,得

由式(19)知b為偶數(shù),所以b2≡0,4(mod8).故式(19)為2≡2p2a4+32=b2≡0,4(mod8),顯然不成立,因此q=1時(shí)情形Ⅵ不成立.

情形Ⅶ 將x=64pa2代入x2+64=64qb2,得4 096p2a4+64=64qb2,即

①qgt;1時(shí),q中至少含有一個(gè)素因子qj,j∈Z+,由題意得qj≡3,7(mod8).對式(20)兩邊同時(shí)取模qj,得64p2a4≡-1(modqj),即

[ 1 ] 祝輝林,陳建華. 兩個(gè)丟番圖方程y2=nx(x2±1)[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2007,50(5):1071-1074.

ZHU H L,CHEN J H. Anote on two diophantine equationsy2=nx(x2±1)[J]. Acta Mathematica Sinica, 2007,50(5):1071-1074.

[ 2 ] 樂茂華. 橢圓曲線y2=px(x2±1)的正整數(shù)點(diǎn)[J]. 湛江師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2008,29(3):1-2.

LE M H.The positive integral points on the elliptic curvesy2=px(x2±1)[J]. Journal of Zhanjiang Normal College, 2008,29(3):1-2.

[ 3 ] 管訓(xùn)貴. 關(guān)于橢圓曲線y2=px(x2+1)的一個(gè)注記[J]. 四川理工學(xué)院(自然科學(xué)版), 2010,23(4):384.

GUAN X G. A note on the elliptic curvey2=px(x2+1)[J]. Journal of Sichuan University of Scienceamp; Engineering (Natural Science Edition) , 2010, 23(4):384.

[ 4 ] 楊海,付瑞琴. 一類橢圓曲線有正整數(shù)點(diǎn)的判別條件[J]. 純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué), 2013,29(4):338-341.

YANG H,FU R Q. The criterions for a kind of elliptic curve has positive integer points[J]. Pure and Applied Mathematics, 2013,29(4):338-341.

[ 5 ] 竇志紅. 橢圓曲線y2=2px(x2+1)上正整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)[J]. 純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué), 2011,27(2):210-212,235.

DOU Z H. The number of positive integral points on the elliptic curvey2=2px(x2+1)[J]. Pure and Applied Mathematics, 2011,27(2):210-212,235.

[ 6 ] 廖思泉,樂茂華.橢圓曲線y2=2px(x2+2)的正整數(shù)點(diǎn)[J]. 數(shù)學(xué)雜志, 2009,29(3):387-390.

LIAO S Q,LE M H. The positive integral points on the elliptic curvey2=2px(x2+2)[J]. Journal of Mathematics, 2009,29(3):387-390.

[ 7 ] 杜曉英.橢圓曲線y2=2px(x2+2)在p≡1(mod8)時(shí)的正整數(shù)點(diǎn)[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識, 2014,44(15):290-293.

DU X Y. The positive integral points on elliptic curvesy2=2px(x2+2) withp≡1(mod8)[J]. Mathematics in Practice and Theory, 2014,44(15):290-293.

[ 8 ] 張瑾. 橢圓曲線y2=px(x2+2)有正整數(shù)點(diǎn)的判別條件[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識, 2015,45(4):232-235.

ZHANG J. The criterions for the elliptic curvey2=px(x2+2) has positive integer points[J]. Mathematics in Practice and Theory, 2015,45(4):232-235.

[ 9 ] 陳歷敏. Diophantine方程y2=px(x2+2)[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2010,53(1):83-86.

CHEN L M. On the diophantine equationy2=px(x2+2)[J]. Acta Mathematica Sinica, Chinese Series, 2010,53(1):83-86.

[10] 李玲,張緒緒. 橢圓曲線y2=px(x2+4)的整數(shù)點(diǎn)[J].西安工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2011,25(3):407-409.

LI L,ZHANG X X. The integral points on the elliptic curve[J]. Journal of Xi’an Polytechnic University, 2011,25(3):407-409.

[11] 崔保軍. 橢圓曲線y2=px(x2+4)的正整數(shù)點(diǎn)[J]. 佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào), 2014,32(6):962-963.

CUI B J. On the diophantine equationy2=px(x2+4)[J]. Journal of Jiamusi University (Natural Science Edition), 2014,32(6):962-963.

[12] 崔保軍. 橢圓曲線y2=px(x2+64)的正整數(shù)點(diǎn)[J]. 甘肅高師學(xué)報(bào), 2015,20(2):7-9.

CUI B J. The positive integral points on the elliptic curvey2=px(x2+64)[J]. Journal of Gansu Normal Colleges, 2015,20(2):7-9.

[13] LJUNGGREN W. Ein satzüber die diophantische gleichungAx2-By4=C(C=1,2,4)[J]. Tolfte Skandinaviska Matematikekongressen, Lund, 1953,8(2):188-194.

【責(zé)任編輯:肖景魁】

IntegralPointsonEllipticCurvey2=nx(x2+64)

ZhaoJianhong

(Department of Mathematics and Computer Science,Lijiang Teachers College, Lijiang 674199, China)

Let n be an positive odd number, which prime factors could bepi≡3,7(mod8),i∈Z+. Then in addition to (x,y)=(0,0), the elliptic curvey2=nx(x2+64) has one integer point at most.

elliptic curve; congruence; integer point

O 156.1

A

2017-04-21

云南省科技廳應(yīng)用基礎(chǔ)研究計(jì)劃青年項(xiàng)目(2013FD061).

趙建紅(1981-),男,云南巍山人,麗江師范高等專科學(xué)校副教授.

2095-5456(2017)06-0502-03