張曉杰 楊姍姍 劉文會 李靜
【摘要】目前,巖土彈塑性力學(xué)中常用的準(zhǔn)則有很多種,在國內(nèi)外的學(xué)者普遍認為Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則和Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則對于巖土類材料比較適用。
【關(guān)鍵詞】巖土;非線性;有限元理論;彈塑性
1.概述
在工程建設(shè)中,很多實際巖土工程問題的解決最后都歸結(jié)到邊界值問題的分析上來。在解決邊界值的問題上,邊界條件、平衡方程以及應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是在進行數(shù)值分析時必須要滿足的條件,但是怎樣選擇土特性的應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)模型才是問題能否得到實際解答的決定因素,而這種巖土本構(gòu)關(guān)系的重要性也隨著研究手段的進步和計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展而更加突出。在現(xiàn)階段的研究中,人們越來越關(guān)注以彈塑性理論為基礎(chǔ)的本構(gòu)模型的研究。
2.巖土彈塑性本構(gòu)關(guān)系
2.1 巖土的彈塑性分析
巖土材料在應(yīng)力比較小而變形時,可認為材料是線彈性的,但如果巖土材料的應(yīng)力達到或超過某一值時,則材料表現(xiàn)出塑性變形。
一般來說,彈性理論模型是一種最簡單的模型,許多巖土問題只運用線彈性理論來分析就可以達到預(yù)定的精度要求,但對于巖土工程中大多數(shù)實際問題,只用線彈性理論計算是不合理的,線彈性理論模型不能描述巖土材料的殘余變形特性,所以還它的非線性特征也應(yīng)該考慮進去。
結(jié)構(gòu)剛度是變化的,這是非線性問題的基本特點,可以分為三類:材料非線性、幾何非線性和狀態(tài)非線性。這三類問題各有不同,幾何非線性是由結(jié)構(gòu)變形的大位移引起的;材料非線性是由材料的非線性物理性質(zhì)引起的;狀態(tài)非線性是一種與狀態(tài)相關(guān)的非線性的行為。
2.2 屈服準(zhǔn)則
理想彈塑性材料在沒有屈服前,僅有彈性變形,一旦屈服,就將發(fā)生塑性變形,而且屈服前后應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系相差很大。通過以往的試驗,材料的應(yīng)力狀態(tài)和材料屈服之間有著十分密切的關(guān)系,對于復(fù)雜受力情況,當(dāng)各個應(yīng)力分量的函數(shù)組合達到一定值時,就可以用以下公式來表示:
(1)
式中:
—屈服函數(shù)。
對某一 值,則函數(shù)在應(yīng)力空間中對應(yīng)一個確定的屈服曲面。當(dāng) 值不斷變化時,對應(yīng)一系列屈服面,故將上式稱為屈服準(zhǔn)則。
有屈服準(zhǔn)則可知,使 < 的狀態(tài)稱為彈性狀態(tài),這時介質(zhì)對無限小的外部作用的反應(yīng)是彈性的;使 = 的狀態(tài)稱為塑性狀態(tài),此時材料已經(jīng)產(chǎn)生了屈服,對外部作用的反應(yīng)是彈塑性的;而 > 的狀態(tài)是不存在的,或者說也可能超過原來的 值,但由于材料屈服后發(fā)生了“硬化”,所以此時的 值提高了,仍然保持著 的函數(shù)塑性狀態(tài)。
目前,巖土彈塑性力學(xué)中常用的準(zhǔn)則主要有:Mises準(zhǔn)則與廣義Mises準(zhǔn)則,Tresca準(zhǔn)則與廣義Tresca準(zhǔn)則,Mohr-Coulomb準(zhǔn)則,Drucker-Prager準(zhǔn)則,Zienkiewicz-Pande準(zhǔn)則,Lade-Duncan準(zhǔn)則,松岡-中井(SMP),俞茂宏雙剪準(zhǔn)則。在國內(nèi)外的學(xué)者普遍認為Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則和Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則對于巖土類材料比較適用[43]。
2.3 莫爾-庫侖(Mohr-Coulomb)屈服準(zhǔn)則
莫爾-庫侖準(zhǔn)則是一種最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則,它是莫爾應(yīng)力圓方法和庫侖強度理論的結(jié)合,在 時( , , 為主應(yīng)力),可由最大剪應(yīng)力(即莫爾圓的半徑) 與法向應(yīng)力(即莫爾圓的圓心坐標(biāo)) 表示為下式:
(2)
所以可得出在應(yīng)力空間中,屈服函數(shù)的表達式為:
(3)
或者用矢量表達式為:
(4)
式中:
—屈服面上的剪應(yīng)力;
—內(nèi)聚力;
— 所在平面上的正應(yīng)力;
—內(nèi)摩擦角。
或用應(yīng)力張量來表示:
(5)
式中:
—通常稱之為Lode角;
—應(yīng)力第一不變量, ;
—應(yīng)力偏量的第二不變量,可有下式來計算:
(6)
或者
(7)
可見,Mohr-Coulomb準(zhǔn)則在π平面上的 在 時比 時要大,故為一個不等角的六邊形,在應(yīng)力空間中,Mohr-Coulomb屈服面為一六棱錐面。因此Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則就存在著兩大缺點:第一,在π平面上是一個不等角的六邊形,造成了奇異點的存在,對計算機在數(shù)值計算方面帶來了很大的困難。第二,準(zhǔn)則只考慮了最大剪應(yīng)力( , ),沒有考慮主應(yīng)力 對強度的貢獻。
2.4 彈塑性本構(gòu)方程
要對彈塑性過程的應(yīng)力、應(yīng)變和位移進行分析,本構(gòu)方程的建立尤其顯得重要。
巖土的應(yīng)變由可分為恢復(fù)的彈性應(yīng)變 和不可恢復(fù)的塑性應(yīng)變 兩個部分。其中的彈性應(yīng)變可按照彈性理論虎克定律計算,塑性應(yīng)變則可用塑性理論進行求解。如圖1所示,以抽象的應(yīng)力應(yīng)變坐標(biāo)來表示巖土的非線性關(guān)系,其“斜率”為 。 為彈性模量E,在 曲線中表示的是彈性階段的斜率; 為塑性模量 ,表示塑性應(yīng)力增量 與 對應(yīng)的斜線的斜率 ;而 為彈塑性模量 ,表示應(yīng)力增量 與應(yīng)變增量 之比。彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的矩陣表達式,通常寫成如下形式:
圖1 彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系
(8)
(9)
式中:
—彈性應(yīng)變;
—塑性應(yīng)變;
—為彈塑性剛度矩陣,可按下式計算:
(10)
這里A是反映硬化特性的一個變量,與硬化參數(shù)H的選擇有關(guān)。
對于理想塑性材料,A=0,則有:
(11)
結(jié)語語
1.彈塑性問題至今在工程中得到了廣泛的應(yīng)用,已成為工程數(shù)值方法的一個核心課題。
2.要對彈塑性過程的應(yīng)力、應(yīng)變和位移進行分析,本構(gòu)方程的建立尤其顯得重要,彈塑性本構(gòu)方程歸根結(jié)底就是材料的應(yīng)力和應(yīng)變在彈塑性狀態(tài)下之間的關(guān)系問題。
參考文獻:
[1]謝定義, 姚仰平, 黨發(fā)寧. 高等土力學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2008.
作者簡介:張曉杰(1980-),男,河北邯鄲人,河北聯(lián)合大學(xué)遷安學(xué)院,助教。