柯成森

一、前言

以卷的方式存在的產(chǎn)品、半成品是極為常見的，例如膠卷、合成革卷、貝斯、離型紙、纖維布卷、紙卷、鋁卷、銅卷，等等。在產(chǎn)險理賠中，常需要計算卷的長度。

二、計算方法理論推導

1.阿基米德螺線法

由于卷是繞以r為半徑的軸芯一圈一圈卷起來的，每繞一圈卷半徑就增加δ。由此我想到了阿基米德螺線（圖1）。阿基米德螺線，亦稱“等速螺線”。當一點P沿動射線OP以等速率運動的同時，該射線又以等角速度繞點O旋轉(zhuǎn)，點P的軌跡稱為“阿基米德螺線”。這是首次由阿基米德在他著作《論螺線》中給出了定義。阿基米德螺線在極坐標體系的一般方程是

ρ（θ）=ρ0+aθ

ρ代表阿基米德螺線上的點到原點的距離，θ為角度（弧度制），a為常數(shù)，螺距等于2πa，即Δθ=2π時，Δρ=2πa。設(shè)螺線的螺距為δ，則a=以此為數(shù)學模型，考慮到螺線繞一周徑向增大一個δ的特點，以卷起始點內(nèi)側(cè)離圓心距離r的位置作為螺線的起點，則方程為

ρ0=r，ρ（θ）=ρ0+θ

即ρ（θ）= r+θ

假設(shè)卷纏繞的圈數(shù)為n，根據(jù)圖2可知n=，求卷長度就是計算螺線的弧長，ρ（θ）對積分就是弧長，θ使用弧度制。

這是利用阿基米德螺線極坐標方程，求得的卷長度計算公式。

2.面積法

如圖2所示，卷從A點卷至D點時平直卷到B點（即過B點作⊙O切線交于D點），AB即卷的厚度δ，B點卷至E點時平直卷到F點，C點是第2圈開始的地方，從F點到C點假設(shè)為以B點為圓心、δ為半徑的圓弧，以此類推。最后第n圈外緣交OX軸于G點，內(nèi)緣交OX軸于J點。則OA=OD=r，OJ=OH=R，nδ=R-r。

下面計算卷側(cè)面積。

設(shè)∠AOD=θ，θ采用弧度制，

圖1 阿基米德螺線示意圖 圖2 面積法示意圖

三、應用

【實例1】某合成革廠的貝斯（合成革的中間產(chǎn)品）卷，卷中心是一根外徑8.9cm的鐵軸，貝斯卷外徑100cm，貝斯厚度1.4mm，問該卷貝斯長度為多少米？

根據(jù)公式①，計算貝斯長度如下：

L=π（R2-r2）/δ=π（0.52-0.04452）/0.0014=556.56m

【實例2】貝斯卷外徑100cm，中心的鐵軸外徑8.9cm，該卷貝斯長度為600米，現(xiàn)平放被水浸泡離外緣20cm。問受損的貝斯長度為多少？

設(shè)未受損的貝斯長度為L`，未受損處半徑為R`，則受損的貝斯長度ΔL=L-L`，R`=0.5-0.2=0.3m

根據(jù)公式①，有L=π（R2-r2）/δ，L`=π（R`2-r2）/δ，

經(jīng)簡單數(shù)學變換，有ΔL：L=（R2-R`2）：（R2-r2），即

ΔL=（R2-R`2）L/（R2-r2）=（0.52-0.32）*600/（0.52-0.04452）=387.07m， 即受損的貝斯長度為387.07米。

四、結(jié)語

綜上，本文運用阿基米德螺線的方程，求得卷的長度計算公式為。也可運用“面積法”得到計算公式，其中。后者在θ極小情況下可簡化成公式①。

根據(jù)該公式，產(chǎn)險公司理賠人員可以方便地計算受損卷的長度，以確定財產(chǎn)損失的數(shù)量。如在水災理賠中，可以通過對受水浸泡的卷外沿環(huán)尺寸的測量，計算出受損卷材的長度。也可以根據(jù)相關(guān)參數(shù)，對火災損毀的卷堆放空間進行假想復原推演，用以評估實際損失情況。

（作者單位：中國太平洋財產(chǎn)保險股份有限公司溫州分公司）