張軼凡

[摘 要]高中數(shù)學(xué)在難度上有了一個(gè)相對(duì)比較大的提升，很多同學(xué)在學(xué)習(xí)上產(chǎn)生了一定的畏難情緒，覺(jué)得這些比較難的問(wèn)題在生活中沒(méi)有太大的用處。但是在“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”的前提基礎(chǔ)下，我們高中數(shù)學(xué)除了為大學(xué)進(jìn)階學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備外。本文著重討論了高中數(shù)學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)在日常經(jīng)濟(jì)生活中的運(yùn)用。其實(shí)，只要用心觀察，就可以在生活中發(fā)現(xiàn)各種各樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

[關(guān)鍵詞]概率統(tǒng)計(jì)；隨機(jī)變量；期望與方差

數(shù)學(xué)首先是一門很有意義，同時(shí)也很重要的科學(xué)。就其本身來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)具有很強(qiáng)的實(shí)踐性和運(yùn)用性。數(shù)學(xué)來(lái)源于生產(chǎn)、生活的實(shí)踐，但又抽象于生活，同時(shí)無(wú)處不在的服務(wù)于生活。從實(shí)用上來(lái)講，數(shù)學(xué)的方法和應(yīng)用遍及到物理、化學(xué)、生物、工業(yè)工程等各個(gè)領(lǐng)域，甚至在經(jīng)濟(jì)等社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域也有數(shù)學(xué)的影子。現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域更是數(shù)量統(tǒng)計(jì)和數(shù)學(xué)精算的主戰(zhàn)場(chǎng)。

那么，高中數(shù)學(xué)中初步涉及的概率與統(tǒng)計(jì)在，平時(shí)的經(jīng)濟(jì)生活中又有什么用處呢？

一、概率與統(tǒng)計(jì)

概率與數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)已經(jīng)獨(dú)立作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支而存在，不斷的被一代代的學(xué)者研究和發(fā)展。它是用于研究和解釋隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科。數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)是研究這一類規(guī)律性的現(xiàn)象的，這與另外一些必然科學(xué)截然不同。因?yàn)?，概率統(tǒng)計(jì)的條件與結(jié)果之間并不存在必然的聯(lián)系，即在同一情況下，可能會(huì)發(fā)生某一結(jié)果，也可能發(fā)生另一結(jié)果。這就要求研究者不僅要有精確的數(shù)學(xué)分析的同時(shí)還要具備一定的經(jīng)濟(jì)上的分析能力。

關(guān)于概率論的討論，是由數(shù)學(xué)家帕斯卡和費(fèi)馬通過(guò)通信形式最先展開(kāi)的。那時(shí)概率概率的明確概念還沒(méi)有被提出，但他們的討論中已涉及到早期古典概率的概念，最初概率與數(shù)學(xué)期望等基本概念的雛形、性質(zhì)和相應(yīng)的計(jì)算方法都在這樣的討論中逐步確定了下來(lái)。可見(jiàn)，概率與統(tǒng)計(jì)在當(dāng)時(shí)以展現(xiàn)了它作為具有特定研究對(duì)象的獨(dú)立學(xué)科的潛質(zhì)。

二、離散型隨機(jī)變量

我們平時(shí)最初常接觸的一類概率問(wèn)題就是等可能性事件問(wèn)題，即某件事包含基本事件m個(gè)，基本事件總數(shù)為n，那么這一事件A的概率計(jì)算為：

例1.從一個(gè)總體含有100人的班級(jí)，以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式從該中抽取一個(gè)容量為5的樣本做調(diào)查，則指定的某人被抽到的概率為多少？

上題就是一個(gè)最簡(jiǎn)單的等可能事件即古典概率事件。

1.隨機(jī)變量及相關(guān)概念

當(dāng)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示時(shí)，這個(gè)變量就叫做隨機(jī)變量，通常用希臘字母ξ、η等來(lái)表示。隨機(jī)變量根據(jù)可能取值分為兩類：

①當(dāng)隨機(jī)變量的可能取值，可以按一定次序逐一列出，這類的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。

②當(dāng)隨機(jī)變量可以取某個(gè)區(qū)間內(nèi)的一切值時(shí)，這類的隨機(jī)變量稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。

2.離散型隨機(jī)變量的分布列

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的可能取值為，，??，， ??，其中ξ取每一個(gè)值（i=1，2，??）的概率P（ξ=）=，此時(shí)下表

稱為隨機(jī)變量ξ的概率分布，即ξ的分布列。

3.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布P（ξ=）=（i=1，2，??）。如果有無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，那么將無(wú)窮級(jí)數(shù)的和稱為隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望。通常記做E（ξ）或Eξ，有E（ξ）= .

數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱為期望，它描述了隨機(jī)變量ξ取值的平均大小，完全由隨機(jī)變量ξ的概率分布所確定。

離散型隨機(jī)變量的方差為：

Dξ=（-Eξ+（-Eξ+，，，+（-Eξ+，，，

方差則反映的是隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度，從另一方面分析這一事件的穩(wěn)定程度。

4.期望與方差在投資分析時(shí)的應(yīng)用

通過(guò)期望與方差，我們就可以著手分析一些我們生活中的問(wèn)題。

三、決策樹(shù)模型的應(yīng)用

決策樹(shù)模型是建立在概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算分析基礎(chǔ)上的進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題決策的一種直觀的圖示法。如下圖，因其圖形類似樹(shù)枝而得名。其中整合了事件的各狀態(tài)，出現(xiàn)的概率和各種影響的因素。在現(xiàn)實(shí)實(shí)踐中，常常遇到的情景是：若干個(gè)可行性的方案制訂出來(lái)，分析了企業(yè)內(nèi)、外部環(huán)境，當(dāng)大部分條件是己知的，同時(shí)還存在一定的不確定因素時(shí)。每個(gè)方案的執(zhí)行都可能出現(xiàn)若干種結(jié)果，各種結(jié)果的出現(xiàn)都有一定的概率，在做決策時(shí)存在著一定的勝算，同時(shí)也存在著一定的風(fēng)險(xiǎn)。這時(shí)，決策的標(biāo)準(zhǔn)只能通過(guò)考察期望值，即，各種情況下的加權(quán)平均值。

在決策樹(shù)模型中，數(shù)學(xué)期望是其最基本的基礎(chǔ)。在一些簡(jiǎn)單的估算問(wèn)題中，可以通過(guò)直接利用分布函數(shù)求其期望值的方法。通過(guò)決策樹(shù)的對(duì)數(shù)學(xué)期望的結(jié)算，可以為經(jīng)濟(jì)決策提供良好的科學(xué)依據(jù)，同時(shí)能夠一定程度上規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，提高經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)。

通過(guò)利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，結(jié)合決策樹(shù)模型的應(yīng)用，可以簡(jiǎn)單而直接的顯示出各個(gè)方面最終可以獲得的實(shí)際效益，極大的方便了決策者在做決定時(shí)進(jìn)行判斷。這也體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)在實(shí)際經(jīng)濟(jì)生活中極大的應(yīng)用范圍。

四、結(jié)語(yǔ)

通過(guò)本文的論述，可以看到，數(shù)學(xué)的應(yīng)用是靈活而有效的，它滲透在我們?nèi)粘Ｉ畹暮芏喾矫?。我們可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)概率與數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，本來(lái)非常復(fù)雜的問(wèn)題就產(chǎn)生了一定的量化標(biāo)準(zhǔn)，并在數(shù)學(xué)上給出了合理的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，是的做出一個(gè)判斷的時(shí)候有理有據(jù)，這就是數(shù)學(xué)在工作和生活中能幫助到我們地方。

參考文獻(xiàn)：

[1]數(shù)學(xué)期望與方差在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用 丁迎秀 數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

[2]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 袁蔭棠 中國(guó)人民大學(xué)出版社 .