蔣曉艷

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鏈狀卡塔型苯圖的反強(qiáng)迫數(shù)

蔣曉艷

（惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，廣東 惠州 516007）

設(shè)是一個(gè)有完美匹配的圖. 若的邊集滿足有唯一完美匹配，則稱為反強(qiáng)迫集. 包含邊數(shù)最少的反強(qiáng)迫集叫做極小反強(qiáng)迫集，其邊的數(shù)目叫做圖的反強(qiáng)迫數(shù). Damir Vukiěevi?等曾給出鏈狀卡塔型苯圖的反強(qiáng)迫數(shù)，但我們發(fā)現(xiàn)該結(jié)論存在問題，本文修正了并完善了鏈狀卡塔型苯圖的反強(qiáng)迫數(shù).

鏈狀卡塔型苯圖；完美匹配；反強(qiáng)迫數(shù)

圖的反強(qiáng)迫數(shù)的概念最初是2007年由Vukiěevi?等[1]在處理有缺陷的苯類化合物的過程中提出的，圖的反強(qiáng)迫集可以看作是圖刪去（破壞）一些邊后僅有的凱庫勒結(jié)構(gòu). 文獻(xiàn)[1]給出的反強(qiáng)迫數(shù)為1，其中是含有個(gè)六邊形的苯型平行四邊形，它共有行，每行有個(gè)六邊形. 本人研究了硼氮富勒烯圖的反強(qiáng)迫數(shù)[2].

1 鏈狀卡塔型苯圖的反強(qiáng)迫數(shù)

苯圖是平面上連通的、由一系列全等的正則六角形按照任兩個(gè)相鄰六角形恰有一條公共邊的方式堆砌而成的. 苯圖是簡單的平面二部圖，苯圖上無界面邊界上的點(diǎn)稱為外點(diǎn)，其他點(diǎn)（若存在）稱為內(nèi)點(diǎn). 沒有內(nèi)點(diǎn)的苯圖稱為卡塔型苯圖. 每個(gè)六角形至多與兩個(gè)六角形相鄰的卡塔型苯圖稱為鏈狀卡塔型苯圖，它又可分為線性的和扭結(jié)的兩類，圖1給出含5個(gè)扭結(jié)的鏈狀卡塔型苯圖. 定義連結(jié)兩個(gè)相鄰六角形中心的線段的長度為一個(gè)單元，記一個(gè)扭結(jié)中包含單元的數(shù)目為其長度，則圖1中從左往右扭結(jié)的長度分別為2、1、1、1、3. 每個(gè)扭結(jié)的長度都是1的鏈狀卡塔型苯圖稱為zigzag型苯圖.

圖1為5的鏈狀卡塔型苯圖以及其扭結(jié)的長度和反強(qiáng)迫數(shù)

定理1是Damir Vukiěevi?等給出的鏈狀卡塔型苯圖的反強(qiáng)迫數(shù).

定理1[3]設(shè)是有個(gè)扭結(jié)的鏈狀卡塔型苯圖，則.

我們發(fā)現(xiàn)，在此條件下結(jié)論是不成立的，例如我們很容易看出圖1中集合是苯圖的一個(gè)大小為2的反強(qiáng)迫數(shù)，且此鏈狀卡塔型苯圖有5個(gè)扭結(jié)；但是，根據(jù)定理1，該圖的反強(qiáng)迫數(shù)應(yīng)為，矛盾. 下面我們給定理1添加一定的條件以得到正確結(jié)論.

圖2為1,2,3的鏈狀卡塔型苯圖的最小強(qiáng)迫集示意圖

圖3 情況1的證明示意圖

圖4 情況2的證明示意圖

綜上，定理3得證.

結(jié)合定理2和定理3可以得到定理4和定理5.

圖5 反強(qiáng)迫數(shù)為的圖的構(gòu)造與證明

定理證畢.

[1] VUKIEEVIC D, TRINAJSTIC N. On the anti-forcing number of benzenoids [J]. J Math Chem, 2007, 42: 575-582.

[2] 蔣曉艷，程曉勝. 硼氮富勒烯圖的反強(qiáng)迫數(shù)[J]. 湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013, 33(3): 28-30.

[3] VUKIEEVIC D, TRINAJSTIC N. On the anti-Kekule number and anti-forcing number of cata-condensed benzenoids [J]. J Math Chem, 2008, 43: 719-726.

[責(zé)任編輯：熊玉濤]

The Anti-forcing Number of Chain Cata-condensed Benzenoids

JIANGXiao-yan

(Department of Mathematics, Huizhou University, Huizhou 516007, China)

Letbe a graph that admits a perfect matching. An anti-forcing set ofis the edge setsuch thathas a unique perfect matching. The anti-forcing set of the smallest cardinality is called the minimal anti-forcing set, and its cardinality is the anti-forcing numberof. Damir and Trinajatic gave an anti-forcing number of chain cata-condensed benzenoids, but we find the conclusion has some faults. In this paper, we correct the result and consummate the anti-forcing number of cata-condensed benzenoids.

cata-condensed benzenoids; perfect matching; anti-forcing number

1006-7302（2015）03-0001-04

O157.5

A

2014-12-23

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11226286）；惠州學(xué)院博士啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目（）.

蔣曉艷（1982—），女，山東青島人，講師，博士，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué).